Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Матричные элементы любого оператора Р имеют в представлении Гейзенберга следующий вид: <и $Р$ й> ехр (1(Ел — Еа) ЦЦ = Е„а ехр (1ю„Д. (11.20) Их зависимость от времени определяется частотой перехода л а (11.21) Разложение (11.18) можно записать в эквивалентной форме ) 1) = ,~ ~) и> сл (Г), (11.22) л считая, что зависимость от времени содержится в коэффициентах разложения с„(1) = — <п)1> =<я)1=0>е 'влн . (11.23) Состояние движения описывается в этом случае зависящей от времени волновой функцией (11.23), а базисные векторы (11.15) выбранного представления и матричные элементы оператора Е не изменяются с течением времени'.
Такой способ описания состояния движения называют картиной 1Нредингера или представлением изменения состояния Шредингера. В момент времени с=0 волновые функции и матричные элементы операторов в представлении Шредингера н в представлении Гейзенберга совпадают. Разложения (11,18) и (11.22) проведены по состояниям с определенной полной энергией микрообъекта.
Иначе говоря, для описания состояния движения мы выбрали энергетическое представление (Е-представление). Однако разложение вида (11.22) можно осуществить по любому другому базису ~В„>, который определяется полным набором физических величин В в некоторый фиксированный момент времени, например с=0: ( 1> = ха ~ Вл) сл (1), (11.24) л Сл(1) — = <В„~ Г>— = Ч'(Вл, 1). (11.25) Совокупность коэффициентов разложения (11.25) имеет смысл волновой функции в В-представлении. Их временная зависимость задается уравнением Шредингера в матричной записи: ,,'>иНл с„(1) = Йс„(1). (11.26) т тлы рассматриваем здесь лишь операторы, не зависящие явно от вре- дменя, т. е.
обладающие свойством — т"=О. дт При переходе от общего случая к энергетическому представлению матрица гамильтониана приобретает диагональный вид: Н„а=Е„Ь(п, й). (11.27) Подставляя (11.27) в (11.26), получаем простое уравнение: Е„с„(1) = (йс„(1) . (11.28) Решением уравнения (11.28) является коэффициент (11.23). Отметим в дополнение, что в энергетическом представлении очень простой вид имеют матричные элементы Р„л оператора Р, л который соответствует физической величине Р— = — Р и задается Ж условием (11.29) Формулы (7.18) и (11.18) позволяют записать среднее значение в виде разложения Р= Х спсаР„е'"м' .
(П.ЗО) Отсюда видно, что условие (11.29) эквивалентно соотношению (11.31) После дифференцирования и сокращения зависящего от времени множителя равенство (11.31) переходит в соотношение (11. 32) Рий шлйРль которое позволяет вычислить матрицу производной по времени Р от физической величины Р. й 12. СООТИОШЕНИЕ ИЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕИ Получим важное математическое соотношение, которое помогает глубже понять физические принципы квантовой механики. Как отмечалось ранее (см.
5 1, 7), в квантовой механике существуют несовместимые физические величины. Это величины, которые не могут иметь одновременно определенные значения ни в одном состоянии. Оказывается, что между средними квадратичными отклонениями таких величин от их средних значений, т. е. между их дисперсиями, существует взаимосвязь, которая выражается в форме некоторого неравенства. Это неравенство является следствием перестановочного соотношения для соответствующих операторов.
(12.2) где Р = < А ) Р [ А> =,~ ~Ч" д (В) РЧтд ( В) в 6 = <А ( 6 ) А> =,~~ Ч'л (В) 6Чтл (В) в (12.3) являются средними значениями физических величин Р и 6 в некотором состоянии А. Вычисление средних значений может быть выполнено в представлении произвольного полного набора В, как зто записано в формулах (12.3). Новые операторы удовлетворяют прежнему перестановочному соотношению: [ЛР, Лб) =-1К.
(!2.4) Рассмотрим теперь вспомогательную функцию действительного параметра а: [(сс) =Х)(аЛР— Иб) Ч'д (В) )') О, (12 б) в которая является суммой некоторых положительных слагаемых по спектру переменных В. Принимая во внимание самосопряженность операторов ЛР и Лб, а также перестановочное соотношение (12.4), преобразуем зту функцию: 1(а) =,~~Ч"л (В) (аЛР+Иб) (ссЛР— Иб) Ч'д (В) = в =,).",Ч"л (В) [а'(ЛР)'+аК+(Л6)'[ Чтд (В) = в =а'<А) (ЛР)') А>+к <А)К) А>+ <А ! (Л6)'! А>= = сР(ЛР)'+аК+(Лб)*) О.
(12.6) Неравенство (12.6) должно выполняться при любых а, что возможно только прн условии 4 ( (12.7) Полученное неравенство называют соотношением неопределенностей для физических величин Р и 6. Его обычно записывают в виде Пусть Р и 6 — два оператора физических величин Р и 6, удовлетворяющие перестановочному соотношению [Р, 61 = (К, (12.1) где К вЂ” самосопряженный оператор. В частном случае Р=х, 6 = р„ оператор К равен постоянной величине й. Введем новые операторы ЛР=Р— Р, Лб=б — 6, (12.8) где символы (12.9) обозначают «неопределенности» величин Г и 6 (средиие квадратичные отклонения величин Р и 6 от нх средних значеннй). Для координаты и импульса неравенство (12.8) переходит в соотношение неопределенностей Гайзенберга (1927 г.): Лх. ЛР„- й.
(12. 10) Неопределенность координаты Ьх характеризует степень локализации движения — это как бы размеры волны де Бройля Ч" (х, ...) в направлении координатной оси х. Волну де Бройля конечных размеров (волновой пакет) можно представить в виде суперпозиции плоских волн, причем коэффициентом разложения является волновая функция в импульсном представлении Ч'(р„, ...). Неопределенность ЛР„характеризует размеры волнового пакета в импульсном пространстве (рис. 7,8). Из всех возможных вол- х=О Рк =Ро Рк Рис. У.
Плотность вероятности в координатном и импульсном, представлениях для волнового пакета гауссовской формы. М Рк =Ро Рк Рве. а. Плотность вероятности в координатном и импульсном представлениях для волнового пакета прямоугольной формы. новых пакетов пакет гауссовской формы, рассмотренный в задаче (1.4) и показанный на рисунке 7, имеет наименьшее значение произведения неопределенностей Лх Лр„=й(2 (см. задачу 2.9). Для пакета прямоугольной формы (см. задачу 1.3 и рис. 8) нельзя ввести строгое определение неопределенности импульса по формуле (12.9), так как из-за медленного убывания функции р (р„) на бесконечности соответствующий интеграл расходится.
Несмотря на это, соотношение неопределенностей (12.10) имеет смысл даже в этом случае, если в качестве величин Лх и Лр„ принять качественные характеристики размеров пакета, как это показано на рисунке 8. Крайними случаями волновых пакетов являются состояние с определенным импульсом (Лр„ = Лр„ =Лр,=0) и состояние с определенным значением координаты (Лх = Лу = Лг = О).
Первый случай соответствует свободному движению микрочастицы в неограниченном пространстве, когда ее координаты совершенно неопределенны — Лх=Лу=Лг=оо (см. 5 2). Во втором случае частица максимально локализована в пространстве, зато ее импульс полностью неопределенен — Лр„= Лр„= Лр, = со. В противоположность классическим представлениям для микро- частицы не существует состояния, в котором одновременно имели бы определенные значения векторы г и р.
Поэтому классические понятия координаты и импульса требуют существенного уточнения при переходе к описанию движения микрообъектов. В 9 1 мы уже подчеркнули, что у микрочастицы нет траектории, т. е. ее движение нельзя описать с помощью функции г= г(().
Для микро- частицы нельзя также ввести понятие импульса как функции времени р=р(г). Понятие импульса относится ко всему состоянию движения в целом, так как имеет смысл ставить вопрос только о вероятности обнаружения того или иного численного значения импульса в этом состоянии. Квантовая механика описывает состояииедвижения не путем задания функций г(1) и р(1), а с помощью волновых функций Ч'(г, г) или Ч" (р, 1).
Отсутствие функций г(1) и р(() эквивалентно отсутствию функциональной связи между импульсом и координатой р=р(г). Используемое в классической механике понятие импульса частицы в определенном месте пространства имеет таким образом лишь ограниченный смысл. Соотношение неопределенностей как раз и отражает ту степень погрешности, которая допускается при описании движения материального объекта с помощью классических, макроскопических представлений. Обратим внимание на то, что при описании электромагнитного поля используют аналогичный метод. Распространение электромагнитной волны характеризуют либо функциями Е (г, 1), В (г, Г), либо их фурье-преобразованиями Е (й, 1), В (1с, 1). Другими словами, электромагнитный волновой пакет нельзя характеризовать одновременно координатой г и волновым век- 60 тором к. Неопределенности координаты и волнового вектора связаны соотношениями: Лх Лй„~ 1, Лп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
