Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Волновые функции тождественных частиц обладают некоторыми особыми свойствами, которые мы изучим в данном параграфе. В классической физике тождественные частицы можно <пронумеровать» в некоторый момент времени « =1< и следить за их дальнейшим движением по определенным траекториям.
В любой момент времени 1 > (> можно однозначно указать, куда попала каждая частица. Благодаря нумерации классические тождественные частицы приобретают все же <индивидуальность» и сохраняют ее в любой момент времени. В квантовой механике ситуация принципиально меняется, так как здесь нет возможности непрерывно следить за перемещением частиц в пространстве †ве реальная микрочастица не имеет траектории. Если даже известно положение частиц в момент г = г„ то в момент ( > «, нельзя сказать, какая из частиц попала в заданную точку пространства г. Тождественные частицы полностью теряют свою «индивидуальность> и становятся принципиально неразличимыми. Это утверждение составляет содержание принципа неразличимости тождественных микро- частиц.
Итак, в квантовой физике нумерация тождественных частиц не имеет смысла. Но для описания )У тождественных частиц требуется все же в У раз больше физических переменных, которые можно было бы обозначать разными буквами. Например, в координатном представлении одну частицу описывать переменными В = г, о, вторую — аналогичными переменными С = р, <1 и т. д. Вместо этого проще ввести одинаковые пронумерованные буквы для одночастичных физических переменных: (В;, В;, ...; Вы)=(г„а,; г„о,; ...
г«> он). (34.1) Тогда волновая функция Ч" („„..., В ) имеет смысл амплитуды вероятности обнаружить значения В, у одной из частиц, В,— у какой-то другой и т. д, Заметим, что нумерация относится не к частицам, а к значениям физических переменных Вь характеризующих одночастичные состояния. В силу неразличимости частиц любая перестановка аргументов волновой функции не должна сказываться на физических результатах. Это означает, что при перестановке, например, В, -В, волновая функция может изменяться только на несущественный фазовый множитель вида (1.4): Чг („„„...) = е'а'Р („„В, ...). (34.2) В результате повторной перестановки В, В, в правой части равенства (34.2) волновая функция окажется умноженной на множитель е"а: Ч" („„В.„...) = езгаЧг (В„Вз, В„...), (34.3) Отсюда е'а =-~ 1, или Ч'(Вт Вз Вз ° ° .) =~ Чг(В»» Вт Вз ° .) (34 4) Волновая функция системы тождественных частиц должна либо совершенно не меняться при перестановке любой пары переменных В,, либо менять знак при однократной перестановке каждой пары переменных'.
В первом случае мы имеем дело с силзлзатричной, а во втором — с антисиимепгричной волновой функцией. Как мы видим, следствием принципа неразличимости является требование довольно простого типа симметрии волновой функции относительно перестановок частиц. Очевидно, что любое состояние заданной системы частиц должно иметь одинаковую симметрию, так как в противном случае можно было бы образовать суперпозицию, не обладающую свойством (34.4). Релятивистская квантовая теория показывает, что тип симметрии однозначно определяется спином частиц: частицы с целым спином (бозоны) описываются симметричными волновыми функциями, а частицы с полуцелым спином (фермионы) — антисимметричными.
В нерелятивистской физике требование определенного типа симметрии должно быть введено дополнительно при нахождении волновых функций. Это эквивалентно введению дополнительного ограничения на допустимые решения уравнений квантовой механики. Как правило, уравнения имеют много решений с различными типами симметрии. Среди этих решений нузкно выбрать полностью симметричную функцию для системы тождественных бозонов или антнсимметричную для ферминов. Поясним на простом примере свободного движения двух не взаимодействующих электронов с импульсами р, и р„как это делается. В соответствии с р 2, 3 решением уравнения Шредингера является функция ае' <а ' +аи и" Ч"л, (о,) ° Ч'л, (а,), ' Для краткости говорят о перестановке двух частиц, а не о перестановке двух наборов переменных, ояисывающих две частицы.
а также еще три функции, которые получаются из (34.5) перестановками пространственных переменных г, . г, и спиновых переменных о, . о,. Из этих четырех функций можно составить две линейные комбинации, обладаю(цие нужным типом симметрии: а (е((аа~ +(ьг па+ е((мы+Р гпФ). (Ч'з, (о,) Ч'з, (а,) — Ч"з, (о,) Ч"з, (о,)), (34.6) а (е((Р,г,+Р,ги(й а((Р,г.+Р.гдМ). (Ч(з (а~) Ч(з (а~) + (Рз (о~) (Рз (о~)). (34.7) Пространственная часть функции (34.6) симметрична относительно перестановки г,— г„а ее спиновая часть — антисимметрична относительно перестановки о,— а„поэтому функция (34.6) анти- симметрична относительно перестановки двух полных наборов г„а, — г„о,.
У функции (34.7), наоборот, пространственная часть антисимметрична, а спиновая часть симметрична относительно перестановок аргументов. Вся функция опять антнсимметрична относительно перестановки двух полных наборов, как это должно быть для двух тождественных фермионов. Спиновая часть функции (34.6) отлична от нуля только для Я„ФВ„, причем она описывает тогда состояние с определенным полным спинам 5=0 (см. формулы 10.16). Спиновая часть функции (34.7) описывает в этом случае состояние с определенным полным спинам 5=1 и проекцией Я,=О.
Таким образом волновые функции двух электронов можно записать в виде: о (а( (мп+Р гд/а+а((Р,п+Р где) (р (о а ) а (е( (аа1+(ь'я)Ф вЂ” а((аа*+аинФ) Ч( ( (а о ) где спиновые части соответствуют состояниям с определенным полным спинам Я и проекцией полного спина 5,. Для случая 5=1, кроме выписанной в (34.7) спиновой функции с 5,=0, возможны еще две спиновые функции с Я, = ~1: Ч(з ( з ((а, а2) = Ч( ( (а ) Ч( ( (оз), 2 м 2 Ч'з, з, ((а„о,)=Ч' ( (о,)Ч', (о,). х,= з ~г,— (34.10) (34.11) 1бб Обратим внимание на то, что волновые функции (34.6) — (34.9) обладают нужной симметрией не только по переменным г„о„ г„а„составляющим индекс представления, но и по переменным р„5,„р„Я,„составляющим индекс состояния. Таким свойством обладают амплитуды, являющиеся скалярными произведениями векторов <В„В, ~ и ~ А„А,>, каждый из которых асимметричен относительно перестановок „— В, или А, А,.
Спиновые множители векторов состояния задаются формулами (10.16). Заметим также, что вектор состояния отличен от нуля только в том случае, когда одночастичные полные наборы А, и А, различаются значениями хотя бы одной из переменных. Например, в полном наборе р„5,„р,, 5,-, могут совпадать импульсы р,=р.„но тогда должны отличаться проекции спина 5,,чь5,, Волновая функция такого состояния имеет вид функции (34.8). Если совпадают проекции спина 5,,=5,„то должна отличаться хотя бы одна проекция импульса. Этот случай приводит к волновой функции вида (34.9). Указанное свойство можно сформулировать следующим образом: в одном и том же состоянии не могут находиться два (и более) одинаковых фермиона.
Мы пришли к так называемому принципу Паули (принципу исключения), который был постулирован В. Паули в 1924 г. еще до создания квантовой механики для объяснения периодической таблицы элементов. Рассмотренную выше процедуру построения правильных волновых функций называют иногда симметризацией. Операция симметризации должна быть проделана во всех случаях, когда мы имеем дело с тождествен ными частицами. В задаче о рассеянии двух одинаковых бесспиновых частиц требование симметричности по перестановке г, г, эквивалентно условию четности волновой функции относительного движения: (34. 12) 1 А (г) = 1 А ( — Г).
Симметризуя соотношение (28.5), получаем следующую асимптотику: Ч' (г) — е'""+е-'"'-'- !е'". (34.13) Г О Мы выбрали нормировку волновой функции так, чтобы плотность потока вероятности каждой сталкивающейся частицы была равна скорости относительного движения о = р)тии Роль амплитуды рассеяния играет теперь функция: 1",„„(О) =1(О)+7" (и — О). Сечение рассеяния, при котором одна из частиц отклоняется в направлении телесного угла Ж, равно: Без учета симметрии волновой функции вместо (34.!5) мы полу- чили бы сечение йонласа = (~ 1 (О) ! + ~ 1 (и О) Л й1) (34. 16) соответствующее сумме вероятностей обнаружить одну из сталкивающихся частиц рассеянную под углом О.
Такой результат должен был бы получаться в классической механике при столкновении одинаковых частиц, как это видно из рисунка 42. 1з7 Рис. 42. Классические траектории движения двух тождественных частиц прн рассеянии под углом О. Квантовомеханическое сечение (34.15), кроме «клрссического» слагаемого (34.16), содержит еще два интерференционных члена )*(8) ) ( — 8)+) (8) 7" ( — 8), (34. 17) не имеющих классического аналога.
Дополнительное изменение результата из-за учета перестановочной симметрии волновой функции принято называть обменным эффектом. Этот эффект эквивалентен как бы учету некоторого дополнительного обменного взаимодействия, которое нельзя описать «классическим» способом с помощью какого-то потенциала. При вычислении полного сечения величину (34.15) нужно интегрировать только в интервале 0(8( — или по всем телес! ным углам с дополнительным множителем —: 2 ' а = —, ) ! !' (8) + ) (а — 8) !в оО.
(34.18) В разложения амплитуды (34.14) и сечения (34.18) по парциальным волнам будут входить только состояния с четными 1, но с удвоенными коэффициентами по сравнению с формулами (30.5) и (30.13). В случае взаимодействия посредством прямоугольного бесконечно высокого потенциала радиуса !с вместо (32.16) получается еще большее отличие от классическпго результата: о = 8п)т'. (34.19) $3$. АТОМ ГЕЛИЯ Уравнение Шредингера для многоэлектронного атома не может быть решено точно, как это имеет место для атома водорода. По этой причине рассмотрим лишь качественно свойства много- электронных атомов, опираясь на приближенные методы вычисления волновых функций и уровней энергии.
Обменный эффект выражается в удвоении сечения по сравнению со случаем нетождественных частиц. Простейшим многоэлектронным атомом является атом гелия— связанное состояние двух электронов и ядра с зарядом 2=2 (в единицах заряда электрона е). Если пренебрегать движением ядра, что дает небольшую погрешность ( 1/1836), то уравнение Шредингера имеет вид: (- йЯ Хеа Хе* е2 1 2т («+А) — + — ~Ч'(г„о, г, о,)= 2т г л г1 г~ гп) = ЕЧ" (г„о„г„о,). (35.1) Здесь г, и г, †расстоян от электронов до центра, где помещается ядро; ㄠ†расстоян между электронами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
