Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Умножая на объем шарового слоя в импульсном пространстве 4пр*г(р, получим искомую вероятность: 32гзвйзРз я(йз+гз р')з ЛИТЕРАТУРА 1. А. С. Да выдав. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963. 2. Р. Фей иман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнманоеские лекции по физике, вып. 8 и 9.
М., «Мир», 1966. 3. П. А. М. Дирак. Принципы квантовой механики. М., Фнзматгиз, 1960. Глава 2. ОВЩИЕ СООТИОШЕИИИ И УРАВИЕИИИ КВАИТОВОЙ МЕХАНИКИ $7. УРАВНВННЯ КВАНТОВОЙ НЕХАННКН До снх пор мы изучали свойства амплитуд вероятности, не останавливаясь на методике нх вычисления в квантовой механике.
Теперь перейдем к изложению математического аппарата, который позволит вычислять амплитуды вероятности для конкретных физических условий движения. Очевидно, что для нахождения амплитуд нужны какие-то уравнения, аналогичные уравнениям Ньютона в классической механике. Амплитуды вероятности могут быть выражены через векторы состояния. Поэтому все соотношения квантовой механики, в том числе и уравнения движения, могут быть записаны в векторной форме. Любое действие над вектором ~х> можно записать в виде оператора Р 1х> = ~ у>. (7.1) Символ Р ~х> нужно понимать как определенное правило, по которому произвольному вектору ~х> сопоставляется некоторый вектор ~у>. Понятие оператора является обобщением понятия функции Р(х)=у. Отличие оператора (7.1)' от функции Р(х) состоит в том, что вместо сопоставления точек на числовой оси х — у мы сопоставляем векторы в гнльбертовом пространстве ~х> — !у>.
Рассматривая соотношение типа (7.1), обычно говорят, что оператор Р действует на вектор 1х>. Тем самым символы Р и ~х> отделяют друг от друга, хотя подразумевают, что символ Р имеет смысл только как действие над одним из квантовомеханических векторов.
Любое действие над вектором в бра-пространстве можно записать следующим образом: <у ~ =- <х ~ Р+. (7.2) Говорят, что Р+ — это оператор, эрмитово сопряженный оператору Р. Умножая (7.1) н (7.2) соответственно на <г! и )г> и учитывая равенство <у ~ г> = <г ~ у> *, получим эквивалентное определение сопряженного оператора: (х ~ Р+ ~ г> = <г ( Р ( х> а.
(7.3) 35 Существование принципа суперпозиции для микропроцессов означает, что уравнения квантовой механики должны бьггь линейными. Значит, достаточно рассматривать только л и н е й н ы е операторы, которые удовлетворяют следующему условию: Р(( А„>а,+( А,>а,) =а,Р ( А,>+а,Р ( А,>. (7А) Квантовомеханические операторы должны обладать также свойством самосопряженности <х ( Р+ ) у> = <х ( Р ( у>, или кратко Р+=Р, (7.5) необходимость которого будет обоснована ниже. Самым простым оператором является единичный оператор 1, свойства которого очевидны: 1! А)=(А>, <А)1= <А(.
Именно такие свойства имеет величина (6.1!), поэтому условие полноты базисных векторов можно переписать в операторной форме: ~~."„(Ег> <Е;( = 1. (7.6) Сумма Р+6 и произведение Р6 двух операторов Р и 6 могут быть определены следующим образом: (Р+6) (х> = Р ~ х>+0(х>, (7.7) Р6~ х>=Р(6(х>). (7.8) Действие оператора Р+6 на вектор состояния сводится к сумме двух действий, а действие оператора Р6 — к последовательному применению сначала оператора 6, а затем Е.
В общем случае произведение операторов зависит от порядка сомножителей, как говорят, операторы не комм ути р уют друг сдругом. Разность Р6 — 6Р =[Р, 61, (7.9) для которой мы ввели сокращенное обозначение, называют коммутатором операторов Р и 6. Если коммутатор (7.9) равен нулю, то произведение двух операторов не зависит от порядка сомножителей — операторы Р и 6 к о м м у т и р у ю т друг с другом. Произведение коммутирующих самосопряженных операторов является, в свою очередь, некоторым самосопряженным оператором, что вытекает из следующего правила эрмитового сопряжения (см. задачу 2.10): (Р6)+ =6+Р+ =6Р.
(7. 10) Действие оператора Р на вектор состояния иногда эквивалентно умножению на число: Р~п>=~п>Р„. (7. 11) Вектор ~ и>, удовлетворяющий соотношению (7.11), называют собственным вектором оператора Р, а число Є— собственным значением оператора. Заданный оператор имеет обычно много собственных векторов, поэтому мы будем считать, что и — зто некоторый индекс, отличающий один собственный вектор от другого. Каждому собственному вектору соответствует определенное собственное значение, но некоторым собственным значениям может соответствовать по нескольку различных собственных векторов.
Такие собственные значения называют вырожденными. Число собственных векторов, соответствующих данному собственному значению, называют кратностью вырождения это1.о собственного значения. Все собственные векторы оператора Р можно найти, рассматривая соотношение (7.11) как уравнение для ~п> и решая это уравнение. Оказывается, что оно имеет решение только при определенных значениях Р„.
Условие разрешимости уравнения позволяет одновременно найти собственные значения оператора. Свойства собственных векторов и собственных значений определяются следующей те о р е м о й (доказательство см. в задаче 2.1): Собственные значения самосопряженного оператора действительны, а собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны друг другу. Собственные векторы, соответствующие вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны. Однако их можно заменить другими векторами (линейными комбинациями прежних), которые будут также собственными векторами оператора Р и одновременно будут взаимно ортогональными. Указанные выше свойства собственных векторов позволяют использовать их в качестве базисных векторов при квантовомеханическом описании микрообъектов.
Взаимосвязь между индексом собственного вектора ~ и> и введенным в ~ 1 индексом состояния устанавливается с помощью следующего посту лата: Каждой физической величине Р ставится в соответствие некотарый квантовомеханический оператор Р так, что его собственный вектор ~п> описывает состояние микрообъекта, в котором физическая величина имеет определенное значение Р = Р„, равное собственному значению оператора Р. Состояние микрообъекта задается в квантовой механике некоторым полным набором А, куда входит обычно несколько физических величин Р, 6, .... Значит, вектор этого состояния ~п> должен быть собственным вектором сразу нескольких операто- ровР,6, ...: ( Р~ п>= !и> Р„, 6( и>=~п>6„, (7.12) Рассматривая соотношения (7.12) как систему уравнений, можно найти вектор состояния, в котором все переменные А = (Р, 6, ...
) имеют определенные значения А„=(Р„, 6„, ...). Собственные значения квантовомеханических операторов имеют таким образом важный физический смысл: они указывают возможные результаты измерений физических величин, т. е. задают спектр физических переменных. Теперь становится очевидяой необходимость рассмотрения самосопряженных операторов, так как результаты любых измерений должны быть выражены в действительных числах '.
Требование, чтобы собственные значения квантовомеханических операторов были действительными числами, сводится к условию самосопряженности (7.5). Рассмотренные выше соотношения для векторов нетрудно переписать в виде соотношений для амплитуд вероятности, образуя подходящие скалярные произведения и используя условие полноты (7.6). Так, умножая слева соотношение (7.1!) на некоторый базисный вектор <Ет~ и вставляя между символами Р и ~п> условие полноты, получим основное уравнение квантовой механики в матричной записи: , и <Е; ! Р ( Е„> <Еа ) и > =<Е; ) п > Р„.
(7.13) Совокупность величин <Ет ( Р ! Е„> = Рм, (7. 14) полностью характеризующую оператор Р, называют малтрицей ' Отметим, что в квантовой теории вводятся также несамосопряженные операторы, но они отличаются по своему смыслу от рассматриваемых здесь оператороа физических величин. за Индекс п отличает одно конкретное значение переменных А от другого. Поэтому можно отождествить его с введенным в й 1 индексом базисного состояния, полагая (п>=~ А„>=)Р„, 6„, ...>. оператора Р в Е-предсгпаэлении. Она состоит из м тричньи элелюнтов, для которых справедливо следующее условие самосопряженности: Ем=рь..
(7.15) Матрицы операторов Р+6 и Рб имеют следующий вид: <Е; ( Р+ 6 ) Еэ> = Гм+ бм, (7.16) <Е; ( Рб ) Еэ> = ~Р,Рибм. (7.17) 1 Заметим, что среднее значение физической величины Е в произвольном состоянии А можно записать в виде матричного элемента: г =<А(Р~ А >. (7. 18) Формула (7.18) получается в результате следующих очевидных преобразований: Р = ~ г, юх (г';) = ~ Г; <Р; ! А> <А )Р> = <А ( ~ ~ Рр ! Р~> <Рр( ) ) А> = = <А Ц~2~Р(р><р, Ц)А>= <А ф1( А>=<А(Р) А>. Мы изложили, наконец, общую математическую схему для определения базисных состояний и вычисления спектра физических переменных.
Остается ответить еще на один вопрос — какие переменные могут быть включены в полный набор А. Ответ на этот вопрос можно получить, анализируя свойства системы уравнений (7.12). Оказывается, что при неудачном выборе переменных Е, б, ... система уравнений (7.12) не имеет решения. Другими словами, какие угодно, произвольно заданные переменные не могут быть выбраны одновременно в качестве характеристик состояния микрообъекта. Правило составления полного набора физических переменных определяется следующей теоремой (доказательство см. в задаче 2.2): Две величины Г и 0 могут быть одновременно измеримы тогда и только тогда, когда операторы этих величин Е и 6 коммутируют. Отсюда следует, что для однозначного описания состояния необходимо задать максимальное количество физических переменных, операторы которых попарно коммутируют.
Возможность существования н есо в мести мы х физических переменных, которые одновременно не имеют определенных значений ни в одном из состояний микрообъекта, отражает специфические объективные закономерности атомных явлений, т. е. свойства микрообьекта и его взаимодействий с другими материальными объектами.
Эта возможность математически выражается в существовании некоммутирующих квантовомеханических операторов. Несовмес- тимые физические переменные могут входить только в разные полные наборы, характеризующие разные состояния микрообь- екта. й 3. ОПЕРАТОРЫ ВАЖНЕЙШИХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ Изложенный в 3 6 — 7 векторный формализм очень удобен для общетеоретических исследований, но для проведения конкретных вычислений необходимо выбрать определенное представление— нап ример, координатное — и задать явный вид матричных элементов важнейших физических величин. Найдем матрицу оператора х, который соответствует координате микрочастицы. Это можно сделать, сравнивая общее выражение для среднего значения х = ~ х<г) А> <г! А>" Уг с матричным элементом <А ( х) А> = ) <А ( г> <г ) х ( г'> <г' ( А> г(зг 3зг'.
(8.2) Правая часть соотношения (8.2) отличается от правой части (8.1) подчеркнутыми множителями и дополнительным интегрированием пр координатам. Выполнение равенства (7.18) можно обеспечить, полагая <г(х) г'> =хб'(г — г'). Аналогичный вид имеют матричные элементы у- и г-компонент пространственной переменной, поэтому для матрицы оператора радиус-вектора получаем окончательно следующее выражение: <г) г) г'> =гб*(г — г').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
