Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 17
Текст из файла (страница 17)
д. Энергия связанного состояния (уровень энергии) является в общем случае функцией двух квантовых чисел и и 1: Е = Е (п, 1) — = Е„е Ясно, что поставленная задача имеет решение только для случая, когда эффективное взаимодействие между частицами сводится к притяжению. Как будет показано ниже, связанные состояния отсутствуют не только в случае отталкивания((У(г) >О), ио и в случае недостаточно сильного притяжения между частицами. й 19. ОБщиВ сВОЙстВА РАдиАльнОЙ Функции СВЯЗАННОГО СОСТОЯНИЯ Вместо радиальной функции )сл (г) удобно рассматривать функцию ~р (г) = г1тл (г), (19.1) так как она удовлетворяет уравнению, которое формально совпадает с одномерным уравнением Шредингера <р" (г)+ ~" (Š— У(г) —, ~ ~р(г)=0 (19.2) для движения фиктивной частицы с приведенной массой т„ в потенциальном поле 2 (19.
3) Второе слагаемое в (19.3) имеет смысл «центробежной» энергии. Наличие этого слагаемого обусловлено тем, что мы фактически рассматриваем движение вдоль радиальной оси и во вращающейся системе координат. Область г (0 должна быть «запрещенной» для рассматриваемого одномерного движения, так как переменная и определена 90 только на положительной полуоси. Отсюда следует граничное условие р(о) =о, (19.4) которое будет выполняться, если формально доопределить потенциал У (г) в области г < 0 следующим образом: и (г) = (. < О). (19.5) Потенциал такого типа был рассмотрен в 9 14, поэтому можно воспользоваться полученными ранее результатами. После замены х г, т — т„волновая функция Ч" (х) должна совпадать с функцией (19.1) при 1= 0 для случая прямоугольного потенциала взаимодействия двух частиц ( — У» для 0<г<а, У() ( 0 (19.6) Следовательно, волновая функция относительного движения при таком потенциале имеет в основном состоянии вид: Ч ', (г) = е "' с, — для г)а.
(19. 7) Коэффициенты с„с, и энергия Е определяются из условия «сшивания» при г=а и условия нормировки, как это указано в 9 14. Количество связанных состояний двух частиц определяется глубиной и шириной потенциальной ямы (19.6). Если притягивающее взаимодействие недосФаточно эффективно (небольшая глубина или небольшая ширина ямы), то связанное состояние двух частиц вообще отсутствует. Это является важным качественным результатом квантовой механики для произвольных потенциалов.
Рассмотрим общие асимптотические свойства радиальной функции при г — 0 и г оо для произвольных потенциалов У(г), которые убывают достаточно быстро на бесконечности (короткодейетеуювие потенциалы) и подчиняются условию ! 1ш гЧI (г) = О. (19.8) г 0 (19.10) 91 На больших расстояниях можно пренебречь эффективным потенциалом (19.3) в уравнении (19.2). Тогда <р" (г) — я»~р (г), и = )г 2т„( Е (/Ь. (19.9) Отсюда следует (ср. 9 14), что <р (г) — сопз( е-«' » а — ХГ )~», г (г) сопз1— Г Асимптотика волновой функции будет иметь другой вид, если потенциал У (г) убывает на больших расстояниях медленнее, чем 11гс (длиннодействующее взаимодействие). Для длиннодействующих потенциалов в отличие от короткодействующих всегда имеется бесконечное количество связанных состояний, причем существуют состояния со сколь угодно малыми энергиями связи.
Докажем это для потенциалов с асимптотическим поведением У(г) — —,, з(2. сопц а (19. 11) Для этого рассмотрим волновой пакет в виде шарового слоя большого радиуса г и толщины Лг(г. Неопределенность импульса в таком пакете по порядку величины равная!Лг, а среднее значение кинетической энергии определяется выражением Ь'!т„(Лг)', потенциальная энергия — сопз(1г'. Будем увеличивать одновременно Лг и г так, чтобы Лг росло пропорционально г.
При достаточно больших г средняя энергия — йс сопы Ет т,с (Лг)' г~ станет отрицательной. Отсюда следует. что возможны стационарные состояния с отрицательной энергией, в которых частица находится на сколь угодно больших расстояниях. Значит, эти состояния сколь угодно близки к состояниям инфииитного движения, поэтому имеют почти нулевое значение энергии связи. Таким образом, в случае длиннодействующего потенциала имеется бесконечное количество уровней энергии, сгущающихся по направлению к уровню Е= О. Важнейшим потенциалом такого типа является кулоновский потенциал У (г) = сопз11г, который будет подробно рассмотрен в следующем параграфе.
Перейдем теперь к рассмотрению поведения волновой функции при малых г, когда в уравнении (19.2) можно пренебречь потенциалом У (г) и энергией Е. Асимптотическое уравнение ф" (г) — + 1 ф (г) = О (19.12) имеет решение в виде: ф (г) = соп51 г~. (19.13) Степень й определяется из квадратного уравнения й (й — 1) — 1(1+ 1) = О, которое получается в результате подстановки (19.13) в (19.12). Получаем: Гс=- — 1 или 1-1-1.
Рис. 2К Сферические координаты для задачи о движении двух частиц в системе центра инерции. Рис. 22. Эффективный вотеикиал У,(») для отиосительиога движеиия двух частиц с заданным орбитальиым моментом количества движеиия д Решение с й=- — 1 не удовлетворяет граничному условию (19.4),. поэтому остается лишь решение с й =1+ 1: ф (») — ь соп51» е )т„, т (») — соп51 .
»'. е (19. 14) Отсюда видно, что вероятность обнаружить относительное расстояние между частицами вблизи значения г= О отлична от нуля только в 5-состоянии (1=0). Вероятность обнаружить две частицы на расстоянии, которое лежит между» и»+т(» независимо от значения углов 8, ~р (рис. 21), определяется величиной »з)сз (») — соп51»" +', (19. 15) которая тем быстрее стремится к нулю при» вЂ” О, чем больше значение момента импульса. Этот результат является следствием возрастания отталкивающего центробежного потенциала при увеличении 1, из-за чего эффективная область притяжения сдвигается в сторону больших значений» (рис. 22).
На рисунке 23 показано качественное поведение радиальных функций, вытекающее из формул (19.10) и (19.14). Пунктиром показана функциональная зависимость в области промежуточных значений» для низших энергетических состояний при заданном 1. Для более высоких уровней энергии (большее значение числа и) Рис. 23. Качественное поведение радиальных функций связанного состояния двух частиц. функции )т„л(г) имеют осциллируюшее поведение. В согласии с осцилляционной теоремой число нулей радиальной функции увеличивается на единицу при увеличении числа и на единицу.
й эа. АТОМ ВОДОРОДА Основой всей атомной физики является кулоновское взаимодействие и (.) =' — ",*, (20.1) где дз и !у,— электрические заряды 1-й и 2-й частиц. Потенциал (20.1) с, большой точностью описывает взаимодействия между электронами и ядрами, входящими в состав атомов и молекул'. Полученные в $ 18, 19 формулы могут быть непосредственно применены к простейшему атому — атому водорода, который яв! ляется связанным состоянием электрона (спин и, = з, = —, ! масса т,=— т,) и протона (спин з,=ар — — —, масса т,= — т ). Из-за большого различия масс электрона и протона их центр инерции практически совпадает с положением центра протона, а вектор г — с положением электрона. По этой причине будем говорить об амплитуде относительного движения Ч'л(г) просто как о волновой функции электрона.
Зффект движения ядра учи- тывается тем, что вместо массы электрона в формулы входит приведенная масса, немного отличающаяся от массы электрона: аге гп, = !+ г = г+!!!азб=пт' (20.2) Уравнение (18.20) для радиальной функции электрона в атоме водорода можно исследовать аналогично уравнению (15.5) для линейного осциллятора. Сначала запишем его в безразмерном виде: т Отклонение от кулоновского взаимодействия обусловлено иеточечностью электронов и ядер и релятивистскими поправками. оз 2 с( П ((+1) 2 — )7„+ — — ~,— ~ — + 177 =0 (2О.З) арз р С ~ з р 1 А где величины р и е — это расстояние г и энергия связи — Е, измеренные в следующих атомных единицах: Здесь е — атомная единица заряда (заряд электрона в системе СГСЕ).
Атомную единицу длины гв называют боровским радиусом, а атомную единицу энергии Ел — ридбергом'. При малых р функция Рл(р) в соответствии с (19.14) пропорциональна р'. При больших р в уравнении (20.3) можно опустить члены, пропорциональные 1(р и 1!р'. Тогда получаем: Рл — вИл — — О, Рл = сопз1 е-" 'о. Выделим теперь асимптотические множители.
Лля этого сделаем подстановку Рл=р'с-) ' Е (р). (20. 5) Мы приходим к следующему уравнению для функции Е(р): рЕ"+2(1+1 — )У ер) Е:+2~1 — р' в(1+1))Е=О. (20.6) Его решение можно искать в виде степенного ряда: Ю Е= лнзс»Р». »=о (20.7) Если ряд (20.7) содержит бесконечное количество членов, то предел отношения соседних коэффициентов при (з- оо с»„,(с» - 2 р' в('(з совпадает с таким же пределом отношения соседних коэффициентов в разложении (2 г' з)~ Ез" зо ~~' р» »=о ' Строго говоря, указанные названия употребляют аля величии, которые получаются из (20А) заменой т„-+юг.
эб Подставляя (20.7) в (20.6), получим рекуррентное соотношение для коэффициентов разложения с»: ~~", (г (2+ 21 + 1) с, р" ' + ~Р~ 2 [ 1 — )/ и (1 + 1 + )1)1 с» р" = О, 2(»+1+1 — 1! ~ з) т,г— (»+1) ((о+2! +2) Это приводит к неправильному асимптотическому поведению радиальной функции рге Кеиих ! еи рге! еи оо при р — ~ оо Физическое решение должно иметь убывающую асимптотику. Поэтому ряд (20.7) при каком-то максимальном значении должен обрываться. Функция Ь(р) должна при этом стать поли- номом и;ой степени. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие = п +1+1=и, ! )г — и (20.9) при котором имеет место квантование энергии: Е= — Еле= — — лт, и= 1, 2, Ел ит ' (20.10) Кроме вырождения по пространственным переменным, ил!еется обычное для нерелятивистской теории вырождение по проекциям спинов протона и электрона: Ле! "1б,баб ! ! о =+- —, о =-+ —.
и — 2 ' ' — 2 Рис. 24. Схема уровней энергии атома водорода. Целое число п, называют радиальным квантовым числом — оио совпадает с числом нулей в значении радиальной функции. Главное квантовое число п полностью определяет уровни энергии, которые оказываются вырожденными по числу 1= 0, 1, ..., и — 1. Совпадение уровней энергии у состояний с разными значениями орбитального момента называют случайным вырождением (оно имеет место только для кулоновского потенциала). Уровни энергии обычно изображают с помощью показанной на рисунке 24 диаграммы и обозначают числом п и буквами б, р, ..., введенными в 9 18 вместо числа Е Каждому значению числа 1 соответствует (21+1) разных состояний, отличающихся проекциями орбитального момента импульса Е, =Йт. Поэтому кратность вырождения кулоновского б уровня энергии по квантовым п=б числам орбитального момента равна: -Юйэб пег ~ (21 + 1) = пт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
