Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(8.3) Матрицу(8.3) можно использовать в соотношениях типа (7.13), где обязательно имеется суммирование по индексу представления. Из-за наличия б-функции интегрирование по координатам фактически отсутствует и матричное умножение сводится к простому умножению на вектор г. Действие оператора г на произвольный вектор ~ А> можно записать в координатном представлении следующим образом: <г(г) А>= ) <г(г)г'> <г') А>3'г'=г<г ( А>. Множитель г перед амплитудой <г! А> в правой части этого равенства можно интерпретировать как простейший алгебраический оператор, действующий на волновую функцию в координатном представлении.
40 Оказывается, что действие многих других квантовомеханических операторов можно записать в координатном представлении с помощью алгебраических операторов следующим образом: <г(Р ( А> = Р<г ) А>. (8.4) Символ г" в левой части равенства (8.4) обозначает квантовомеханический оператор, а в правой части †алгебраическ оператор. Во избежание недоразумений лучше всего было бы употреблять разные буквы для обозначения алгебраических и квантовомеханических операторов.
Но этого обычно не делают, так как из контекста ясно, что имеется в виду. Нужно помнить только, что алгебраический оператор действует на стояшие после него функции координат вида Ч'х(г) =<г~ А>, в то время как квантовомеханический оператор действует на стоящий после него вектор ~ А> или стоящий перед ним вектор <А ~. Формализм алгебраических операторов удобен для практических вычислений, так как основное соотношение квантовой механики (7.11) записывается в виде алгебраического уравнения для функций координат: г" Ч'„(г) = г"„Чг„(г). (8.5) Решением уравнения (8,5) являются собственньм фрикции Ч~„(г).
Свойства ортогональности и полноты в этом случае имеют следующий вид: ) Ч"„'(г) Ч' (г) Л'=6„, (8.6) '5', Т„(г) Ч';, (г') = 63 (г — г'). (8.7) л Уравнения для собственных функций в координатном представлении мы будем использовать в дальнейшем при рассмотрении всех конкретных задач квантовой механики. Но прежде чем перейти к решению конкретных задач, необходимо найти еще несколько важных алгебраических операторов. Оператор импульса р можно построить с помощью уравнения (7.13) для вектора состояния ~р,>, описывающего движение с постоянным импульсом р,: ~ < г ) р ) г'> <г' ) р„>с(эг' = <г ( р,> р,, Заметим, что действие оператора импульса на собственную функ- цию 41 эквивалентно умножению на собственное значение р,.
Таким свойством обладают матрица* (г ~ р ) г'> = ЙЧбз (г — г') (8.8) и множитель 'лЧ. (8.9) где Ч = '( †, †, — ) †операт дифференцирования по коорди1д д д) (дх ' ду ' дг) натам. Значит, множитель (8.9) можно интерпретировать как алгебраический оператор р, соответствующий физической величине р. Зная явный вид операторов х и р„, нетрудно вычислить их коммутатор: д д т .
l д д1 [х, р ) = — Й~х — — х)= — Й~х — — 1 — х — )=Й. (8.10) дх дх ) 1 дх дх) Операторы не коммутируют из-за того, что операция дифференцирования должна быть произведена поочередно над любым мнод жителем, стоящим после символа —. Но в одном из слагаемых дх ' д коммутатора (8.10) после символа — имеется множитель х и поддх разумевается наличие волновой функции тр (х). Некоммутативность операторов х и р„ объясняет, почему в квантовой механике нельзя одновременно измерить координату и импульс микро- частицы. Координаты у и з могут быть вынесены за знак частной д производной —.
Поэтому любые разноименные проекции операдх ' торов координаты и импульса коммутируют, например, [х, рД =О. Результат (8.11) показывает, что утверждение о невозможности одновременно измерить координату и импульс требует уточнения: несовместимыми являются только одноименные проекции координаты и импульса, но разноименные проекции координаты и импульса могут входить в один полный набор физических переменных (см. задачу !.1). Учитывая, что разные проекции одного и того же вектора (г или р) коммутируют между собой, можно записать оконча- ' В выражение (8.8) входит производная от д-фувкнии, правила действия с которой изложены в приложении А.
тельно все коммутаторы операторов координат и импульса в следующем виде: (8.12) (8.13) (8.14) г=(г„г„г,)=(х, у, г), Р=(р. р. р.)= — (р р, р.). Векторы г и р являются основными величинами в классическая механике, так как через них можно выразить все другие переменные, используемые для описания движения точечной частицы. Чтобы удовлетворить принципу соответствия, необходимо сохранить функциональные связи между различными переменными в квантовой механике. Проще всего это можно сделать, сопоставляя любой функции Р(г, р) оператор Р(г, р) и вводя следующее правило перехода от физической величины Р к алгебраическому оператору Р: Р=Р(г, р) — Р=Р(г, — Йу). (8.15) Иногда правило (8.15) приводит к несамосопряженному оператору.
В этом случае должны быть использованы дополнительные соображения для построения соответствующего оператора. Важнейшей функцией координат и импульсов является полная энергия частицы И =-,'-'+ (7 (г), (8.16) состоящая из кинетической энергии р'/2т и потенциальной энергии У(г). Ее называют функцией Гамилтпона нли более кратко галильтонианоль Воспользовавшись правилом 18.15), получаем для соответствующего алгебраического оператора: Ьа И= — —,+и (г), (8.17) где дх дх , дх А=р = — „'+ — „+ —, дх' ду' дхх — оператор Лапласа (лапласиан). Аналогично можно построить оператор ороптального момента импульса частицы: 1.= (гхр( = — Й (гк,„'. Равенства (8.12) — (8.14) называют обычно перестаноеочными со- отношениями для операторов Проекции вектора (8.18) удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям: [1,„, е„1 =ЖЕ, [~,а, ~.,~ =ЮХ„, (8.19) [А.", А.] =Ю,. Заметим, что три соотношения (8.19) могут быть получены одно из другого циклической перестановкой индексов х, у„г.
Некоммутативность разных проекций вектора (8.18) объясняет, почему в квантовой механике для описания момента импульса задают только одну проекцию Е,. Однозначное описание момента импульса осуществляется дополнительным указанием переменной (8. 20) 1а уа+уа 1 1а которая коммутирует с проекцией Е,. Коммутатор [$', У-,) =0 (8.21) и перестановочные соотношения (8.19) нетрудно вычислить ана- логично тому, как это было показано при вычислении коммута- тора [х, р„), используя явный вид проекций вектора (8.18). Таблица 2 В квантовой механике приходится иметь дело с физическими величинами, которые не имеют классического аналога и не выражаются через координаты и импульсы.
Очевидно, что для построения операторов подобных величин нельзя использовать правило (8.15). В следующем параграфе мы рассмотрим пример физической переменной этого типа — спиновый момент. Основные операторы в координатном представлении приведены в таблице 2. й Э. ОПЕРАТОР СПИИОВОГО ИОИЕИТА Для построения явного вида оператора спина 3 необходимо использовать какие-то общие свойства момента импульса, которые достаточно полно характеризуют его математические свойства и заменяют тем самым формулу (8.18).
Обратим внимание на то, что спиновый и орбитальный моменты должны равноправно входить в закон сохранения полного момента импульса 3. Но ведь именно законы сохранения выделяют важнейшие переменные Е, р и 3 среди всех других физических величин. Существование сохраняющихся переменных является следствием особых свойств времени и пространства, так как оно вытекает из инвариантности физических законов относительно сдвигов времени г — ~+И и пространства г — г+Лг и относительно вращения системы координат (это утверждение известно под названием теоремы Нетер).
Значит, наиболее общие свойства момента импульса. должны быть обусловлены свойствами пространственных вращений, которые ответственны за само существование этой физической величины. Произвольное вращение в пространстве можно разложить на три независимых поворота вокруг координатных осей х, у, г. Важнейшим свойством поворотов является их некоммутативность — можно убедиться; что поворот сначала на угол О„вокруг оси х, а потом на угол Оэ вокруг оси у приведет к другому результату по сравнению с тем, что получится при повороте сначала на угол Ог вокруг оси у, а потом на угол 8„ вокруг оси х. Правила умйожения поворотов полностью характеризуют свойства пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
