Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Одна линейная комбинация описывает состояние с 1 = 1, +1„ а другая — с 1=1,+1',— 1. Значению и=1,+1,— 2 соответствуют три линейные комбинации из векторов 11„12 — 2>11 ° 12» ~ 1„1, — 1>11„1* — 1>. (1„1,> (1„1,— 2> с тремя значениями квантового числа 1: 1,+1„1,+1,— 1, 1,+1,— г. Продолжая этот процесс, мы убедимся, что каждый раз при уменьшении числа и иа единицу появляется новое значение 1 до тех пор, пока мы не дойдем до значений, при которых т, = — 1, илн т, = — 1,.
Это показывает, что минимальным является значение 1=)1,— 1,). Таким образом, при заданных 1„и 1, квантовое число ! может принимать ряд значений: 1,+!., 1,+!.— 1, ", ~1,— 1,), (10.12) в котором соседние значения отличаются друг от друга на единицу. Эти значения удовлетворяют неравенству: ! 1~ !а!~1~1~+!м (10. 13) Каждому значению ! соответствует 2!+1 значений числа т (10. 14) поэтому полное число базисных функций вида (10.10) равно: ! +!а Х (2!+ 1) =(П +1) (21,+ 1), 1=1 гю - !в 1 (10. 15) (10. 16) 51 т.
е. совпадает с числом базисных функций вида (10.4). Этот результат совершенно очевиден, так как системы векторов вида (10.10) и (10.4) образуют два эквивалентных базиса в гильбертовом пространстве рассматриваемого микрообъекта. Отличие квантовомеханического правила сложения моментов от классического состоит, во-первых, в дискретном характере сложения: сумма двух моментов может принимать лишь отдельные дискретные значения из множества тех значений, которые разрешены законами классической физики. Во-вторых, как мы уже отметили в $ 3, момент импульса нельзя рассматривать как вектор в пространстве, поэтому сложение моментов не имеет смысла иллюстрировать с помощью <наглядных> векторных диаграмм.
Численные значения коэффициентов Клебша — Горлана и их общие свойства указаны в специальных руководствах. Мы выпишем здесь лишь два важнейших частных случая формулы (10.10): 1. 1, =1,=- — (см. задачу 2.11): 1 + г' 3~2' 2)~ /г~ /21! 1 ~ — у — ~ —, .+- — ) ~ 1, ~1>. У з)а з) Б ~2' (10.17) Обратим внимание на то, что сумма квадратов коэффициентов 'Клебша — Горлана равна единице. Это является следствием нормировки базисных векторов (10.4) и (10.10) на единицу.
Вектор 1 состояния, соответствующий квантовым числам 1= 1, 1„=1,= —, составлен симметрично из векторов каждого момента. Отмеченная симметрия является общим свойством вектора состояния с максимальным полным моментом в случае 1, = 1„ /=21,. 5 И. ЗАВИСИМОСТЬ СОСТОЯНИЙ ОТ ВРЕМЕНИ с помощью генератора (оператора бесконечно малого сдвига времени) д1 ' (11.2) Генератору (11.2) соответствует оператор некоторой физической величины, которая должна сохраняться, если физические условия 52 В з 1 мы уже отметили, что амплитуды вероятности зависят от времени г как от параметра. Очевидно, что векторы состояния также должны зависеть от времени и в различные моменты времени определяться в общем случае различными индексами состояния. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, будем теперь явно выписывать время как аргумент вектора состояния и, наоборот, опускать символ полного набора физических переменных, которые использовали ранее для указания состояния в некоторый фиксированный момент времени.
Посмотрим, как изменяется вектор состояния ~г'> в зависимости от времени. Небольшое изменение вектора состояния за время Аà — 0 можно записать в виде ( 1+ АГ> — ~ Г> = М у ( 1> — = АГ 6~ ! Г> (11. 1) инвариантны относительно сдвига времени 1 — г+ М. Согласно теореме Нетер такой физической величиной является полная энергия Е.
Оператор полной энергии — это гамильтониан Й рассматриваемого мнкрообъекта. Он связан с генератором (11.2) соотношением типа (9.4): (1 1.3) Равенство (11.3) нужно понимать как эквивалентность действия двух операторов Й и Й6, на вектор состояния: д7~ (11.4) Соотношение (11.4) является дифференциальным уравнением первого порядка по времени и позволяет определить вектор состояния в любой момент времени 1) 1„если он известен в некоторый начальный момент времени 1,. Следовательно, соотношение (11.4) выражает математически принцип причинности и является динамическим уравнением дв нения квантовой механики. Переходя к представлению переменных В, мы получим аналогичное уравнение для волновой функции Чг (В, Г) = <В ~ 1>: йч(В ) яд1 Ч (В )' (11.5) Уравнение движения квантовой механики было открыто в 1926 году Э.
Шредингером, поэтому его называют уравнением Шредингера. Из уравнения Шредингера следует равенство ,— ", ~ч; ~ ч (в, 1) ~' = о, (11.6) указывающее на сохранение нормировки волновой функции с течением времени. Его нетрудно получить, умножая слева (11.5) на функцию Ч"*(В, 1) и вычитая комплексно сопряженное к (11.5) уравнение, умноженное предварительно на функцию Ч'(В, г): Й вЂ” Ч"*'Р = т-НЧ вЂ” 1хН Ч" . (1 1.7) Суммируя это соотношение по всем значениям переменных В и учитывая самосопряженность оператора Гамильтона Н, получаем (11.6). Если в соотношение (11.7) подставить явное выражение оператора Гамильтона (8.17) для движения частицы в потенциальном поле, то приходим к уравнению непрерывности: — 1 Р -~- 71 = 6, д (11.8) где р = ~ Ч'1е — плотность вероятности (1.8), а вектор 2 (~ Р~ ~Р~) (11.9) является вектором плотности потока вероятности в координатном представлении '. Вектор (11.9) позволяет вычислять поток частиц через любую поверхность в пространстве.
Простейшим и вместе с тем самым важным случаем движения является такое состояние движения, когда вся зависимость от времени содержится в множителе и- гв «а уй (11. 10) т. е. когда вектор состояния и волновая функция имеют вид: ( г) (и) и-гений (11.11) гР(В, г) =Ч"„(В) е-гиацй. (11. 12) Й ) п> =Е„(п>, ЙЧг„(В) = Е„гР„(В), (11.13) (11. 14) которые имеют вид уравнений (7.11) и (8.5) для собственного вектора и собственной функции оператора Гамильтона Й. Это означает, что в стационарном состоянии энергия Е имеет определенное значение Е= Е„и является одной из физических переменных, с помощью которых мы задаем конкретное состояние движения: ( и> = =! Е„, ...>.
(11.15) Существенно, что все эти переменные являются интегралами движения. Другими словами, стационарное состояние в любой момент времени характеризуется некоторым определенным полным набором сохраняющихся физических величин, операторы которых коммутнруют с гамильтонианом. Учитывая это, мы ввели для не зависящего от времени множителя (11.15) в выражении (11.11) такое же обозначение, какое использовали в 2 7 для вектора состояния в Фиксированный момент времени.
Можно. Дая свободного движения, опнсынаеиого нонниной функцией (2.3), )=рр/и= оч. Зависящий от времени множитель изменяет только фазу волновой функции, а вероятность любого измерения вообще не зависит от времени. Из-за этого свойства подобные состояния называют ппаиионарпами. Стационарное состояние с наименьшим значением энергии Е„=Е, называют основным или нормальным состоянием микрообъекта.
Подставляя (11.11) в (11.4) и (11.12) в (11.5), мы получим соотношения считать, таким образом, что в р1 — 10 мы имели дело с векторами и амплитудами в фиксированный момент времени, либо с не зависящими от времени векторами и амплитудами стационарных состояний. Уравнения (11.13) и (11.14) называют уравнениями Шредингера, не зависящими от времени, или стационарными уравнениями Шредингера. Очевидно, что они имеют решение только тогда, когда гамильтониан не зависит явно от времени, т. е. — И=О.
(11. 16) Равенство (11.16) выполняется, если физические условия движения не меняются со временем'. Этот случай реализуется, например, для движения частицы в потенциальном поле (7(г), когда уравнение (11.14) имеет в координатном представлении следующий вид: (й — +(7 (г)) Ч'„(г, а) = Е„ту„(г, о), (11.17) 6+ — ~ń— (7 (г)~) Ч"„(г, а) =О. нли Если гамильтониан зависит явно от времени, то у рассматриваемого микрообъекта не существует стационарных состояний движения. Но даже для случая (11.16) вектор (11.11) и функция (11.12) являются лишь частными решениями уравнений (11.4) и (11.6).
Общее решение уравнения Шредингера можно записать в виде суперпозиции стационарных состояний 11> = ~р~~ и> е ' ~ с„. (11.18) г'1 1. 19) имеет смысл амплитуды вероятности обнаружить микрообъект в состоянии с энергией Е=Е„. Описание общего состояния движения с помощью совокупности коэффициентов (11.19) называют картиной Гейзенберга или представлением изменения состояния Гейзенберга.
При таком способе описания мы считаем, что волновая функция (совокупность коэффициентов <и~1=0>) не за- т Строго говоря, лишь в атом случае гамильтониан является оператором полной внергин рассматриваемого микрообъекта. С другой стороны, нестаиионарные уравнения (11.4) и (11.5) имеют смысл и для зависящих явно ст времени гамильтонианов. При 1=0 соотношение (11.18) имеет вид равенства (6.4), т. е. осуществляет разложение вектора ~1=0> по базисным векторам 1и>. Коэффициент разложения с„= — <п11=0> висит от времени, но базисные векторы (11.11) изменяются с течением времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
