Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Лй„~), (12. 11) Лг ЛА,~1. Эти соотношения аналогичны соотношениям неопределенностей Гейзенберга, так как импульс электромагнитного волнового пакета связан с волновым вектором соотношением р= — йк. Таким образом, квантовомеханическое соотношение неопределенностей математически выражает наличие у реальной частицы как корпускулярных, так и волновых свойств. Анализируя явления микромира с помощью таких корпускулярных понятий, как координата и импульс частицы, мы используем понятие волновой функции, т. е.
остаемся в рамках волновых представлений. Вследствие малой величины постоянной Планка 11 соотношение неопределенностей (12.10) существенно только для микрообъектов, а при переходе к макроскопическим условиям движения неопределенности Лг и Лр становятся пренебрежимо малыми по сравнению с собственными размерами и импульсами материальных тел. Пренебрегая неопределенностями координаты и импульса, мы описываем движение макроскопических тел с помощью понятия траектории, т, е, указываем одновременно определенные значения координаты и импульса.
В классической механике х и р„ являются канонически сопряженными величинами. Согласно Й..Бору, каждая физическая величина вместе со своей канонически сопряженной образует пару дополнительных величин. Квантовомеханические операторы, соответствующие канонически сопряженным величинам, не коммутируют между собой. Поэтому в любом состоянии микрообъекта из пары дополнительных величин определенное значение может иметь только одна. В связи с этим Н. Бор сформулировал принцип дополнительности (1928 г.), согласно которому квантовомеханическое описание распадается на два взаимно исключающих класса.
Они являются дополнительными друг к другу в том смысле, что их совокупность могла бы дать в классическом понимании полное описание состояния рассматриваемого объекта. Принцип дополнительности дал почву для идеалистических толкований квантовой механики. Некоторые физики утверждают, что он определяется условиями измерения и не отражает объективные свойства изучаемого мнкрообъекта. Такая позиция логически неизбежно приводит к отрицанию объективного существования материи, так как все явления микромира и даже само существование микрообъектов объясняются наличием акта измерения. Результат измерения зависит на самом деле как от свойств измерительного прибора, так и от свойств изучаемого объекта.
Использование разнообразных приборов дает возможность более полно изучить свойства самого объекта. При этом мы глубже познаем объективные закономерности, которые проявляются при взаимодействии микрообъектов между собой и с макроскопическими системами. Использование открытых закономерностей в практической деятельности подтверждает, что они отражают реальные свойства микрообъектов.
Задачи тс главе 2 2Л. Доказать, что собственные значения самосопряжениого оператора Г действительны, а собственные векторы, соответствуюпгне различным собственным значениям, ортогональны друг другу. Доказательство. а) Пусть Р)х>=Р~х>, <х(Р+ =Р*<х). Умножая первое равенство слева на <х), а второе справа на )х> и вычитая одно из другого, получим: <х) (Р— Р+) ) х> =(Р— Р*) <х) х>. Поскольку согласно условию самосопряженности Р =Р+, то приходим к равенству Р— Р* = О, означающему действительность собственного значения Р. б) Пусть Р)х>=Р,(х>, <у)Р+ =Р,<у(; Р»ФРг.
Умножая первое равенство слева на <у(, а второе справа на (х> и вычитая одно из другого, получим: (Р,— Р,) <у)х> =О, <у!х>=О, что и требовалось доказать. зчп Доназать, что две физические величины Р и 0 могут быть измеримы одновременно тогда и только тотда, когда операторы этих величин Р и 0 коммутируют. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость коммутативности операторов Р и 6 при условии существования у них общего собственного вектора ~х> вытекает из следующих очевидных преобразований: Р6~х>=Р6~х>=Р6~х> =6Р)х>= 6Р~х>. Достаточность условия коммутативности Р6 — 6Р=О становится очевидной, если вычислить его матричные элементы в Р-представлении (матрица оператора Р имеет диагональный вид, т. е.
Рм — — Ргбм): (Р6 6Р)м ьл (Рп6г» 6пРя) 6г» (Р' Р») О Отсюда видно, что 6га=О для Рг~ра, т. е. матрица 6,„диагональна одновременно с матрицей Ег . Значит, собственные функции оператора Е одновременно являются собственными функциями оператора 6. Доказательство усложняется в том случае, когда некоторому собственному значению Рт соответствует группа разных состояний (случай вырождения).
Тогда могут быть отличны от нуля недиагональные элементы оператора 6 между разными состояниями этой группы. Однако в этом случае недиагональные элементы можно обратить в нуль путем перехода к другим базисным векторам, составленным как линейные комбинации прежних. 2.3. Проверить, является ли оператор комплексного сопряжения линейным. Р е ш е н и е. Обозначим оператор комплексного сопряжения символом К. Тогда имеем: К(а,Чг,+аЧг,)=а,"Чг„*+а,"Чг; = = а,'КЧг, + а*,КЧгк эь а„КЧг, + а,КЧ',.
Это значит, что оператор К нс является линсйным. о' 2.4. Проверить, является ли оператор дифференцирования й= — само- И» сопряженным. Решение. Так как <1~6~2>= ') Ч";(х)„— Чг,(х)с(х= и М Ю = Ч" т (х) Ч", (х) ~ — ~ Ч", (х) „— „Ч'т (х) с(х = — ~ Ч' (х) 6Ч" ' (х) с(х 4-. ОЭ О В ~() т:(чвт.(4о)-(г~йо' * г г е"' 1-о самосопряженным. При доказательстве было выполнено интегрирование по частям и учтено, что на бесконечности волновая функция обращается в нуль.
2.5. Доказать, что в любом состоянии Чг среднее значение ввергни Е~ Ее, где Ео — энергия основного состояния. Д о к а з а т е л ь с т в о. Е =- <Ч' ! Й ) Ч > =-~< Ч' ~ Ег ><Е; ~ Й ~ Е > х к,* Х<Еа~Чг>=~~Р(<Чг~Чгг>~тЕг Ет'Я~<Чг~Чг,>)'=Ее. с Равенство Е=Е, имеет место только в том случае, когда 1 при 1=0, О при гФО, т т. е. только в основном состоянии. При усреднении энергии по любому состоянию, отличающемуся от основного, получим неравенство Е) Е,. 2.6. Вычислить среднее значение квадрата расстояния электрона от ядра 1 -гlг в основном состоянии атома водорода Ч'(г) = е в / з Ответ. 1 Р1) ~Ч = З;. 2.7. Вычислить коммутатор операторов проекций момента количества двнженин тл и й, используя явный вид операторов в координатном представлении. Р е шеи не. ЕЯт — ЕЯ„=ь„1гр„— хр,) — 1гр„— хр,) 1„= =1гзг гйх) Рх х КкРэ Рэг х) = гл9Рк+ ггыРэ =г ггт э' Здесь были использованы коммутаторы: Е„г — 21.„= (уР,— гр„) г — г (ур, — ртг) = — глу, ~.
Р.— РЯ = М,— гР„) Р,— Р.Ы.— Р„г) = — '~ьР„. 2.6. Найти собственные значения и собственные функции оператора спина Я„ для электрона в 5 -представлении. Убедиться, что собственные функции образуют полную, ортогональную систему функций в синцовом пространстве электрона. Р е ш е н и е. Оператор З„в представлении 3, имеет вид матрицы: й (О 1~ Уравнение для определения собственных значений и собственных функций запишем так: — '(") (~) ='© Отсюда находим собственные значения л= ~ — и соответствую- Ф 2 щие им собственные функции ~ ~-')= — '-(') ~.~-я= — '-( ') Легко убедиться в ортогональности этих функций: 2 11, 1) ( ) = О.
64 /а'! Очевидно, что любой вектор в спиновом пространстве !х ~ может быть записан в виде разложения: что доказывает полноту системы найденных функций. 2.9. Проверить соотношение неопределенностей для пакета гауссопекой формы, используя результаты задачи 1.4. Р е ш е н и е.:; = О, (х — х)* = У' ) х'е-' л* 0х = а Л! е-тал Дх е ! 2 аа,~ 4а ' л (л-л.1* — э !уз с р=р„(р — р)'= — ) (р — р)* ° 1* бр= Ь', 2айт,) — — й (х — х)' (р — р)' = —. 2 2.10. Найти правило эрмитового сопрямения произведения двух операторов рее. Решение. Правило нетрудно получить после следующих преобразований матричных элементов: <х ) (Р6) ) у> = <у ( Р6 ~ х>' = =;Я~ <у ) Р ) л)' <и ) 6 ~ х)' = ~ <х ! 6 э (! и> <п ! Р+ ) у) = <х ~ 6+Г"" ! у). и л В краткой операторной записи это эквивалентно следующему результату: (Р6)+ = 6+Р+.
2.11. Построить векторы состояния ~ 1„!е! 1, т), соответствующие пол! ным моментам 1=1 и О, для двух моментов !е=у,= —. 2 Решение. Максимальную проекцию т=! можно получить ! только прите=те= —,, поэтому 2 ' 3 ю ззз Совершенно аналогично для минимальной проекции и = — 1: 5. —,'' . — )=$.—,')Б. —,') 1 1 Вектор ~ —, —; 1, 0) можно построить, учитывая симметрич- 2' 2' 1 1 ность векторов ~ —, —; 1, ~ 1) относительно перестановки двух 2' 2' моментов. Очевидно, что этой симметрией должны обладать все векторы для ! =1, так как они могут быть получены один из другого поворотом системы координат.
Отсюда для 1=1, т=О получаем симметричную комбинацию: — — О) ~~ —, — 2)~ —, — 2)+~ —,, — )! —, — )~, 1 где коэффициент !Ч==,задается условием нормировки век1г 2 тора на единицу. Вектор ~ —, —; О, 0) должен быть ортогонален вектору 1 1 1- — — 1, 0), что имеет место только для антисимметричной 1 1. 2' 2' комбинации: »2»э)(122)!2г2)~22)!22)1 Коэффициент й1== задается опять условием нормировки.
1 У 2 ЛИТЕРАТУРА 1. А. С. Давыдов. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963. 2. Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. Фейнмановские лекции но физике, вып. б и 9. М., «Мир», 1966. 3. П. А. М. Ди р а к. Принципы квантовой механики. М., Физматгиз, 1966. 4. Д. И.
Б л о х и н ц е в. Основы квантовой механики. «Высшая школа», !96!. 5. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика. М., Фнзматгиз, 1963. Глава 3. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИИ $ 13. сВОБОдиОВ дВижение чАстицы В ОГРАНИЧЕННОМ ОБЪЕИЕ Теперь переходим к решению конкретных задач квантовой механики. Энергия микрообъекта является важнейшей физической переменной, поэтому основным математическим соотношением будет служить стационарное уравнение Шредингера. В данной главе будут рассмотрены некоторые случаи движения одной бесспиновой частицы, для чего воспользуемся уравнением (11.17). Волновая функция, удовлетворяющая уравнению (1!.17), должна иметь некоторые общие свойства для любых потенциалов (7(г). Во-первых, она должна быть однозначна и неп р е р ы в н а во всем пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
