Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В следующем параграфе будет показано, что такой случай, как говорят, резонансного рассеяния реализуется на потенциальной яме, в которой имеется близкий к нулю уровень энергии Е= — е. Однако резонансное рассеяние будет наблюдаться также на потенциальных ямах, в которых нет уровня энергии, если параметры ямы таковы, что при их небольшом изменении уровень энергии появится (см. 2 14). В силу непрерывной зависимости длины рассеяния от параметров ямы рассеяние все равно будет резонансным; но оно будет происходить, как говорят, за счет существования виртуального уровня энергии. Параметр Ь, в (31.1) записывают обычно в виде Ь, = )с, /2, так как указанная связь с радиусом действия потенциала имеет место для прямоугольной ямы.
Если сохранить оба выписанных в (31.1) члена разложения, то получим так называемое приближение эффективного радиуса взаилоодействия: 1 1о !ао+ — „)ээфф 4п 2па~ (1+ Нэфф/ао) (" — '- ' 1/ао — Я ффко) +ао ао — 2 .фф Например, изучая энергетическую зависимость сечения рассеяния нейтрона на протоне и находя по экспериментальным данным график функции (31.1), получили следующие величины эффективного радиуса для двух значений полного спина 5: ~ 2,67 10-" см для 5=0, )7 (31.8) ( 1,70.10 "см для 5= 1. Одновременно нашли значения длин рассеяния нейтрона на протоне: ~ — 23,7 10 "см для 5=0, а,= (31.9) з ( 6 39 10 'згм для 5= 1 Обратим внимание на следующее важное обстоятельство.
Сечение рассеяния при малых энергиях приблизительно равно площади круга с радиусом ) 2а„~, причем этот радиус может сильно отличаться от радиуса действия потенциала )с, е. Рассеяние может существовать даже в пределе при )с, — О. Подобный результат противоречит классическим представлениям, согласно которым сечение равно поперечной площади, охватывающей возможные значения прицельных параметров. Очевидно, что для прицельных параметров, ббльших радиуса действия сил, рассеяние не происходит.
Поэтому классическое сечение всегда имеет порядок величины я)7,фф. Сильное отличие квантовомеханического 2 сечения от этого значения свидетельствует о существенной роли волновых свойств при малых энергиях сталкивающихся частиц. Рассмотрим теперь другой важный случай резонансного рассеяния, когда некоторая фаза б, я/2. Разложим с1я'б, в ряд по степеням энергии в окрестности точки Е=Е„, в которой Ьг=п/2 и стай,=0.
Разложение запишем в следующем виде: с(п б, — (Е,— Е). (31.10) Подставляя (31.10) в (30.13), получаем так называемую формулу Брейта — Вигнера '. и 121+1) )1а Гз (Š— Ег) +(Г~2)а Формулам (31.10) и (31.11) соответствует показанная на рисунках 36 и 37 энергетическая зависимость фазы рассеяния и сечения рассеяния. Параметр Г имеет смысл ширины области, в которой расположен резонансный энергетический пик, поэтому он называется шириной резонанса. Случай брейт-вигнеровского резонанса з Строго говоря, указанное название употребляют для более общего случая столкновения, когда возможны неупругие процессы.
Если неупругие каналы закрыты, то соответствующие формулы переходят в (31.1Ц. 142 Ег Е Ег Е Рис. 36. Энергетическая зависимость Рис. 37. Энергетическая зависимо«ар фазы рассеяния в случае брейт-вигне- сечения рассеяния в случае брейт-вй» ровского резонанса. гнеровского резонансе. можно интерпретировать как возможность существования квази дискретного уровня аналогично указанному выше случаю виртуального уровня при малых энергиях. Другими словами, можне считать, что сталкивающиеся частицы при энергии Еж Е, образовывают «почти связанное» состояние — нестабильную частицу с временем жизни т ж Й/Г. За таким нестабильным образованием в последнее время закрепилось название резонона. й 33.
РАССЕЯНИЕ НА ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ ПРИ МАЛЫХ ЭНЕРГИЯХ Рассмотрим конкретный пример рассеяния на прямоугольной потенциальной яме (см. 19.6), для которой ранее было исследовано финитное движение. При малых энергиях можно ограничиться рассмотрением а-рассеяния, пренебрегая вкладом более высоких парциальных волн. Уравнение (19.2) для радиальной функции нужно рассмотреть в двух областях, показанных на рисунке 38. В области 1 уравнение Шредингера и радиальная часть качественно совпадают со случаем Е ( 0: О~ (г)+Ао<Рг (г) =О, й, =)г Егпгз(Е+ Уо)$, (32.1) ~р~ (г) =с,з(п й,г. (32.2) В области П вместо уравнения (19.9) теперь имеется уравнение (30.2), а вместо экспоненциально убывающей асимптотики— осциллирующее решение типа (30.3): грп(г) =с,з(п(Ь.+6).
На границе двух областей г=-Е необходимо «сшивать» функции (32.2) и (32.3), а также их первые производные, что приводит к соотношениям: с,з(пй,Р,=с,з1п(йгс+6), с,йо сов АД = с,й соз (М + 6). (32.4» Поделив одно соотношение на другое, ллы исключим константы с„с, и получим трансцендентное уравнение для фазы рассеяния: 1Ю АоЧ !Н (аР+8! ь Исследуем качественно вытекающую из этого уравнения зависимость фазы рассеяния от параметров потенциальной ямы.
Предположим, что 6(<1. Тогда можно 18(й)7+б) разложить по степеням аргулиента (наполоннм, что мы рассматриваем случай малых энергий йй(<1). После этого нетрудно найти амплитуду н сечение рассеяния: б !а оо!! — — )7) О, оо о 4п~ !пой 2 оо (32.6) (32.7) Для неглубокой ямы можно 1дй,)7 разложить в ряд; это приводит к формуле борновского приближения (см. задачу 6.4): 16пйо (т„Ь.Р.-",о (32.8) Будем теперь увеличивать глубину ямы. Прн этом в соответ- ствия с формулами (32.6) — (32.8) эффект рассеяния усиливается, пока фаза рассеяния не станет равной б=п/2. Рассеяние стано- вятся резонансным, и формулами (32.6) — (32.8) уже пользоваться нельзя. Из точной формулы (32.5) видно, что значениям фазы 6 =п12 соответствуют значения параметров: йД ='г 2т„Уо )716 - и!2, подо и,г =,— ' зт„' При таких значениях параметров в яме имеется близкий к нулю уровень энергии или же такой уровень может появиться при незначительном увеличении глубины ямы (см.
8 14). Формулы (32.5) и (14.!О) позволяют выразить фазу через энергию связи: й с!д б й, с1п ИР— я= — *г' 2т„е(го. (32.10) Подстановка голученного значения в (30.6) и (30.13) приводит к формулам (31ой) н (31.5), где — !=я= 1 2т„з,4. (32.11) оо !44 Заметим, что при наличии в яме близкого к нулю уровня энергии длина рассеяния положительна. Между тем при меньшей глубине ямы, когда уровень отсутствует, длина рассеяния отри- -и Рис. 38. Радиальная функция а-волны для рассеяния на прямоугольной яме. Пунктиром показана радиальная функция свободного движения. Рис. 39.
Радиальная функция з-волиы для рассеяния на прямоугольном отталкивающем потенциале. Пунктиром показана радиальная функция свободного движения. пательна (см., например, формулу 32.6). Обшие формулы (3!.4) и (31.5) справедливы и в этом случае, если принять, что — = — ~' 2тгаз!ги оа (32.12) Когда уровень в яме отсутствует, величину и называют виртуальньгм уровнем энергии. При дальнейшем увеличении глубины ямы фаза рассеяния растет в интервале п12 < б < л, а эффект рассеяния уменьшается. Рассеяние в з-состоянии полностью исчезает для б=п (явление Рамзауэра). В согласии с (32.5) это явление наступает, когда параметры ямы удовлетворяют соотношению (32.13) Заметим, что при указанных условиях эффект рассеяния все же не исчезает полностью, так как небольшой вклад дают парциальные волны с ненулевыми орбитальными моментами 1) 1.
Если в полученных выше формулах изменить знак при У, на противоположный, то мы получим рассеяние на «потенциальном горбеж (и, дя О<г<Л, У (г) = 0 для г) Я. (3'2. 14) Формула (32.6) примет вид: — 1с, й„= $'2пг„Я,— Е))гь. (32.15) а аз В пределе' при Уе — оо мы приходим к случаю рассеяния от непроницаемой сферы радиуса )т" (32. 16) Длина рассеяния при таком взаимодействии точно совпадает с радиусом потенциала: а,=)с. Сечение рассеяния в четыре раза превышает классическое значение я)сз за счет эффекта волновых свойств медленно двигающихся частиц, когда их дебройлевская длина волны А>) )1.
Поведение волновой функции иллюстрируют рисунки 38 и 39, из которых видно, что эффект притягивающего взаимодействия состоит в некотором «втягивании» парциальной волны в потенциальную яму, а эффект отталкивающего взаимодействия — в «выталкивании» волны из области взаимодействия. При явлении Рамзауэра волна втягивается так, что во внешней области она совпадает со «свободной» волной (взаимодействие отсутствует) с точностью до знака. $3$. РАССЕЯНИЕ ПРИ БЭЛЫНИХ ЭНЕРГИЯХ Строгое решение задачи о рассеянии при больших энергиях (й)~, >) 1) представляет серьезные трудности, так как в этом случае нужно учитывать большое количество парциальных волн.
Некоторое упрощение вносит, однако, то обстоятельство, что рассеяние быстрых частиц имеет квазнкласснческий характер из-за небольшой дебройлевской длины волны )ь(<)1, Рассмотрим качественно данную задачу, используя квази- классические соображения. Основной вклад в сечение должны давать состояния с большими орбитальными моментами 1>)1, которые можно рассматривать как движение по определенным траекториям. Рассеяние может произойти только в том случае, когда кратчайшее расстояние между сталкивающимися частицами меньше эффективного радиуса взаимодействия й,„о.
Для этого необходимо, чтобы прицельный параметр был тоже меньше )1, Прицельный параметр нетрудно выразить через момент импульса 1, с помощью общеизвестной классической формулы Отсюда получаем следующее условие рассеяния в состоянии с заданным 1: 1( йй,ов. (33.2) з Этот предельный случай реализуется при рассеянии двух абсошотно упругих шаров. При этом величина и равна сумме радиусов шаров. 44б Состояния с 1) М, Ф не должны давать вклада в сечение рассеяния, так как частицы проходят друг около друга в этом случае, не попадая в область взаимодействия.
Значит, суммирование в формуле (30.13) нужно производить по конечному числу членов: аФФ а ж — „., ~ч (21+1) з1п'6,. ~=о (Зз.з) Чтобы понять несоответствие с классическим пределом л)т', необходимо исследовать угловое распределение рассеяния. Оказывается, что график дифференциального сечения имеет вид, показанный на рисунке 40. Рассеяние приблизительно изотропно в шиРоком интеРвале Углов 11й)т'( О(л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
