Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ЛИТЕРАТУРА ! . Дж Т р и г г. Решающие зксперимегты в современной физике. М., «Мир», 1974. 2. Д. Б ом. Квантовая теория. М., «Наука», 1965. 3. Д. И. Б л о х и н и е в. Основы квантовой механики. М., «Высшая школа», 1961. 4. А. А. Соколов, Ю. М. Лоскутов, И. М. Тернов. Квантовая механяка. М., «Просвещение», 1965. 5. Э. В. Ш польск ий. Атомная физика.
М., Гостехиздат, 1952. 6. А. Зон мерфельд. Строение атома н спектры. М., Гостехиздат, 1956. Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОИ МЕХАНИКИ $1. СПОСОБ ОПИСАНИЯ ИИКРОПРОЦБССОБ Квантовая механика изучает движение микрообъектов с помощью макроскопических приборов, подчиняющихся с достаточной точностью законам классической механики. По этой причине для описания двихсения мпкрообъектов употребляют известные из кгщссической физики величины: радиус-вектор г, импульс р, энергию Е, момент количества движения 1. и т. д.
Состояние микрообъекта в фиксированный момент времени задается некоторым количеством физических величин †полн набором переменных, который аналогичен совокупности канонических переменных классической механики. Существенной особенностью квантовомеханического описания является то, что в полный набор входит меньшее число переменных, чем в совокупность классических переменных, т. е. квантовомеханическое описание является менее детальным, чем классическое. Состояние точечной частицы задается в квантовой механике тремя переменными, в то время как в классической механике для этого требуется б переменных — проекции г и р. Обычно в качестве полного набора переменных для микрочастицы выбирают координаты. В этом случае говорят, что описание состояния производится в координатном представлении (или г-представлении). Альтернативным описанием является задание импульса частицы — импульсное представление (или р-представление).
В квантовой механике невозможно одновременно указать координату и импульс частицы — это противоречит математической схеме составления полного набора переменных (см. далее Э 7, 8). С физической точки зрения это эквивалентно отсутствию траектории у частицы. Действительно, траектория представляет собой ряд последовательных близких положений частицы, характеризуемых радиус-векторами г„ г„ ..., в близкие моменты времени г'„ г'„ ...
и математически задается в виде функции г= г(1). (1.1) Но для определения положения частицы гл в момент времени 1 необходимо знать ее положение гл, в предыдущий момент 1л, и ее импульс р. Тогда гл — — гл,+(1л — 1„„) ~ . (1.2) Невозможность одновременного задания положения и импульса приводит к невозможности указать с достоверностью положение частицы в произвольный момент времени. Значит, движение частицы нельзя описать с помощью вектора г как функции времени (1.1). Для любого микропроцесса имеет смысл говорить только о вероятности обнаружения тех или иных значений заданной физической переменной, т. е.
квантовомеханическое описание является в е р о я т н о с т н ы м. Другой особенностью микропроцессов является то, что некоторые значения физических переменных вообще не могут быть обнаружены при измерении, так как они несовместимы с законами квантовой механики„зти значения являются как бы «запрещенными». Совокупность всех значений, которые может принимать заданная переменная, называется ее спектром. В зависимости от типа переменной и конкретных физических условий движения спектр может быть дискретным, непрерывным или смешанным.
Дискретный спектр состоит из отдельных значений, между которыми имеются интервалы «запрещенных» значений. Такой спектр наблюдается у момента количества движения. Непрерывный спектр — это все значения на числовой оси или какой-либо ее части. Такой спектр наблюдается у переменных г и р. Смешанный спектр состоит из дискретных и непрерывных частей на числовой оси. Пример смешанного спектра дает система, состоящая из электрона н протона. Энергия системы в области Е ) 0 образует непрерывную часть энергетического спектра и соответствует столкновению электрона и протона.
На отрицательной полуоси (Е ( 0) имеются уровни энергии Е„, которые соответствуют связанным состояниям электрона и протона (атом водорода). Теоретическое вычисление спектров физических переменных является важнейшей задачей квантовой механики. Конкретные примеры решения этой задачи будут рассмотрены в дальнейшем. Итак, для описания состояния микрообъектов в фиксированный момент времени должен быть задан полный набор физических переменных. Обозначим все переменные, входящие в полный набор, для краткости какой-либо одной буквой ', например В. При измерении с некоторой вероятностью может быть обнаружено одно из значений рассматриваемой физической величины, входящее в ее спектр.
Обозначим вероятность обнаружения некоторых значений у каждой из переменных В символом гп(В). В квантовой механике, говоря о вероятности, имеют в виду квадрат модуля амплитуды веро.ятн ости (волновой функции): гп(В) =(Чг(В) 1». (1.3) ' Для того чтобы отличать одно конкретное значение перелгенных от другого, мы будем иногда дооолнительио вводить индекс у символа В. Так, на. пример, Ва будет обозначать е-е значение переменных и полном наборе В. Комплексная амплитуда Ч" (В) представляет собой функцию полного набора переменных В. Фаза амплитуды при теоретических вычислениях может быть выбрана произвольно. Это означает, что мы можем умножать Ч' на множитель вида (1.4) где б — произвольное действительное число.
Дополнительный множитель (1.4) не дает вклада в физическую величину (1.3), так как его модуль равен единице. Формула (1.3) справедлива, строго говоря, только в том случае, когда все переменные в полном наборе В имеют дискретный спектр. Если имеется непрерывная физическая переменная, например х, то имеет смысл говорить уже о вероятности ее измерения в небольшом интервале (х, я+ах): сы (х) =! Ч~ (х)!2 ах.
(1.5) В более общем случае, когда имеется несколько непрерывных переменных, вероятность можно записать так: сйе(В) = 3 Т (В)!'Л'а, (1.б) где Л'а †элеме объема в пространстве непрерывных переменных х, у, ... (1.7) Квадрат модуля амплитуды вероятности является, таким образом, плотностью вероятности, и мы введем для него особое обозначение: (1.8) р (В) =1Ч (В) ~'.
Полную вероятность (обнаружить любое значение физических переменных) удобно нормировать на единицу, как это делается обычно в теории вероятности: (1.9) Для краткости мы записали в (1.9) знак суммы по спектру переменных В, хотя для непрерывных переменных вместо суммы нужно вычислить интеграл.
В некоторых случаях сумма по спектру переменных В оказывается бесконечно большой и необходимо вводить другое условие нормировки (см. 5 2). С физической точки зрения такой случай не является абсурдным, так как всегда нас интересует фактически относительная вероятность одного измерения по отношению к другому, и нормировка (1.9) на единицу не является обязательной'. Амплитуда Ч" (В) является функцией не только физических переменных, но зависит и от времени как от параметра.
Поэтому Ч'(В) характеризует также движение микрообъекта. Время как аргумент амплитуды вероятности мы будем выписывать явно лишь в тех случаях, когда будет существенным изменение состояния с течением времени. Пока же мы интересуемся лишь состоянием в фиксированный момент времени, поэтому не выписываем время в качестве аргумента функции Ч'. Состояние движения рассматриваемого микрообъекта может быть различным в зависимости от конкретных условий, в которых он находится. Вспомним, что в классической механике для однозначной характеристики движения необходимо задать начальные условия, т.
е. состояние в некоторый момент времени Г=(а; результат же любого измерения в произвольный момент времени Г ) Га можно теоретически предсказать, совершив переход к соответствующим каноническим переменным, которые выбраны для описания состояния в момент Г. В квантовой механике мы должны ввести какой-то аналог начальных условий, который зафиксировал бы конкретное состояние движения и позволил бы однозначно предсказать вероятность измерения переменных В. Зто можно сделать, указав некоторый полный набор физических переменных А, который с достоверностью наблюдался у микрообъекта во время предыдущего измерения. Зтот набор мы будем обозначать в виде индекса волновой функции следующим образом: Чт~ (В), (1.10) Волновая функция (1.10) имеет смысл амплитуды вероятности обнаружить физические переменные В у микрообъекта, находившегося в состоянии А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
