Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Она является фактически функцией двух наборов физических переменных А и В, которые описывают два последовательных измерения. Измерение А играет роль начальных условий; оно необходимо для однозначного задания состояния движения. После этого можно теоретически предсказать вероятность любого измерения В, вычислив с помощью уравнений квантовой механики функцию (1.10). Переход от измерения А к измерению В аналогичен преобразованию к другим каноническим переменным классической механики.
В классической механике начальные и конечные условия измерения играют равноправную роль, так как существует возможность ооратить направление движения во времени. В кван- з Изменение нормировки зквивалентно умнозкению волновой функцин на некоторое число с. Прн этом функции зр(В) и сЧ'(В) описывают одно и то зке состояние.
1о товой механике два набора переменных А и В в амплитуде (1.10) также играют равноправную роль, что хорошо видно в скобочных обозначениях Дирака: Ч'л (В) = <В ( А>. (1.11) Скобка в правой части тождества (1.11) является аналогом матричного обозначения, в котором фигурируют два индекса. Другими словами, амплитуду (1.11) можно рассматривать как некоторую матрицу Ч"вл = <В ) А>, (1.12) у которой В и А играют роль двух равноправных матричных индексов. Индекс А называют индексом сосгпояния, так как он указывает, какое именно состояние микрообъекта мы рассматриваем.
Индекс В называют индексом представления, так как он указывает тип измерения, который мы хотим выполнить над рассматриваемым микрообъектом. Поскольку индексы А и В подразумевают наличие двух последовательных измерений, амплитуду вероятности (1.11) можно интерпретировать как матрицу перехода от переменных А к переменным  — матрицу преобразования от А-представления к В-представлению.
Описание движения микрообъекта с помощью амплитуды вероятности является исходным постулатом квантовой механики. Математический аппарат квантовой механики позволяет теоретически вычислить амплитуду (1.11) — это вторая основная задача квантовой механики в дополнение к задаче о вычислении спектра физических переменных. й 2. СВОБОДНО ДВИЖУЩИЕСЯ ЧАСТИЦЫ Простейшим примером микропроцесса является свободное движение частицы, т. е.
движение с постоянным импульсом р в неограниченном пространстве. Волновая функция для этого случая может быть написана по аналогии со свободно распространяющейся электромагнитной волной. Именно это и было сделано де Вройлем (1924 г.), который сопоставил свободно движущейся частице плоскую монохроматическую волну а ехр [1 (рг — Ег)4~, (2.1) где р и Š— импульс и энергия частицы; а — некоторый численный множитель.
Интерпретация функции (2.1) вытекает из основного постулата квантовой механики, согласно которому любое движение описывается амплитудой вероятности вида (1.11). В данном случае движение характеризуется постоянным чмпульсом р, который должен играть роль полного набора А. Вектор г в (2.1) П указывает на то, что мы интересуемся вероятностью измерения положения частицы и рассматриваем амплитуду вида <В ) А> = <г) р>. (2.2) Зависимость от времени нас не интересует, поэтому можно подставить в (2.1) значение 1=0.
Это эквивалентно допустимому изменению фазы волновой функции за счет множителя вида (1.4). Выбор коэффициента а в (2.1) эквивалентен введению определенной нормировки для волновой функции. Если принять а= (2лгр)-ч*, мы получим окончательно следующее выражение для волновой функции свободно движущейся частицы: ЧУр (г) = <г) р> =,,РгФ 1 (2.3) (2лй) П Квадрат модуля амплитуды (2.3) дает не зависящую от координат плотность вероятности 1 р = „= сопзг. (2лп)« Это означает, что свободно движущаяся частица обладает как бы наиболее выраженными волновыми свойствами, так как оиа равновероятно «заполняетр все пространство.
Здесь мы имеем наибольшее отличие от соответствующего классического описания движения, при котором частица с достоверностью находится на траектории (2.6) г=г,+(1 — 1,)р„'т. Действительно, область, в которой можно обнаружить классическую частицу (линия в пространстве), резко отличается от истинной области, в которой находится реальная микрочастица (все пространство). Интеграл от плотности вероятности (2.4) по всему пространству (полная вероятность) оказывается бесконечно большим, и невозможно нормировать волновую функцию на единицу.
Но можно рассмотреть интеграл от двух разных волновых функций, соответствующих двух разным значениям р, и р, импульса: <г) р,>'<г) р,> «(«г = ~ е'1р,— р,1 ~" Рг. (2,6) 1 (2лд)з Одну из амплитуд в (2.6) мы взяли комплексно сопряженной (обозначена звездочкой). Выражение (2.6) является хорошо известным интегральным представлением трехмерной 6-функции Дирака в импульсном пространстве (см.
приложение А). Таким образом, вместо обычного нормировочного условия (1.9) рассматривается соотношение ~ < )р„>*<г~р,>4' =6'(р,— р,), (2.7) 12 которому удовлетворяет функция (2.3). Функции, удовлетворяющие условию (2.7), называют нормированными на Ь-функ<(ию. Соотношение (2.7) является следствием определенного выбора коэффициента а в выражении (2.1) для амплитуды.
При другом значении коэффициента а в правой части соотношения (2.7) появился бы дополнительный численный множитель, т. е. волно. вые функции не были бы нормированы на б-функцию. Рассмотрим теперь свободное движение 1>1 невзаимодействующих частиц, которое характеризуется совокупностью А> импульсов р<'>, р<*>, ..., р<н>. В качестве полного набора В возьмем совокупность радиусов-векторов г<'>, г<'>, ..., г<н>, которую можно интерпретировать как точку в ЗА>-мерном конфигурационном пространстве рассматриваемого микрообъекта.
Такой выбор переменных означает, что мы интересуемся вероятностью обнаружить 1-ю частицу в точке г<'>, 2-ю частицу — в точке г<->, ..., А<-ю частицу — в точке г<">. Очевидно, что движения невзаимодействующих частиц можно рассматривать как независимые события, и вероятность измерения многочастичного набора переменных записывается поэтому в виде произведения одночастичных вероятностей. Соответствующая многочастичная амплитуда вероятности также имеет внд произведения одночастичных амплитуд (2.3): <г<'>, г<'>, ..., г<н> /р«>, р<'>, ..., р<">>= = <г<'> ~ р<м» <г<'> /р<'>>...<г<">/р<">>.
(2.8) Для амплитуд (2.8) справедливо соотношение, аналогичное условию (2.7): <г'", г"', ..., г<н> (р<1>, р,"', ..., р,'"»'х < <г<и г<я г<н> ~ р<п р<и р<н>> с(<ги><(зг<» Р .<и> 1 1 1 =б (р* — ро)б (р — р )...б (р, — р< ).
(2.9) Равенства (2.7) и (2.9) можно записать компактно в такой форме: ~<В)А,>" <В<А,>= б(А„А,), (2.10) где сумма по В имеет смысл интегрирования по конфигурационному пространству микрообьекта, а символ 6(А„А,) имеет смысл многомерной б-функции в пространстве полного набора физических переменных А.
$3. ФОРМАЛИЗМ СПИИОВЫХ ПЕРЕМЕНИЫХ Важной физической величиной, которая используется для описания состояния микрочастиц, является момент имнульса— спин, который необходимо рассматривать как дополнительную !3 физическую переменную в полном наборе В.
Кроме спина (собственного момента импульса), частица может иметь еще «обычный» момент импульса, который является результатом пространственного перемещения и выражается через импульс и координату частицы. Такой момент называют орбитальным (или углоеыл) моментом импульса' в отличие от собственного момента импульса. В классической физике момент импульса является вектором, т. е. характеризуется тремя независимыми величинами, например тремя проекциями на координатные оси. Будем обозначать собственный момент импульса буквой 3 в отличие от орбитального момента импульса Ь. Когда нас не будет интересовать физическая интерпретация момента импульса, т.
е. в общем случае, мы будем использовать для обозначения символ 3. В квантовой физике момент импульса характеризуется д в умя независимыми величинами, в качестве которых выбирают квадрат момента 1» и проекцию момента на какую- либо координатную ось (ось квантования). Не нарушая общности, мы всегда можем обозначить ось квантования индексом г, т. е. выбрать для описания момента импульса величины Л' н л',(3' и 5,— для описания спина). Уравнения квантовой механики приводят для любых микро- объектов к универсальному спектру величин Лз и г', (см.
р 9 и приложение В): Л'=й'! (1+1) (3. 1) ./, = гзпт, ( и ( ( 1. (3.2) Здесь 1 — клантоеое число (безразмерное целое или полуцелое положительное число). Число пт при заданном 1 может принимать следующие 21+1 значения: т=Ь1 — 1, ...,— 1. (3.3) Оно имеет простой физический смысл, так как в единицах Фоно совпадает с проекцией момента импульса. Число ] связано более сложным образом с величиной момента, однако для простоты его обычно называют моментом импульса в единицах Й. При больших значениях момента получаем 1» й»12 (с точностью до поправки -1<)).
В этом случае квантовое число) уже совпадает с величиной момента импульса, измеренного в единицах Й. Названия <спин» и <орбитальный момент» неудачны, так как отражают неправильные, классические представления. Эти названия были введены тогда, когда еще пытались интерпретировать движение микрочастнны как перемещение по траектории (орбите) с дополнительным «собственным вращением» (от англ. зр!и — в р а щен не). Для собственного момента количества движения аналогичные формулы можно записать в следующем виде: 8» = Ьз (з+ 1), (3А) В,=йа, о=э, е — 1, ..., — е. (3 5) Число е наряду с массой является важнейшей внутренней характеристикой частицы; именно это число называют спинам частицы.
Частица, у которой е — целое число, называется бозоном или бозе-частицей. Частица с полуцелым з называется фермионом или ферми-частицей. Значение числа а в отличие от з может изменяться при движении частицы. Поэтому в полный набор переменных В для частицы с отличным от нуля спинам входят 4 переменные: В <г, а — в координатном представлении, (3.6) р, а — в импульсном представлении. Различные значения о соответствуют разным проекциям спина на ось квантования — разным спиноеым состояниям заданной частицы.
Подобные разные состояния, соответствующие разным значениям переменных в полном наборе В, называются базисными состояниями в В-представлении. 1 Для электрона и протона е= —, поэтому возможны два спиновых состояния, соответствующие двум разным ориентациям 1Х / 1Х спина: «спин вверх» (а= — ) и «спин вниз» ( а= — — ) . Обратим 2) 2) ' внимание иа условность этой терминологии. Действительно„если представлять себе спин как вектор в пространстве„то ориентация вверх соответствовала бы проекции В,=й У'з( +1) =й)'372~$.—,1 .
Кроме того, у вектора должна быть определенная проекция на координатную плоскость ху, перпендикулярную к оси квантования, в то время как для спина можно задать только проекцию 5,. Все это показывает, что момент импульса нельзя представить себе как пространственно ориентированный вектор. Лучше всего отказаться от этого привычного классического образа и при описании спина пользоваться только квантовомеханическими переменными $» и 5,. Тогда употребляемую обычно «геометрическую» терминологию нужно воспринимать просто как некоторое условное соглашение, а не как намек на наглядный геометрический образ. В нерелятивистском приближении спииовая переменная независима от других переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
