Грашин А.Ф. Квантовая механика (1185116), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(16. 3) Явный внд входящего в (16.3) оператора квадрата момента импульса можно получить с помощью формул (8.18), (8.20), переходя от декартовых координат к сферическим. Тогда оператор квадрата момента выражается через те же самые переменные О, Т, от которых зависит волновая функция Ч": ОдО( ОО)+ 1 Оз1 + Мп'О дмз ) Заметим, что оператор Гамильтона пропорционален оператору квадрата момента (.з.
Поэтому волновые функции Ч" являются собственными функциями Рис 18. Угловые переменные пространственного ротатора. т Это название употребляют и для других аналогичных физических систем, например для двух жестко связанных частиц, которые могут вращаться вокруг их центра инерции.
78 жения (15.3). В точке поворота изменяется направление классического движения и имеется следующее соотношение: сг' (х,) =Е. (15,20) В О 27 будет показано, что классическая плотность вероятности (15.19) совпадает с усредненной квантовомеханнческой плотностью вероятности р(х) во всей классически доступной области, кроме небольшой окрестности точек поворота хж.+.х, (см. рис.
14), оператора квадрата момента импульса. Полный набор физических переменных для ротатора содержит, кроме квадрата момента 1.', его проекцию Ь,. Таким образом, для нахождения волновой функции ротатора нужно решить систему уравнений: $.'Ч~ = 1.'Ч', 1,,Ч~ =Е,Ч. (16.5) В соответствии с (16.1) собственные значения оператора квад- рата момента импульса 1.' связаны с собственными значениями оператора Гамильтона (уровнями энергии ротатора) следующим соотношением: Е= (+) 21 (16.6) Рассмотрим сначала второе уравнение системы (16.5), записав оператор проекции момента импульса в сферических координатах: д (16.7) Его общее решение имеет вид: Ч' (О, ~р) = Е (8) еш*т~", (16.8) где Е(О) — произвольная функция угла О. Для того, чтобы вол- новая функция была однозначна, необходимо, чтобы она была периодична по <р с периодом 2я.
Это требование выполняется при условии: Е, = Ьи, и = О, +-1, -~2, (16.9) Уравнение (16.10) хорошо известно из теории специальных функций. Оно имеет непрерывные при всех значениях угла О решения только при условии 1.' = ЬЧ (1+ 1), ! = О, 1, 2, (16.1!) !т) (1, Равенство (16.9) означает, что проекция момента импульса рота- тора может принимать только целые значения в единицах Й. Оио является частным случаем общей формулы (3.2). Подстановка (16.8) в первое уравнение (16.5) приводит к уравнению для функции Е(8).
Учитывая (16.4) и переходя к переменной г =сов О, получаем: — (1 — г') — Е+ 1 — — — 11 Е = О. (16. 10) На Н2 ~,$" 1 — т~/ что согласуется с общим правилом квантования момента импульса (см. 2 3 и 9). Такие решения можно записать в виде: Р(О) =сонэ( Р) !(созО), (16.12) л!+ и Рию (г) = — (1 — г')"'!' — (г' — 1)' для т. О. (16.13) 2!1 ! Ег!.~- а Коэффициент пропорциональности в (16.12) может быть найден из условия нормировки: ! 1 = ) ('Р (О, !р) (' Ж) = 2п ) ~ Р (О) (' !1 соз О. (16.14) — ! Окончательно имеем следующее выражение для волновой функции ротатора: 'Р(О, !р) =е!4 ~г — ° ' ° Р' '(созО)е! и для т)О. (16.15) — / 2!+! (! — и!)! 4п (1+ ел!! Функцию Р!! ! (г) называют присоединенным полиномом Леясандра, а функцию (16.15) — шаровой функцией, причем употребляют следующее обозначение: Ч (О, р) = ) ь „ (О, р) = У"; (О, р).
Фазу 8 в (16.15) выбирают по-разному. Мы примем значение фазы, которое удовлетворяет условию ееб — ( ])ю !! (16. 16) Для отрицательных значений квантового числа т определим волновую функцию соотношением )'1,, (О, !р) =.( — 1)' У!" ! !(О, !р) для т (О. (16,17) Шаровые функции для ! =0 и 1 имеют следующий вид: );,(О, р) (16.18) Особо важную роль играют состояния с нулевой проекцией момента импульса т = О, которые описываются полиномами Лежандра Р, (соз О) — = Р1" (соз О).
(16.19) )'... (О, !р) = ! У1, ! (О, !р) = ~! ! У 4и — О, 3 4п — 3!п О.е~!4!. 3 зп Рис. 16. Графики полнномов Лежандра для 1=0, 1, 2, 3. Рис. 17. Полярная диаграмма плотности ве- роятности ротатора для 1=0. Рис. 18. Полярные диаграммы плотности ве- роятности ротатора для 1= 1: а) квантовое число и~ =О; б) квантовое чис- ло от= ж 1. Они образуют полную ортогональную систему функций, по ко- торым можно разложить любую функцию 1(9): Э ) (9) = ~, с, Р, (соз 8) „ ! с, =, ) ( (9) Р, (соз 9) с( соз 8.
21+1 Г -1 (16.90) На рисунке 16 показаны графики нескольких первых полиномов Лежандра: Р,(г) = 1, Р,(г) =г, Р (г)= 2, Ра()= Полиномы имеют определенную четность', совпадающую с четностью числа 1, и принимают одинаковые значения в точке г= 1: Р,(1) = 1. Плотность вероятности (1.8) ротатора не зависит от угла гр, т. е. имеет азимутальную симметрию. Функцию р (9) удобно изображать с помощью полярной диаграммы, как это показано на рисунках 17 и 18. В основном состоянии (1=0) ротатор можно найти с одинаковой вероятностью в любом положении.
Это позволяет рассматривать низшее состояние ротагора как состояние движения, хотя ему соответствует энергия Е„= О. Действительно, состоянию покоя соответствовали бы определенные значения углов 9=8„гр= — !рю в то время как в основном состоянии эти углы полностью неопределенны. й 17. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТНЦЬ$ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР (ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ) В 9 13 — 16 мы рассмотрели несколько примеров финитного движения. Теперь обратимся к важному случаю одномерного инфинитного движения, при котором частица проходит потенциальное поле изображенного на рисунке 19 типа (потенциальный барьер). Указанные условия имеют место, например, для шарика, двигающегося по поверхности выпуклой формы в поле сил тяжести.
Согласно законам классической физики шарик либо «отразнтся» от выпуклости, если его энергия Е < (1„„,. либо с достоверностью пройдет через выпуклость при Е ) (1„,„, Оказывается, что квантовая механика предсказывает совсем другой результат: при любой энергии частица имеет вероятность 0 < пг < 1 пройти через потенциальный барьер. 82 ' Отметим, что шаровые функпии (!6.!5) также имеют определенную четность по отношению к преобрааованню соа 9 — ь — соа В, ю гр+и, совпадающую с чегностью квантового числа 1. х, хе х О и х Рнс.
19. Потенциальный барьер про- Рис. 90.Потенциальныйбарьерпрямонавольной формы. угольной формы. Вычислим вероятность прохождения микрочастицы через потенциальный барьер простейшей формы: 0 для х< 0, ц(х) — У, для 0<х<а, 0 для х) а. (17.1) В соответствии с видом потенциала разделим всю область движения на три части, как показано на рисунке 20. В области ! частица движется свободно с импульсом р=йя, поэтому ее волновая функция изобразится суперпозицией двух плоских волн: Ч',(х) =с,ега" +с,е 'а".
(17.2) Будем считать, что частица приходит из области отрицательных значений х. Тогда с, есть амплитуда «падающих» частиц, а с,— амплитуда «отраженных» частиц. В качестве меры интенсивности отражения можно принять отношение плотностей потоков отраженных и падающих частиц (коэффициент отражения): 1«т»ам и! Св! С» Р— (17.3) 1- 1сг1' 1ст В области 1П по условию задачи могут быть только двигаюшиеся слева направо и прошедшие через потенциальный барьер частицы: Ч"и (х) = саег"». (17А) 83 Отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих частиц является мерой «проннцаемости» барьера и называется коэффициентом прохождения: Из уравнения непрерывности (11.8) для плотности потока следует закон сохранения потока частиц, который выражается равенством Я+О=1.
(17.6) Для промежуточной области по аналогии с (14.2), (14.3) можно записать: «„() ь, ц*~ьр-"" д=~ ыт«- и,~4. с77~ На границах областей х=О и а должны быть выполнены сле- дующие условия сшивания: Чг, (0) = Ч'и (0), „— Ч", (х) ~ = — Ч«п (х) ~ е ! Ч'и (а) = Ч'и, (а), — Ч'и (х)~~ = — Ч«п, (х)~ (17.8) Подставляя сюда (17.2), (17.4) и (17.7), получаем систему урав- нений, которая позволяет выразить коэффициенты с„с„Ь„Ь, через коэффициент с,: с,+с,=Ь,+Ь„ Ь (с, — с,) = д (Ь, — Ь»), Ь,е'«' + Ь,е '«' = с,е'»', д (Ь,е «« — Ь,е- «*) = Ьс»еа« . (!7.9) Решая систему уравнений (17.9) и подставляя коэффициент с, в (17.5), получаем следующий результат: 0= (17. 10) («» — д»)»»!п»ад+ 4ь д« Если полная энергия Е меньше высоты потенциального барьера (Е( У„), то а — чисто мнимая величина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
