Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Во-вторых, она должна обладать непрерывной производной во всех точках, кроме тех, где потенциал делает бесконечно большой скачок. Частица не может проникнуть в области пространства, где потенциал принимает бесконечно большое значение (7 = оо. Поэтому на границе этих областей волновая функция должна обращаться в нуль. Производная волновой функции на такой границе может испытывать скачок. Наконец. при решении уравнения Шредингера должны быть правильно поставлены граничные условия на бесконечности. В этом отношении все движения можно разделить на два класса: 1) движения с пренебрежимо малой вероятностью пребывания в бесконечности (финитные движения); 2) движения с конечной, отличной от нуля вероятностью пребывания в бесконечности (инфинитные движения).
В случае финитного движения волновая функция может быть нормирована на единицу условием: (13.1) Основные особенности финитного движения можно увидеть иа примере свободного движения частицы в ограниченном объеме простейшей геометрической формы — параллелепипеда: 0<х<а, 0<у<Ь, 0 <а<с. (13.2) Указанные условия движения будут выполнены при следующем потенциале: 0 внутри параллелепипеда, оэ вне параллелепипеда. бт Уравнение Шредингера для внутренней области ( де д д Зт — + — + — + — Е) Чт(г) =0 дх~ ду" дге йз (13.4) и граничное условие Ч" = 0 на стенках параллелепипеда позволяют рассматривать движение вдоль каждой координатной оси как независимое. Следовательно„ волновую функцию можно искать в виде произведения трех функций: Ч" (г) =Ч',(х) Ч",(у).Ч',(г), (13.5) каждая из которых удовлетворяет одномерному уравнению Шредингера: (13.8) ~ —,, +lг,') Ч",(х) =О, А, =Ь'2тЕ,(Й, ( — „, +А,') Ч'.
(у)=0, й,= У2тЕ,Д, ( — „., + й.; ) Ч~, (г) = О, й„=~l 2тЕ„7Й; Е,+Е,+Е,=Е. Достаточно решить одно из этих уравнений, чтобы по аналогии написать решения для других. Общее решение первого уравнения во внутренней области имеет вид: Ч', (х) = с,ем* +с,е-'"". (13.7) Первое слагаемое в (13.7) описывает свободное движение в положительном направлении оси х, а второе — в противоположном направлении. Квадраты модулей коэффициентов с„ и с, равны вероятностям обнаружить частицу в соответствующих состояниях. Граничные условия на стенках параллелепипеда Ч", (0) = О, Ч", (а) 0 (13.8) приводят к следующим соотношениям: с,+с,=О, с,ем "+с,е-м '= О.
(13.9) Первое соотношение позволяет записать волновую функцию в виде: Ч', = 21с, з! г, й,х, (13ДО) Здесь п, †люб целое число, болыпее или равное нулю. а второе — найти волновой вектор и энергию одномерного движения: (13.11) Условию (13.1) можно удовлетворить, отнормировав каждую одномерную функцию на единицу. Отсюда имеем: О а 1= ) ( Ч" (х) !'дх ='!21с (') з)п'а хдх=-~2(с )'а)2.
(13.12) 2)с,=) 2/а.ем. Фаза б в (13.12) остается произвольной; мы выберем ее так, чтобы волновая функция была действительной (6=0). Окончательно получаем для полной энергии и волновой функции трехмерного движения: 2т 1 ал ь' е'-' Ч" (г)= 1/ — гйп ( ' х1 з!и ( ' у1з(п ""("* )г" (13.14) где и„ и„ и, -= О, 1, 2, Наиболее важным свойством рассмотренного движения является квантование энергии. Дискретные значения энергии (уровни энергии) задаются набором трех квантовых чисел п„и,„п, в соответствии с формулой (13.13).
Основному состоянию соответствуют квантовые числа и, =и,=и,=О и энергия пгл2 г (13. 15) / Это означает, что низшее энергетическое саста ян ие микрочастицы не является состоянием покоя. Указанный специфически квантовый результат является прямым следствием соотношения неопределенностей Гейзенберга (12.!0).
Действительно, состоянию покоя соответствовало бы нулевое значение энергии и импульса, а следовательно, и нулевое значение неопределенностей ар„, Лр„, Лр„что несовместимо с конечными значениями неопределенйостей координат Лхж а, Лу=Ь, Лг = с. Финитное движение нельзя охарактеризовать определенным значением импульса, как это имеет место в случае свободного движения в неограниченном объеме (см. Э 2). Вместо этого имеем распределение по импульсам с конечными значениями неопределенностей (см.
задачу 3.1): Лр„- —, Лр, — —, Лр.- —. ь и в (13.17) На рисунке 9 изображены одномерные волновые функции для трех первых значений квантового числа п. Заметим, что число и совпадает с числом нулей (узлов) волновой функции во внутрен- Ео ,,й ) 1 1- оу 0 а х Рис. 9. Графики потенциальной энергии и волновык функций одномерного свободного движения нз отрезке Ом.:.хе-,а. Осью абсциссдля Ч'е(х), Ч', (х), Ч',(х) служа.г значейия энергии Е=птхз(п+1)т(2тат прн о=о, 1, 2. Рис. 10.
Волновая функция частицы, движущейся в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины: а) случай неглубокой ямы (Ее = О): б) случай глубокой потенциальной ямы. ней области, причем ббльшему значению п соответствует более высокое значение энергии одномерного движения.
Оказывается, что в любом случае финитного одномерного движения все состояния и соответствующие уровни энергии можно пронумеровать с помощью квантового числа так, что волновая функция и-го состояния будет иметь п узлов. Это утверждение составляет содержание так называемой осцилляционной теоремы. Волновая функция основного состояния не имеет узлов. Интересно посмотреть, как ведет себя волновая функция при переходе к макроскопическим условиям движения, т. е. в классическом пределе. Подставив в формулу (13.13), например, значения лт=1г, Е=1 эрг, размеры а, Ь, с=1 слг, увидим, что из-за небольшого значения постоянной Планка Й квантовые числа должны принимать огромные значения п 10зт. Очень большим будет, следовательно, количество нулей у волновой функции.
При любом макроскопическом измерении мы «захватываем» огромное число осцилляций волновой функции и плотности вероятности, т. е. имеем дело с усредненной по осцилляциям плотностью вероятности — 1 р (г) = — =сопз1. аэс (13. 18) 70 Отсюда видно, что классическую частицу можно с одинаковой вероятностью обнаружить в любой точке внутри параллелепипеда. Этот же результат легко получить из классической механики, если заметить, что частица движется с постоянной скоростью от одной стенки к другой, а вероятность обнаружить ее на участке ах пропорциональна времени прохождения этого участка «йв — Ж = — = сопз( «1х.
ох (13.19) ох Во многих физических задачах возникает необходимость вычислить число состояний частицы, приходящихся на небольшой элемент объема в импульсном пространстве с(р„«(р»«(р, около некоторого значения импульса р. Вычисление легко проделать для больших импульсов, когда движение становится почти классическим (как говорят, кеазиклассически»«), и неопределенностями (13.17) можно пренебречь. Элементу объема соответствуют интервалы квантовых чисел «(и = Ь йр, «'и,= 4 с'Р«с«п«= » «»Р». (13 20) азс ир„др» ор, (2пд]« (13. 21) й 14. ДВИЖВНИЕ В ПРЯМОЪТОЛЬНОЙ ПотВНЦНДЛЬНОй ЯИВ Рассмотрим одномерное движение частицы в прямоугольной «потенцнальной яме», т. е. в поле с функцией У(х) вида: оо для х<0, (7 (х) = — У, длЯ О < х < а, 0 для х>а.
(14.1) Для простоты левый край ямы (рис. 10) считаем бесконечно высоким. Конечное значение скачка потенциала на правом крае ямы вносит существенное отличие от предыдущей задачи: появляется возможность обнаружить частицу на сколь угодно больших расстояниях по правой полуоси. Легко видеть, что инфинитному движению соответствуют положительные значения энергии Е>0, так как движение частицы в области х > а можно рассматривать как свободное. При свободном движении возможны любые положительные значения энергии.
Значит, область Е >0 образует непрерывную часть энергетического спектра. 71. Число разных состояний равно числу разных наборов п„п«, п и получается перемножением чисел (13.20). Но каждому значению п; соответствует два значения рь отличающихся друг от друга знаком. Значит, число состояний, приходящихся на интервал «(р» около заданного значения рп вдвое меньшв числа состояний (13.20). Окончательно имеем следующее число искомых состояний: В области П! (- —,— я»)%и (х) =О, в=3/ 2т)Е!7а, е» %и (х) =с»е ~»»+с е»»» (14.4) (!4.5) Чтобы удовлетворить условию нормировки, необходимо потребовать убывание волновой функции при х — сь, откуда следует, что с,=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
