Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Очевидно, что пвавило отбоРа по четности запРещает значение 1=1р 119 Таким образом мы получили следующее правило отбора для квантового числа 1 атома водорода: (26. 17) Изменению числа 1 на единицу соответствует следующее изменение числа ьк Лт= — п»1 — т»=0, л-1. (26.18) Указанные правила отбора запрещают, например, переход Зс( — 1з. Для вычисления вероятности радиационного перехода нужно учесть следующий член разложения (26.4), что уменьшает вероятность этого перехода.
Ее отношение к вероятности диполь- ного перехода по порядку величины равно (ги1Х)'. При переходе Зс( — 1з излучается фотон более высокой мультипольностн '. Введение релятивистских поправок, как это сделано в й 22, эквивалентно учету спинового момента в законе сохранения полного момента импульса при радиационном переходе. Возможность изменения спинового состояния атома приводит к ненулевой вероятности переходов типа ! = О в 1 =О (з — з), как это имеет место для упомянутого в 5 22 перехода между компонентами сверхтонкой структуры основного уровня.
Строго запрещенным остается, однако, переход типа 1 =0 в 1 = О, так как единственным слагаемым в законе сохранения полного момента импульса является тогда момент фотона 1 ) 1. Необходимо подчеркнуть, что сделанные выводы относятся к первому порядку теории возмущений. При изучении запрещенных переходов нужно учитывать иногда следующий порядок теории возмущений, что эквивалентно рассмотрению радиационного перехода с испусканием двух фотонов.
Например, время жизни 2з-состояния практически полностью обусловлено двухфотонным переходом 2з — 1з. Однофотонный магнитно-дипольный переход с испусканием фотона типа М1, имеющий место в первом порядке теории возмущений, оказывается значительно менее вероятным двухфотоиного перехода.
Из состояния 2з разрешен спонтанный переход 2з — 2р,!з, но он имеет пренебрежимо малую вероятность нз-за небольшой энергии излученного фотона т!«о = Е (2зм,)— — Е(2р„,) (напомним, что смещение уровня 2р„з относительно уровня 2з,1, обусловлено релятивистскими эффектами). В силу 1 указанных обстоятельств время жизни 2з-состояния, равное — сек, 7 чрезвычайно велико по сравнению с временем жизни «обычного» 2р-состояния (1,6 10 ' сек), из которого разрешен электрически- ' Для обозначения излу.чения разной мультипольности употребляют символ Е! нли М1, где число ! обозначает момент импульса фотона, а буква Е или М указывает на электрический нли магнитный тнп излучения.
Приближению (26.5) соответствует Е1-излучение, а ближайшим поправкам — Е2-и М1- излучение. дипольный переход 2р — !я. Возбужденное состояние с аномально большим временем жизни называют метастабильнвои. Как мы видим, любое нестабильное состояние не является стационарным, поэтому оно может иметь произвольное значение энергии. Учет возможности распада приводит к превращению дискретного энергетического уровня в непрерывный спектр. Чтобы оценить величину «размытия» невозмущенного стационарного уровня, обратимся к точной формуле (25.14). Согласно этой формуле радиационные переходы происходят в основном таким образом, что Е гэ1 Е Рис.
30. Распределение по энергиям в квазнстационарном состоянии. ~ Ет — Еу — гко ~ ~ ~—, $ (26. 19) где т — среднее время перехода (время жизни возбужденного состояния). Энергия конечного состояния атома Еу и энергия излученного фотона лго могут быть измерены экспериментально сколь угодно точно*. Значит, всю неопределенность левой части неравенства (26.19) остается приписать энергии начального состояния атома Е,.
Отсюда следует, что нестабильное состояние характеризуется энергетическим распределением показанного на рисунке 30 типа. Величина (26.20) является важной характеристикой состояния и называется шириной кгазидискретного уровня.
Соотношение (26.19) записывают иногда в виде ЬЕ« Ь (26.21) ' Мы предполагаем для простоты, что переход происходит в основное состояние; которому соответствует определенное значение энергии. 121 и называют соотношением неопределенноапи для энергии. При этом нужно иметь в виду, что оно принципиально отличается от соотношения неопределенностей Гейзенберга (12.10), так как это продолжительность интервала между двумя измерениями, а не среднее значение какой-то физической величины в заданном состоянии. Можно строго показать, что распределение показан- ного на рисунке 30 типа непосредственно связано с экспоненциальным законом распада й( — )!( е-и« (26.22) й 27. КЕАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ИР$ИИИЖЕИИЕ Законы квантовой механики универсальны в том смысле, что они применимы как к микрообъектам, так и к материальным телам больших размеров. Представляет интерес выяснить в общем виде взаимосвязь между квантовомеханическим и классическим способами описания движения частицы.
Эта взаимосвязь существует тогда, когда движение является «почти классическим> (квазиклассическим). В этом случае движение можно приближенно описать в квантовой механике с помощью так называемого квазиклассического приближения. В главе 3 мы уже обратили внимание на то, что при переходе к классическому пределу волновая функция частицы быстро осциллирует. Значит, ее можно записать в виде: Ч' (г, г) = а (г, !) е'з!" '>1з, где а(г, !) — медленно меняющаяся функция, а величина 5 (г, !) (27.2) принимает большие значения в единицах Й. Не нарушая общности, можно считать функции а(г, !) и 5 (г, г) действительными, так как выражение типа (27.1) — это обычная запись комплексного числа через два действительных.
Тогда величина а(г, г) очень просто связана с плотностью вероятности (1.8): а(г, г) =)/ ) Ч")' =)/р. (27.3) Подстановка (27.1) в уравнение Шредингера (11.8) с гамильтонианом (8.17) приводит к системе эквивалентных уравнений (действительная и мнимая части уравнения Шредингера): дз ! В« — + — (п5)«+ (7 — — Ла = О, д! 2т 2та да а ! д! 2т т — + — А5+ — Ч5 Ч =О. (27.4) !22 Очевидно, что приближенное описание нестабильного состояния с помощью стационарного состояния имеет смысл лишь в том случае, если ширина Г мала по сравнению с расстоянием до соседнего невозмущенного уровня. Такое, как говорят, квазистационарное состояние обладает достаточно большим временем жизни т по сравнению с интервалами времени, характерными для атомных масштабов. Когда выполнено указанное условие, можно пренебречь возможностью распада и рассматривать состояние с достаточной точностью как стабильное, стационарное. Чтобы перейти к классическому пределу, нужно сделать разложение в ряд по постоянной Планка й и сохранить лишь нулевой член разложения, так как классические соотношения не должны зависеть от этой специфически квантовой величины.
Отбрасывая квадратичные по Ь члены в первом уравнении (27.4) и тождественно преобразуя второе, получим: (27.5) ф+ч(рф =о. (27.6) В(г, 1)= ~ рог — Е1, ь (27.7) где контурное интегрирование импульса р=тт= ро (27.8) проводится по классической траектории движения Е. Форма траектории находится из условия минимальности действия (27.7), т. е. из вариационного принципа наименьшего действия (принципа Гамильтона).
Учитывая равенство (27.8), мы видим, чтосоотношение (27.6) имеет смысл уравнения непрерывности — +бнгрч =О. ар дг (27.9) Оно показывает, что плотность вероятности перемещается по законам классической механики для пространственного распределения материи. Рассматриваемое движение переходит в движение по определенной траектории в тех случаях, когда мы имеем дело с достаточно локализованным волновым пакетом. Значит, начальное условие в квантовой механике играет очень важную роль при переходе к классическому пределу. Вместе с постоянной Ь мы должны устремить к нулю размеры той области, где волновая функция заметно отлична от нуля в некоторый начальный момент времени. Выясним физический смысл уравнений квазикласснческого приближения.
Уравнение (27.5) — это хорошо известное в классической механике уравнение Гамильтона — Якоби для действия частицы. Оно дает интерпретацию функции (27.2) и полностью определяет классический предел рассматриваемого движения. Для стационарного состояния действие имеет вид: с.1 Г Я~ Ч' = — з1п — ' ~ рс(х+— ) 4 ~ Я » с . (1 Л =-~ — з)п( — ( рс(х+ — ) для а<х<Ь, (27.
14) к 1 с — 1р1 сс с Ч'и, = - 1- е " для х ) Ь. (27.15) 2 $'с( р( Оставшийся коэффициент в (27.13) — (27.15) можно найти из условия нормировки, пренебрегая вкладом классически недоступных участков х < а и х ) Ь: ОЭ ь ь 1 — ) ) Ч'(х)) ах ж ') !Ч" (х)) с(х с ) — = с а а » (27. 16) а При интегрировании мы заменили быстро осциллируюший квадрат синуса его средним значением и подставили период классического колебания между точками поворота Т=2п1«с. Из равенства (27.16) получаем для коэффициента в волновой функции (27.14) выражение: (27. 17) Обратим внимание теперь на то, что два аналитических выражения в (27.14) описывают одну и ту же функцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
