Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Оно линейно по каждому моменту н инвариантно относительно вращений системы координат (напомним, что энергия — скалярная величина). Множитель У в (22.2) не может быть вычислен в нерелятивистской теории. Поэтому мы сделаем простейшее предположение: будем считать, что У вЂ” это некоторая феноменологическая константа, которая должна быть найдена из эксперимента.
Наличие спин-орбитального взаимодействия (22.2) означает, что каждый из моментов импульса Е и Уг! не сохраняется в отдельности. Закон сохранения существует лишь для полного момента импульса электрона: пе! $ +я>е! (22. 3) т Магнитный момент ядра значительно меньше магнитного момента электрона, поэтому связанные со спином ядра релятивистские поправки дают более тонкие эффекты (см. далее).
101 где г — эффективное расстояние между магнитными моментами. Взаимосвязь счинового и магнитного моментов приводит к появлению в гамильтониане дополнительных слагаемых, пропорциональных попарным произведениям моментов импульса. Наибольший эффект в атоме водорода дает взаимодействие собственного магнитного момента электрона с его орбитальным магнитным моментом.
Это так называемое спин-орбитальное взаимодействие'. В соответствии с вышесказанным можно попытаться описать этот эффект дополнительным слагаемым в операторе Гамильтона: Значит, состояние электрона нельзя характеризовать переменными 1.,=Ьт и 5и)=г)о„как это указано в 5 18 — 21. Вместо этого можно потребовать, чтобы волновая функция электрона была собственной функцией операторов ( пе))т ) )е) 1 э (8(е))э (22.4) Эти операторы коммутируют не только друг с другом (см.
4 10), но и с оператором (22.2), что видно из следующей формулы: 1 8(е) гг()и))я 1) (я(е))э"1 (22.5) При новом способе описания состояние электрона характеризуется величинами: я (т м))э Яа)че) ()не) 1 1) (и) й и) (22.6) Еэ = )гэЧ (1 + 1). Волновая функция является линейной комбинацией прежних функций с разными значениями проекций орбитального и спинового моментов т и а„как это следует из правила сложения моментов (см.
$ 10). Для заданного 1) 1 возможны два разных Дублетные уроВни Си нелетные уроВни Рис. 29. Тонкая структура уровней энергии атома водорода. 102 состояния, соответствующие значениям полного момента импульса электрона 1 1 1) е) 2 ' 2 Для з-состояний возможно только одно значение 1те) = —, так ' е) 2 ' как полный момент электрона совпадает в этом случае с его спиновым моментом. Квантовое число !)е) принято писать в виде нижнего индекса в спектроскопическом обозначении состояния следующим образом: 1з)!е, 2з)!з, 2р)!е 2ра!ее ° ° (27.8) Индекс у з-состояний можно опускать, так как он все равно )е) имеет определенное значение рм= —. 2 ' Дополнительное слагаемое (22.2) в гамильтониане можно заменить его собственным значением: ЛЕ~ = — У~А' ~~'"(1™+ ) — ~(~+ ) — — 1 = 1 ! 1 для !м) =1+ ~, 2 ь~ 1 — 1 — 1 для Ре) 2 (22.9) Это означает, что кулоновские уровни энергии (20.10) изменяются на величину (22.9).
Состояниям с 1) 1 соответствует по два близко расположенных новых уровня с разными значениями полного момента импульса электрона (22.7). Как говорят, появляется дублетное ропцепление кулоновских уровней энергии. Каждый новый уровень остается вырожденным по проекциям полного момента (2!)е)+1-кратное вырождение) и по проекциям спина протона (двукратное вырождение).
Существование указанных дублетов называют тонкой структурой уровней энергии. Расщепленным энергетическим уровням (рис. 29) соответствует дублетная структура линий излучения, которая наблюдалась экспериментально задолго до создания квантовой механики'. Изложенный способ исследования не позволяет вычислить положение дублетов относительно синглетного з-уровня с тем же самым значением главного квантового числа п. Оказывается, что все смешения компонент тонкой структуры являются ничтожными поправками к кулоновским уровням. Согласно релятивистской теории это обстоятельство обусловлено тем, что квадрат заряда электрона в безразмерном виде выражается малой дробью: Ы вЂ”вЂ” лс 137 (22. 10) !Оз ' Именно этот экспериментальный результат послужил основой Лйя теоретической гипотезы о наличии у электрона собственного момента импульса (Гаудсмит и Уленбек, 1925 г.). бо' — У )мфр> (22.
11) Строгий закон сохранения существует только для полного мо- мента импульса атома: 1 Я(е) + Я(Р> (22.12) Моменты же электрона ум и ядра Б'р' по отдельности не сохраняются. Поэтому для описания состояния атома нужно перейти к представлению полного момента, т. е. использовать переменные Е, .1' = Ф'1 (1 +- 1), ,1, = $1 (.1 )' = д'1 (1 + 1). (22.1З) Тогда эффект взаимодействия (22.11) выражается в дополнитель- ном смещении уровней энергии на величину КЕ~з= и У~ай Р (1+ 1) — / (1 + 1) — 4 1 Р' длЯ 1=1ч" + —, и — — У,ф* — 1ьч — 1 для 1=1сл — —.
(22. 14) Отсюда видно, что каждый уровень тонкой структуры расщепляется на две компоненты так называемой сверхтонкой структуры. Уровни сверхтонкой структуры остаются вырожденными по проекциям 1, полного момента импульса атома (21+1-кратное вырождение). Сверхтонкое расщепление имеет наибольшую величину (5,6 10 ' эв) в основном состоянии 1з.
Полный момент атома совпадает в этом случае с полным спином, так как орбитальный момент 1=0. Верхняя компонента сверхтонкой структуры соответствует параллельной ориентации спинов электрона и ядра (1 = 1), а нижняя — антипараллельной ориентации (1 = О). Радиационный переход между этими компонентами приводит к излучению с частотой у= 1420 Мгц и длиной волны Х=21 сл. Такое излучение испускается газообразным атомарным водородом в галактиках, и его можно обнаружить с помощью радиотелескопов. 104 Величина (22.10) получила название постоянной тонкой структуры.
Она играет очень важную роль в квантовой теории, так как от нее зависят многие фундаментальные физическое процессы. Перейдем к рассмотрению магнитного взаимодействия ядра с электроном. Учтем его по аналогии с (22.2) введением в оператор Гамильтона слагаемого Задача в главе 4 4.1. Вычислить коэффициенты ет, со в волновой функции (19.7) связанного состояния частиц, взаимодействующих по закону т и г)=( ио и О<г<)(, О аля г >)г.
Р е ш е н и е. Из условия непрерывности функции гЧ' и ее первой производной в точке г = )с находим: Уйо+хо ' у ьо+хз ' угу ! хз о о о Условие нормировки позволяет определить коэффициент с,: ('а а 1 ст4л 1' ') з!пз(л г)с(г.+сака о ) е-зхгг(г~ (о ) , (й х а~о(2х (, 1+хи — — 4лс', 2 + 2 (ь, +,) + а, + о) —— 2лс', с = 'г' 2л(1+к!т) 4.2. Определить волновую функцию и уровни энергии часткцы, свободно лвнмущейся в обаеме сферической формы с радиусом )2 н имеющей нулевой орбитальный момент.
Решение. Этот случай движения получается как предел рассмотренного в 2 19 и в задаче 4.1 движения в прямоугольной потенциальной яме при ((,— оо. При этом начало координат энергетической шкалы нужно поместить в точку — (г',. В- результате получаем: л (и+ 1) Ч" (г) = „„дл я 0 < г ( К, )Г2лЯ Е= ~(+~), л=о, 1,2, .... 2т)го 4.3.
Определить средний потенциал электрического поля ф,, создаваемого ядром н электронным облаком в основном состоинни атома водорода. Р е ш е н и е. Средний потенциал электронного облака ~, можно найти путем решения уравнения Пуассона со сферически-симметричной плотностью заряда (21.2).
Записав уравнение в сферических координатах и подставляя в правую часть плотность электронного облака (21.6), получим (в атомных единицах): До агз г!Ре = 4ге т В дальнейшем радиус потенциала будем обозначать через л. Дважды интегрируя, приходим к выражению: Постоянные интегрирования с„с, могут быть найдены из условия конечности потенциала в центре и его исчезновения на бесконечности. Прибавляя потенциал ядра, получаем полный средний потенциал атома: = ( — + 1) е-".
Вблизи ядра, при г(<1, потенциал совпадает с кулоновским: — 1 грэл г ' На больших расстояниях от атома, при г~)1, потенциал экспоненцнально исчезает — кулоново поле ядра «экранируется» электронным облаком. 4.4. Вычислить магнитный момент атома водорода !»с, обусловленный пространственным движением электрона. Решение. Записав среднюю плотность электрического тока (21.3) в сферических координатах, получим для ее проекций на радиус, меридиан и широту следую!цие выражения: — гей Г ме ~е !ей ( д д = — — !Ч,, Ч', — Чг" .
Ч", Згн, ~~ е ™гэ!овд~р "1'" "гмгэ|нвдт ев тег ян Равенство нулю первых двух проекций является следствием действительности тех частей волновой функции, которые зависят от г и О. При вычислении третьей проекции использован явный вид угловой части волновой функции (16.15). Представим магнитный момент атома как сумму моментов от кольцевых трубок тока с радиусом гзшО и поперечным сечением г(а. Каждая трубка эквивалентна кольцевому току с(1= = (1'„)ос(з, обтекающему поверхность Я = яг* з!пэ О, поэтому ее вклад в магнитный момент определяется формулой: г(рд = — 5 г(1 = — — ° — ~ Ч"„г !е и «Ь. ! неяпа еь гне Полный магнитный момент можно записать так: рь= — 2„11'р..г.
Г~Ч ейт Г где с1Ч=2игз)п08з — объем трубки. Так как плотность вероятности ~ Ч'„, „1е постоянна внутри трубки, то интеграл в полученном выражении совпадает с нормировочным интегралом (18.22) и равен единице. Окончательно для магнитного момента атома, точнее для его проекции на ось квантования, получаем: е 2т с 2тес 4.5. Оценить сверхтонкое расщепление основного уровня энергии атома водорода, исходя нз ивазиклассических представлений. Решение. Расщепление по порядку величины равно взаимодействию (22.1) магнитных моментов ядра и электрона ей ев р=2,8 —,р= — —, и ' те' е 2тес' находящихся на среднем атомном расстоянии г гв. Подставляя отношение т,/тг = 1/1836 и постоянную тонкой структуры ее/гас=1/137, получим АЕ 10 ' эн.
ЛИТЕРАТУРА 1. А. С. Д а в ыд о в. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1965. 2. Л. Л. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1965. 5. Г. Бете, Э. Солпитер. Квантовая механика атомов е одним и двумя электронами. М., Физматгиз, 1966. 4. Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
