Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Коэффициент прохождения получается в этом случае зал«евой д ()д! в формуле (17.10): р 4«'171" (ь»+! е ! Ч«»ь»а(д (+4«» (д ! "- (!7.1!) Макроскопическим условиям движения соответствует огромное значение величины а)д! и близкое к нулю значение коэффициента прохождения; 4ь«1 !» Ож 1«!.
е-' («( е-*'!«!жО. (!7.12) (»«1 ! (Ч» В согласии с классическим результатом барьер становится практически «непроницаемым» в случае Е < У„. Заметим, что основ- ной эффект в формуле (17.12) дает экспоненциальный множитель, поэтому в квазиклассическом пределе имеет место соотношение: 7) "' <Р (17.13) Формулу (17.13) можно переписать в следуюшем виде: а 2 Г 0 ехр — з ) )/2т(У вЂ” Е) г(х (17.14) о В $ 27 будет показано, что аналогичное выражение справедливо для слабо проницаемых барьеров любой формы.
Задачи и главе 3 3.1. Определить распределение вероятности различных значений импульса для основного состояния частицы, движущейся в еящикеь размерами а)чв)4с (см. й 13). Решение. Волновая функция в импульсном представлении имеет вид: а 6 с е гоггй . ггх . лу . ггпу Чг,(р) = ~ с(х ~г(у~с(г яп — ° яп — ° я'и— Ъ й о $/ зй, Ьс о Ь с Вычисляя интеграл и возводя его модуль в квадрат, получим для плотности вероятности выражение: Рхо РуЬ Р~С (4лйт)з обе созе — соз' —.
соз'— 2й 2$ 2$ (рзос — лтгггт) (рабе — лзйз) (р~~с~ — лейт) 3.2. Найти уровни энергии частицы в одномерной потенциальной яме вида: Г Уе для х < О (область 1), У (х)= ( О для О < х < а (область !1), ! Уе для х > а (область И1). Решение. В каждой из трех областей волновая функция имеет следуюший вид: Ч', (х) =стенх, Ч'и (х) =с,яп (йх-!-6), Ч"н,(х) =с,е- Здесь х='у"2тЯ,— Е)4, Й='гг2тЕ)Ь, причем Е< У„. Условие непрерывности Чг')Чг на границах х=О, а дает уравнения: йстдб=х, Ас!ц ()та+О) = — х. Исключив б, получим трансцендентное уравнение для уровней энергии Е=Ьзлз)2т: агсз)п =, л=О, 1,2, .... йа л(п+1) — йа )/2пУе 35 Это уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.
Значит, в одномерной потенциальной яме всегда имеется уровень энергии, на котором находится частица. З.З. Определить мннимальнув знергие линейного осциллятора с помощью соотношения неопределенностей. Р е ш е н и е. Для среднего значения энергии осциллятора можно записать соотношение: — рз тыз — (бр)з . тыз —., Е = — + — к' >~ — + — (Лх)'.
2т 2 2т 2 Учитывая, что Ах=о/2Лр, получаем: 2т 3 (др)з ' Определяя минимальное значение средней энергии как функции от (Лр)', находим: ( )мнн) 2 3.4. Найти козффициент отражения от потенциального барьера вида: О для к ( О (область 1), (1 (к) = (Г~ для к > О (область И). Решение. Волновые функции в указанных двух областях можно записать так: Чг (к) — емк ( са-мх Чг (к) Дзздх где й=7 2птЕ(Ь, д=)/2т(Š— '(1«)lй.
Коэффициенты Ь, с определяются из условий «сшивания» в точке к=О функции Ч" и ее производной Ч": )+с=О, й() — с) =ОЬ. Отсюда находим: При Е < (У„д = г ) д ! коэффициент отражения )г обращается в единицу. ЛИТЕРАТУРА 1. Л. С. давыдов. Квантовая механика. М., Физмвтгиз, !963. 2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лиф ш иц. Квантовая механика. М., филмз«газ, 1963.
Глава 4. СВЯЗАННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВУХ ЧАСТИЦ $18. РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ В УРАВНЕНИИ ШРЕДИНГЕРА ДЛВ ДВУХ ЧАСТИЦ В данной главе мы переходим к изучению движения двух частиц с произвольными спинами з, и з„взаимодействующих по закону (7(г)=и(! —. 1) — О, (18.1) где ги'=>хи', уи', ги') и г">=(х">, у'"-', ги>) — радиус-векторы 1-й и 2-й частиц; г — расстояние между частицами. Потенциал (18.1) зависит только от взаимного расстояния двух частиц, поэтому называется иентрально-симметрическим. Функция Гамильтона двух частиц в нерелятивистском приближении равна сумме кинетических энергий (р»>1'/2т„(ри>1'/2т, и потенциальной энергии (18.1).
Соответствующий оператор й= — "'~ —" ~*+и (г), 2т> 2т> Оператор (18.2) в новых переменных выражается через лапласианы,5и и,Л, по компонентам векторов К ° (Х, У, 2) и г=(х, у, г): (18 А) где т>+та (18.5) Он распадается на сумму двух независимых частей й 2 1т>+т,) ' И„„= — — 2„, +и(г), ати (! 8.6) (18.7) содержит дифференцирование по координатам первой и второй частиц в лапласианах ,л„ и ~~„. В качестве независимых переменных удобно принять положение центра инерции и взаимное расстояние частиц: (18.3) т>+т> которые описывают соответственно движение центра инерции и относительное движение частиц в системе центра инерции. В соответствии с этим можно искать волновую функцию в виде произведения: Ч"„(г"', а'", г"', о"') =Фа (К) Чгл (оц', о"') Ч"„(г).
(18.8) Первый множитель в (18.8) является собственной функцией оператора (18.6) и описывает движение рассматриваемой физической системы как свободное движение частицы с суммарной массой (и,+и,) и импульсом Р: Фл (Й) = е'~ага. (18.9) (2аь!з/з Индекс состояния А для этого множителя эквивалентен совокупности трех проекций полного импульса Р =(Р„, Р„, Р,).
Второй множитель в (!8.8) является спинозой частью волновой функции и, в свою очередь, может быть записан в виде произведения спиновых амплитуд 1-й и 2-й частиц (см. э" 3): Чг„(пю, осп) = (ою )5'о) (оц'(5'м) (!8.10) Ни.а'Рд (г) = Еч.иЧгд (1), (!8.11) где ре 2(еь+т~! ' (18. 12) Пользуясь движущейся системой координат с началом в центре инерции (система центра инерции), удобно перейти к сферическим координатам г, О, ~р. Тогда Гг" 1 д~ Р Н .и= — ' ег+ г+У(г), (18.13) 2т„г дг' 2т„,г' "в Й~ д г ° дт Ьг — — — ( з(п Š— )+ —.,', а(п О дО ! даГ' а(п- "О ' Е.= — Й вЂ”. (18.15) (18.14) Кроме того, нужно подставить Е, „=Е в (18.11).
Индексом состояния функции (18.10) является совокупность проекций спинов Я,"> и Е,'" 1-й и 2-й частиц. Для описания спичового состояния можно выбрать также другую функцию, соответствующую определенному полному спину 8, как это указано в 2 10. Третий множитель в (18.8) описывает относительное движение частиц как движение некоторой фиктивной частицы с приведенной массой (18.5) в центрально-симметрическом поле (18.1). Волновая функция относительного движения удовлетворяет уравнению Шредингера: Из формул (18.13) — (18.15) видно, что операторы Й„„, !.', г"'., попарно коммутируют. Поэтому соответствующие физические переменные Е, 1.* и Е, можно выбрать для описания относительного движения частиц.
Другими словами, можно потребовать, чтобы Ч'л(г) была одновременно собственной функцией операторов энергии, квадрата момента импульса и его проекции: Ч'л (г) = — (г ! Е, 1.*, 1,,> (18.16) В этом случае полный набор, описывающий движение двух частиц, содержит следующие физические переменные: (18.!7) Учитывая все это, запишем уравнение (18.11) в виде: ( ! д~ 2т, Г ~ь2 — —,г+ —" ~Š— (7 (г) — .,1! ~ Ч'„(г) =О. (!8.!8) г дг~ йа 2тм г'-'~ Для решения уравнения сделаем подстановку: Ч"л (г) = Я„ (г) )'~ ,„ (8, ф). (18.19) Здесь У, „(~, 0) — собственные функции операторов 1.' и А, с собствейными значениями Ь' !(!+1) н Ьт, полученные ранее при рассмотрении пространственного ротатора (см. э" 16).
Прн этом уравнение для волновой функции относительного движения переходит в одномерное уравнение для радиальной функции !гА (г): — —.,гй~(г)+ — м ~ Š— (7(г) — ', ~ Я„(г) =О. (!8.20) вч (д+ !!! В данной главе рассмотрим уравнение (18.20) для отрицательных энергий Е(0, что соответствует решению задачи о связанном состоянии двух частиц с энергией связи (18.21) Волновая функция Ч'„(г) описывает при этом финитное движение. Поэтому она может быть нормирована, как обычно, на единицу условием ~ ) Чгл (г) (* г(!г = ~ ! йд (г) !' г'с!г = 1. (18,22) Радиальная функция н энергия связи зависят от числа 1, которое явно входит в уравнение (18,20), Прн заданном ! уравнение может иметь несколько решений, которые мы будем отличать друг от друга с помощью некоторого целого числа и= 1, 2,..., называемого главным квантовым числом.
В соответствии с принятыми ранее обозначениями будем писать квантовые числа и, 1, т в качестве индексов волновой функции вместо физических переменных Е, 1.', Е,: Ч»л (г) = — Ч»и «(г), Кл — = Я„~ (г). Состояния, соответствующие разным значениям момента импульса, обозначают иногда с помощью латинских букв следующим образом: Таблица 3 Это спектроскопические обозначения состояний с определенными орбитальными моментами. Так, состояние с нулевым моментом импульса 1=0 называют з-состоянием и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
