Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Это возможно лишь тогда, когда сумма их фаз равна целому кратному гм — ~1 р ~(х+ — = (л + 1) п. 1 Г я й,) а (27. 18) 125 коэффициентов с, и с,. Это можно сделать путем «сшнвания» волновых функций около каждой точки поворота (ср. 2 14) с помощью более точных аналитических выражений, чем формула (27.10). Для наиболее интересного случая колебательного движения в потенциальной яме с двумя точками поворота х,=а и х,=Ь, которая показана на рисунке 31, процедура «сшивания» приводит к следующему выражению: а — 1 1»1 Сс с Ч', = е ' для х < а, (27.13) 2 т'1р) Целое число и>) 1 совпадает с числом нулей волновой функции и в соответствии с осцилляционной теоремой равно порядковому номеру стационарного состояния.
Условие (27.18), записанное в виде интеграла (27. 19) по полному периоду классического движения, известно как правило квантования Бора — Зоммер4ельда. Оно было постулировано для определения уровней энергии стационарных состояний в планетарной модели атома водорода до создания квантовой механики. Из соотношения (27.19) можно получить правило для под счета числа состояний в заданном объеме фазового пространства.
Действительно, интеграл в (27.19) равен площади, которая лежит внутри замкнутой фазовой траектории на плоскости х, р. Значит, каждому нз и состояний соответствует клетка в фазовом пространстве площадью в 2гй». Произвольному элементу объема Лх.Лр фазового пространства для одной степени свободы нужно сопоставить ЛЛГ =— ах ар 2нь (27.20) состояний. В случае трехмерного движения сформулированное правило приводит к полученной ранее (см. 9 13) формуле (13.21). Другим интересным случаем одномерного квазиклассического движения является прохождение микрообъекта через большой потенциальный барьер произвольной формы (см. рис.
19). Из формулы (27.15) видно, что убывание волновой функции в подбарьерной области должно определяться в основном множителем — — ~) 1»1б «) е (27. 21) Р ехр — — ~ ~р)е(х 2Г »1 (27. 22) ~ р~='г'2т(У вЂ” Е). Условие квазиклассичности состоит в том, что все другие факторы должны давать менее существенные эффекты по сравнению с множителем (27.21).
Для этого барьер должен быть настолько «слабо проницаемым», чтобы условия около точки поворота х, Коэффициент прохождения Р равен отношению квадратов ампли- туд в областях П1 и 1 (см. 2 17). Порядок величины этого коэф- фициента может быть оценен по формуле: на рисунке 19 и точки х, на рисунке 31 почти совпадали. Значит, квазиклассическая формула (27.22) применима лишь для достаточно высоких и широких потенциальных барьеров, когда Р((1. Задачи к главе 5 5.1. Определить изменение энергии основного состояния осциллятора при учете ангармонической поправки ЛУ (х) =алз. Решение.
Среднее значение возмущения А(Т(х) в любом состоянии равно нулю. Поэтому поправка первого порядка к уровню энергии отсутствует. Используя явный вид невозмущенных волновых функций осциллятора (15.15) — (15.17), можно показать, что <и(х) и — 1>=<п — 1)х) и>= 1/ 2пм> причем все другие матричные элементы координаты х равны нулю. Матричные элементы возмущения можно выразить через матричные элементы координаты следующим образом: <и ) ЛУ (х) ) и'> = ~ и <и ) х ) т> <и ) х ~ 1> <1 ! х ) и'>. Отличны от нуля только матричные элементы возмущения вида: <п)Ли(х))п — З>=< — З)Ьи(х) )п>= Т $ >зтз =а~ — ) 'у и(и — 1)(п — 2), <п / МЗ (х) / п — 1> = <и — 1 ) М3 (х) )п> — Зя ( — ) Воспользовавшись этими значениями, получим во втором порядке теории возмущения: ~Ч ' <и ) ЬУ (х) ) 1> <1) ЛУ(х) ) и> !Биз 7' Я, ')~ ~~,+ +11> йы (и — 1) Изменение энергии основного состояния (п=О) равно: ЬЕз= азз 5.2.
Определить поправки первого порядка к двухкратно вырожденному уровнго энергии и правильные собственные векторы в нулевом приближении. Решение. Секулярное уравнение (24.9) имеет в этом случае вид: 12Т Из него находим поправки первого порядка к уровню энергии: Ео' = — (Уст+У„~ У(ӄ— У„)'+ 4 (Утт ('). Подставляя найденные значения в (24лЧ), получаем коэффициенты разложения правильных собственных векторов: <Ч" ~Ч>= " 11-!- Ум "" 11"' <, =( ' 1 ' —" 11"', 12!Ум! ( У!Ум — Ьм!т+4(гм)з ) 5.3 Определить вероятность перехода заряженного оспиллятора из основного состояния в возбужденное под влиянием внезапно включенного однородного электрического поля Ее.
Решен ие. Потенциальную энергию осциллятора в однородном электрическом поле можно записать в виде: тэтз тгоз У(х)= 2 х' — 4~Ее(х= — (х — хз) +сопз1, 2 х, = д ) Е, ( / тот'. Это выражение имеет вид энергии линейного осциллятора со сдвинутым положением равновесия.
Следовательно, волновая функция возмущенного осциллятора равна Ч'„(х — х,), где Ч"„(х) определяется формулами (15.15) — (15.17). Вероятность перехода определяется коэффициентами разложения возмущенной функции в ряд по невозмущенным функциям Чгз!э>(х)=Чгз(х): ал= ~ Ч'з(х)Ч',(х — хэ)!(х= е х Ва - зз1з У 2лнл! Ф Ф Х ) е-сс — е-М+зсмг($, т д$л ~о = хе = г! ~ Ее (!У глйот'. Путем й-кратного интегрирования по частям интеграл в этом выражении приводится к виду: ) Е-1'+11.С(~= )/Гс Ест!'.
Ш В результате для искомой вероятности перехода получим: ьт гпе,=(ал( = — е з ьэ -з!з 2лл! 12З 5.4 Вычислить время жизни н ширину уровня ар-состояния атома водо рода относительно радиационного перехода. Р е шеи и е. Согласно формулам (26.7) — (26.8): — () <1з)х)2р>)'+( <1з(у! 2р>)'+ ! <1з!2(2р> ! т). Радиационные переходы могут происходить равновероятно из состояний с проекциями момента количества движения т=1, О,— 1.
Поэтому можно ограничиться вычислением матричных элементов для одного из этих состояний. Для перехода т=О,— т=О отличен от нуля лишь матричный элемент от координаты рл ~ Ч". . . (г) гЧте „ , (г) сУ = ~ Й, , (г) г)т, , (т) г' Й' х о ><));,,(О, ф) зОГ,,,(О, ф) Я. Подставляя волновые функции (20.13), (20.14), получим следу- ющие значения радиального и углового интегралов: Ю О р'б .) ЖЗ7 ' тв ' тв '4" (л) )Р (г) гт с(г В рте аорт с(р В о о У(Оф)Уь(Оф)сов О(й4)спэйс(созйф Для энергии излученного фотона можно записать: ~ =Е(2р) — Е(1а)= и,„ Отсюда находим время жизни: йс мает„т 2тт в ( е' ) тес' ( 2 ) ' О т=1,6 10-' сед.
Этому времени жизни соответствует ширина уровня Г= — =4.10 ' эв. Ь Рис. 32. Потенциальная яма с куло- новским барьером. в № зов 6.3 Определить вероятность выхода частицы с нулевым моментом количества движении иэ центрально-симметрической вотенциальной ямы, нзобраменнбй на рнсуиие 32. Р е п1 е н и е. Применяя квааиклассическую формулу (27.22) к радиальному движению, получаем для искомой вероятности выражение: 1 2 сл ехр ~ — ) )~2гл — "— Е) с(г) = = ЕХр ( — 2м У ~ш [аГССО6 ~/ 6 Л вЂ” )/ ~~~ ~1 — Е11) ~ ~ .
В случае высокого потенциального барьера (когда (7()с) )) Е) эта формула переходит в более простое выражение: св ехр ( — — ~/ — ~ . ЛИТЕРАТУРА 1. А. С. Да вы дон. Квантовая механика. М., Фнзматгнз, 1963. 2. Л. Д. Л а н д а у, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика. М., Физматгиз, 1963. 3. Д. И. Б л о х н н ц е в. Основы квантовой механики. М., «Высшая школац 196!. Глава б.
ТЕОРИИ РАССЕЯИИЯ й И. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О СТОЛКНОВПНИИ ЧАСТИЦ Столкновение частиц — это, пожалуй, самый фундаментальный физический процесс, так как он лежит в основе почти всех явлений микромира. При столкновении происходит переход рассматриваемых материальных объектов из некоторого начального состояния, которое называют иногда входным каналом процесса, в некоторое конечное состояние (выходной канал процесса).
Входной канал характеризуется набором физических величин А, описывающих сталкивающиеся частицы, выходной канал — набором величин В, описывающих конечные продукты. Все столкновения подразделяются на два общих класса — неупругие и упругие. При неупругом столкновении конечные продукты отличаются от сталкивающихся частиц. В дальнейшем мы подробно рассмотрим только упругое столкновение (рассеяние) бесспиновых частиц, при котором единственным результатом столкновения является изменение импульсов частиц.
Для простоты будем считать, что изменение типа частиц при столкновении в силу тех или иных причин невозможно. В таких случаях говорят, что неупругие выходные каналы закрыты. Это может быть следствием, например, закона сохранения энергии. В экспериментальных условиях рассеяние реализуется обычно при взаимодействии потока одинаковых частиц с какой-либо мишенью — совокупностью частиц того же самого или другого типа. В результате взаимодействия «падающие» частицы рассеиваются во все стороны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
