Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Первый магнит, как обычно, разделяя атомы, находящиеся в разных 1 1 спиновых состояниях с проекциями и= — и — — может рас- 2 2 ' щеплять попадающий в него пучок неполяризованных атомов на два пучка. Второй магнит, имея обратную полярность, отклоняет каждый пучок в сторону, противоположную направлению отклонения пучков первым магнитом. Третий магнит отклоняет каждый пучок так же, как первый магнит, сводя оба пучка снова в один.

В нижней части рисунка 2 показан путь атомов через три магнита: верхний пучок соответствует ориентации Рис. 2. Фильтр-анализатор Штерна — Герлала. спина «вверх>, а нижний пучок — ориентации спина «вниз». Разделив пространственно два пучка в среднем магните, мы получаем простую возможность фильтровать атемы по спиновым состояниям.

Для этого достаточно на пути одного из пучков поставить перегородку, тогда прибор будет пропускать только атомы с определенной ориентацией спина, создавая поляризованный пучок. Прибор превращается в филаптр-аналиллтор, который удобно использовать для приготовления и измерения различных спиновых состояний. Говоря об анализе по спиновым состояниям, мы отвлекаемся от пространственного движения атома и идеализируем тем самым наши опыты.

Для облегчения понимания их физической сущности лучше всего, однако, игнорировать те усложнения, которые имеются в реальных приборах Штерна— Герлаха. Опыт 1. Будем впускать в фильтр Штерна †Герла пучок поляризованных по оси г атомов. Внутри прибора все атомы, не расщепляясь на два пучка, пойдут по одному пути— верхнему в случае поляризованного вверх начального пучка, нижнему в случае поляризованного вниз начального пучка.

Перегораживание одного из путей приведет к тому, что прибор будет либо полностью пропускать падающий пучок А, либо полностью задерживать его в зависимости от положения перегородки (рис. 3). Результат нашего опыта может быть описан Рнс. 3. Схема прохождения поляризованного пучка через фнльтр-аналнзатор с осью квантовання, направленной вдоль начальной полярнзапнн. гн(А В„)=сов' — для случая а, в .,е зв(А В ) =з1п' — для случая б.

(5.1) Индексы «+» и « — » у символа В указывают на переходы в со- 1 1 стояния с проекциями оа= — (рис. 4а) и оа — — — (рис. 46). 2 Опыт 3. Добавим в предыдущем опыте еще одно измерение с помощью фильтра С, у которого ось квантования совпадает 24 амплитудой (3.!5), в которой индекс А соответствует начальному условию поляризации, а индекс  — условиям измерения в фильтре Штерна — Герлаха. Первая строка первого столбца матрицы (3.15) указывает на то, что пучок полностью проходит через прибор, как это показано на рисунке З,а. Вторая строка первого столбца указывает на полную задержку начального пучка (рис. 3, б).

О вы т 2. Будем впускать поляризованный пучок атомов в фильтр Штерна †Герла, у которого ось квантования га наклонена под углом 0 к оси поляризации гл начального йучка (рис. 4). Переход А — В может быть описан формулами (3.21) и (3.24), которые позволяют вычислить количество атомов, прошедших через фильтр В в случаях а и б: с направлением начальной поляризации атомов А (рис. 5).

Теперь мы имеем три последовательных измерения, которым соответствуют три набора переменных А, В, С. Измерение А играет роль начальных условий, задавая начальную поляризацию 1 атомов о„= †. Измерение фильтром В анализирует началь- ное состояние в терминах новой переменной — проекции оа на новую ось квантования гя.

При этом сказывается специфическая роль измерения в квантовой механике — его воздействие на измеряемый мнкрообъект. В результате измерения В прежнее состояние движения исчезает; возникает новое состояние движения, в котором переменные В играют роль начальных условий. Тот факт, что до этого атом находился в состоянии А, никак не влияет на последующее третье измерение С. Результаты измерения С полностью обусловлень1 переходом В- С н задаются амплитудой <С~В> вида (3.24). Переходы А — В и В- С в третьем опыте являются независимыми событиями. Поэтому вероятность прохождения через два фильтра равна произведению вероятностей: Рис. 4. Схема прохождения поляризованного пучка через фильтр-анализатор с осью квантования, направленной под углом к начальной поляризапни.

25 Рис. 5. Схема прохождения поляризованного пучка через два фильтра-анали- затора с разными направлениями осей квантования. — соз в 2 — з!п а 2 — и!и г 2 — соз е 2 Вероятности (5.2) соответствуют четырем возможностям прохождения фильтров В и С, как это показано на рисунке 5. Сумма четырех вероятностей равна единице. Это означает, что количество атомов, прошедших любым способом оба фильтра, точно совпадает с количеством атомов в начальном пучке А. Можно вычислить также количество атомов, вышедших из фильтра С в состоянии, которое соответствует проекции 1 о = — —, и прошедших фильтр В любым способом: оно опре- 2 ' деляется суммой вероятностей для случаев б и ги цг~ А С !=цг(А- Ве — С )+иг(А —  — С ) = В е е 2 = 2 з(пг — соз' †.

(5.3) Опыт 4. Изменим опыт 3, убрав перегородку в фильтре В (рис. 6). На первый взгляд кажется, что новый опыт эквивалентен сумме двух опытов Зб и Зг, показанных на рисунках 5, б, г, и что количество прошедших атомов определяется вероятностью (5.3). Однако на самом деле ситуация существенно изменяется. Убрав перегородку в фильтре В, мы тем самым отказываемся от промежуточного измерения.

Разделяя падающие атомы на два пучка, прибор В перестает их фильтровать. Он Рис. б. Схема опыта, иллюстрирующего принцип суперпоаиции спиноаых состоаний. а) цг (А — В е — С.„) = иг (А — В е) цг (В е — Се) =- соз' б) иг(А — Ве — С ) =иг(А — В,)цг(В.„- С ) = сов' в) цг(А —  — С+) =нг(А — В ) иг( — С+) = зш' !) цг(А —  — С ) =цг(А — В ) ги( — С ) = з)пг е, 2 ' е, 2 ' (5.2) в 2 ' 0 2 ' теперь не изменяет состояние движения, так как прошлая информация теряется не при разделении на пучки, а при сортировке по новым состояниям.

Атомы приходят в прибор С так, как если бы прибора В вообще не было. Зто означает, что количество прошедших атомов определяется амплитудой (3.15): и!(А — С )=!<С ~А>/'=~( — — ( — )! =О. (5.4) Отличие от результата (5.3) обусловлено тем, что движение через прибор В описывается теперь суперпозицией амплитуд типа (4.2): <С ~А>= ~ <С )В;><Вр.~ А>. (5.5) Квадрат модуля (5.5) состоит из четырех слагаемых: )<С ~В,>)»)<В»~А>!'+)<С ~В >!»~<В )А>~»+ +<С ~В.,><В+~А><С )В >'<В ~А>" + +<С ~В ><В 1А><С )В,.>'<В, ~А>'. (5.6) й а. ИВАнтОВОнехднические ВектОРы сОстОяния Мы уже не раз указывали на аналогию между векторной алгеброй и формализмом квантовой механики.

Проследим эту аналогию дальше, вводя новое понятие квантовомеханического вектора состояния. Для этого обратим внимание на то, что амплитуда вероятности <В ~ А> похожа на скалярное произведение (ВА) двух векторов А и В. Действительно, обе величины зависят от двух характеристик, обозначенных буквами А и В, и для них можно написать аналогичные соотношения (ВА) = ~ (Ве;) (е!А), (6. 1) ! <В) А>= ~~.",<В ~Е;> <Е;~ А>. (6.2) Соотношение (6.1) — это запись скалярного произведения через проекции векторов А;=(Ае;) и Вг=(Ве!) на базисные орты е; ((=1, 2, 3). Соотношение (6.2) — это разложение типа (4.2) по Два первых слагаемых совпадают с вероятностью (5.3).

Кроме того, в сумме (5.6) имеются два интерференционных члена, которые содержат произведение амплитуд для двух разных промежу- ! 1 точных состояний с проекциями ов= — и —. Нулевой ре- В 2 з зультат (5.4) означает, что две волны де Бройля, соответствующие двум возможным путям прохождения через прибор В, как бы «гасят» друг друга аналогично тому, как это происходит в дифракционных картинад прн интерференции света.

Характеристики

Список файлов книги