Galitskii-2 (1185112), страница 19
Текст из файла (страница 19)
что в отсутствие электрического полл она совпадает с точной волноаой функцией нсвоэь>ущснного гамияьтониым,товеризционный расчет паляриэусмостносновногосостокинвдастограничсннс снизу на се точное значение (паэтаму, даже нс анан точного значения поляриэуемости, можно утверждать, >то результат (7) заведомо более точен, чем (6)). 11.32. Используя известное значение />о — — 9/2 а, е. полярнзуемасти основного состояния атома водорода, получить приближенное значение поляризуемости основного, 1>Е-состояния двухзлвктронного атома или иона, а) пренебрегая взаимодействием между электронами, б> учитывая вго результативно как взаимное чаатнчное экранированне зщояда ядра, выбрав эффективный заряд равным Еюв ы Я вЂ” 5/16, см. 11.6.
55 !Оп>смол»нос энз >сикс 75 получастс» нэ условия дЕ/дт = О, послстзкллююсго алгсбознчсскос урсвисцнс т>нтьсл сггпсии относительно 7. Иэ него сзслуст тс м 0,797 (лза лпуп>к кори» урзенснн»вЂ” комплскснмс>. У1 5 4. Агложы и жолекрльг бо бнешник поляк Сравнить полученные результаты с экспериментальными данными, приведенными в решении задачи. Решение. Гамильгониан и энсргил основного состояния атома водорода, находешегося в олнародном электрическом поле, ниеют вид 2 2 Р с, Ш Ш 03 Н = — — — + сдс, Е, ю Ес + Ес, Ес — — -- Есд, 23п 2 причем ест 3 = — -' (иге'/йт), а /74 = т (йт/гнет)3.
для водородокодобнаго атоьга с зарядом 343 ядра 2с гами33ьгойиан р 2е Н = — — — +сиз, (О 23п г в энергия Ес может быть получена из приведенных выше выражений с помощью замен с т/Ее, 33 8/Г2, так что Р3 9 па 2 3 Е =-- — Е 4 24 и поляризусмость такого атома /74 = 9ев/22".
Гамильтониан гслисподобного атомп в электричсскаи поле в пренебрежении взаимодействием пожду элсктронаин равен Н = Н, + Нт, где Н,, имеют аид (3). Очееиано, энергия и поляризуемость основного состояния такой системм получаются умножением на 2 соответствующих величин лля вадоролоподобного ыома с тем жс зарялом ялра 2, В этом прибяижснии 3 р = 9 — = — а.с. Ге3 ос 9 4,23 23 24 (2) Фггзичсски естественным представляется, что более точное значение псляриэуемости двухэлсктронного атома [иона) может быть получена в результате замены в формуле (2) заряда 2 на эффективный заряд: 9 (2 3/гб)4 Сравненис рассчитанных значений поляризусмости с экспериментальными двнными343 лля 332-состояний атома гелия и некоторых деухзлсктронных ионов представлено в таблице 11.ЗЭ.
Рассмотреть эффект Штарке для возбужденных состояний атома водорода с главным квантовым числом и = 2 в первом порядке теории возмущений. При решении задачи воспользоваться собственными функциями невозмущенного гамильтониана Ф„г в сферических ноординатах. Указать правильные функции нулевого приближения и условия применимости полученных результатов. Решение. Неяозмушенный уровень атома волорода с л = 2 является чстырехкратно вырожлснным (без учета спина электрона).
Еля расчета его расщепления в однородном электрическом поле воспользуемся сскулярным уравнением. Соответствующие с. ф Ф.г„ нсаозмушенного гвмильтониаив псрсиумерусм следующим образом. Фг = Фн,-3. 333 ФЗ Ф2п 343 Ф, =рис, нг Ф2 = Ф33ы 303 нг Они юхти вз книги. К33ммыь Ч. Вхсясиис в фкзкку твсрлого тсяа. Мз Наука, Отз. С. 480 Глава 1'.
Апомы а молеиульг При эюм Фтл — — Еи(г)ул„, гле Уд = -Уз, = л — (( с ' "" (1 — — у!г сщ Рйг йй = -Ззеаей, так что секулярное уравнение, (Кь — Е1 ба~ = О, и его решение принимают аид О! -Е! !О 3!саед -Злеае г -Еттп О О О О О -Е, О О! О Ъ7! = (Е!' ) ((Вктл) — 9с аея') = О, Ет, = )саяе, о! ! -- -Зеаслг, о! з = Ет,4 — О. (П Таким образом уровень расщепляется на три полуропня, из которых леа иаляютси неаырождеиными, а один — Лаукратно вырожденным (с учетом спина электрона эти кратности вырождения удваиваются; заметим также, что а более высоких порядках теории возмущение дапьнсллл~его снятия пырожлеллия не происходит — сравнить с В.11).
Прааильные функции нулсиого приближения Фь, отсечающие расщепленным урон!е! иям Е, „„= жЗеасг, имеют аил ! Фе' = — (Ф",!жгет') =,,(2ае — г Ф сосед)е '!м'. В этих состояниях, нс имеющих определенной четности, электрон имеет отличныл от нуля средина липольныд момент, напрааленныд вдоль электрического поля д и равный +Зеас. Зпесь пропалкется специфическое лля кулоновского потенциала сеучийиос яырождение урониел с различными значениями! и с пратнсоположной четностью, приводящее к линейному эффекту Штарка а атоме еодоропа (лля позбужденных уровней). Состояния же Ф 4 с ! = 1, 1, = я! отвечают опреаеленноп четност и изменение их энергии я электрическом поле а Д!.
Услоаие применимости полученного результата (1) 5.10" эб <Беас ЩЗ эВ, или 2 ° 10 В/см лкг' Щ 10 В/слл (шгаркопское расщепление должно быть много болыпим нигерию!а тонкой структуры, сы. 11 1, но мноло меньшим разности энергий соседних неаознущснных уроансп атома). 11.34. Расс~итать варнационным способом энергетический сдвиг в однородном элек- трическом поле и поляризуемость связанного состояния частицы в потенциале нулевого радиуса действия, используя пробную функцию вида'" !» е"" Ф сл С(Фс(г)+Л(8г)е т'! Фе= 2тг г где Л, Т вЂ” вариационные параметрьл, Фе — волновая функция невозмущенного состояния.
Сравнить с точным значением, см. следующую задачу. з ! Обрзнлзем снинание иа то, что Ф т с(г), кзк и ес(г), при т О удоыстеоряет грани лиому условию, опрсаеляюшсит поминилл нулевого рздптсз, сн, 4. 10. а июровые функции Ум и У, приведены а (1П.т). Легко заметить, что отличны от нуля тояько следуюлпие матричные элелленты возмущения у = сгт" = ег соя д д: 2З б 4. Атомы и молекулы бо Окешник поляк Решекие Записав пробную функцию в сиде Ф4 а = С(Ф,+Фг), где Ф, = Л(бг)е "', находим матричные элементы неиозмушсниого гамильтона Йа. й2 1 (Ф,(й (Фа) = — — ~, (Фа)й (Ф ) = (Ф,(й (Фа) =О, 2т ' (Ф,(уба(Ф2) = (Фг( — 1Фг) = — Л у! (52(бг)е г') 45У = '2 ' 2т 1 27'' и возмушения й = -е(ег).
(Ф,(й(Ф,) = (Ф, (У) Ф,) = О, Лед 2 (Фг) У) Фа) = (Фа( У(Ф;) = — Ле)~ — у! — (42г) е «+м ' ИУ = -4;452яка 2к г (7 + ка) Выбрав теперь С2— ! т ! — вЛ27 ~4~ ! + к»27-542 из условия нормировки пробноа' в. ф. на единицу, имеем дгка 85/2вка Ле 2 ггЛгйг(уг В наг) о(» 7) = (Ф эя(На+ уг(Ф„а а) ю — — — 4 4 + Л . 2пг (у Ф 255) 2пгуг После минимизации по параметру Л получаем г 2 2 5 й('у) = тгп Е(Л, у) = — —— в ка 64гпе ка'у П) й (7 + ка) (7 Ч ка) а послслУюшаа миннмизациа по паРаметРУ 7 (лгинимУм (!) дотигаетсв пРн 7 = ка) пРиводит к вариационному значению энергии смегцениого пол дейв~вием электрического поля уровня й'каг гпе' г Вд, = т й(»,7) = - —" — — бг (2) 2т Вйг ца и поляризусмости состояния те Ра, а= — х'— а вй2 4 что совпэласт с точным результтсм, см слелуюшую задачу.
Решение. Для расчета сдвига основного уровня в потенциале нулевого радиуса под влиянием возмупгсния У = -ебх удобно в качестве системы собственных функций невозмушенного гамильтонивиь выбрать в ф, отвсчаюшие также определенным значениям момента ! и его проекции 2, Так квк в ф основного состояния йгкг (ст энергия и = ††) -252 а 2т 552,/и с "' чг ° отвечает значению ! = О, то матричные элементы возмущения (и ! (-еяз) (О) отличны от нуля лишь для состояний (и) с ! = ! и 24 = О, потенциал нулевого радиуса нс оказывает дсйстяии на юстину с моментом ! й О.
поэтому с, ф, Йа для ! и О совпадают с в. ф. свободной частицы, и при ! = 2, 2, = О они имеют вид (2, б ЗЗ) гау й 22 со58 ! 5222 йг Ф = )/ 1322(аг)Ъ ~а(п) = -5(/ - — ~ — — со5 Вг) 425= )/ ' Ч2 кг Л»2. (они нориированы так, что (а'!'т') йут) = б(й — а')бггб„„). 11.3$. Найти точное значение поляризуемости связанного состояния частицы в по- тенциале нулевого радиуса, см.
4.10. Применить полученный результат к иону Н сравнить с 1!.Зб. 74 Глава 11. Атомы и молекильс Оычнслнп матричный элемент возиушении /ли еД ! Гх е!г 1 (Л!0((-еДз))0) = -!3(' — — / е "'(ппдг -йг сшйг) дг = -41)(' —, (2) (г 3я й,/ )! 3я (йз+ из)!' согласно (У!111) получаем (теперь надо заменить 2' д. ) 4й, причем в сумьгс по 1, пт г, ь о~лично от нули лишь атно слагаемое с ! = 1, ш = 0) пг 32ше ий~ ~ йь Ий шсз / (1 ' + г)г ь (3) Отсюда цоляризуемость состопния гпс (4) 4йзнь О приложснинх этой формулы, после введения попранки нз конечное значение радиуса потенциала, к иону Н, си.
и слелуюшей задачс. 11.3б. Найти поляризуемость слабосвязанного состояния заряженной частицы с моментом ! = 0 в центральном потенциале (уз(т) радиуса гз, так что хг, ш, 1, где х = тг-2Ее 70, Ее — энергия невозмущенного состояния. Применить по(п) лученный результат к иону Н Отметим, что достаточно надежные вариационные расчеты свойств иона Н (двухэлектронной системы) приводят к следующим результатам: х = 0,235 а.е. (энергия связи се = 0,754 эВ), квадрат асимптотического нозффициента (см.
(Х).5)) Сто — — 2,65, попяризуемость )уэ = 206 а.е. Решение Ввиду тощ, что а.ф. состояния с малой энергией свнзи с увеличением г убивает достаточно исиченко. а возмущение У = -сг(з при этом возрастает, лоиинируюшую роль в сумлгс (Ч)Н 1) пторого приближения теории возмущений, опрелеллюшсй сленг уровня, играют состокнил непрерывного спектра с малой энергией Е, < азиз/ш Действительно, длн таких состохний матричные элементы эозьгушсггил (й)У)0), в которых определяю!дую роль играют большие расстояния г к, особенно велики (цо морс унеличсния энергии их значения начинают уменьшаться из-за осциллхций в ф ).
С другой стороны, на больнгнх расстониинх чо!гггоэыс функции рассматриваемых состояний достаточно просто связаны с н.ф свободных чзстпп Так, норчироэаннах на едниину е. Ф непозмушснного свнзанногп состоянии с чочентом 1 = 0 лпе области леиствия потенциала лишь дополнительным мнггжи~сг!см Се отличается от в ф. в потенциале нулевого ралнусз, см. прсдыпупгую задачу. Ошгноныс фупкиии нспрерыннога спектра лл» ьгеллснных частиц с моментом ! м 0 па рассгоннних г > г, фактически савкэлают (и <ттсугстаис аозмупмнин) с а ф свободной чзсгцпы (из-за наличии пснтробсжнага барьера, мало проницаемого лхя исдтснных частиц, они но *чувствуют* потенциала цситрэ) и описыааютси Формулой (1) из предьгпушсй задачи С у нлпь~ пыскамнцых соображений очснидпо, что сшшг и паляризусмость мелкого г-ургглггл в короткоггсйстиую~цсьг ногснциътс опрсдслхютси непосредственно формулаии ггредь~Лугцсгг задачи !шл потенциала нулепого радиуса ввепенисм в них дополнительного соьгножнтели Сы; шк, поллрнзусмость ацисывасгсн иырэжением 2 г Дг = — Снл (1) лдгхг Подчеркнем, что отмсченнэя вывгс доминируюгцал роль больших расстояний а матричных элемента» (1г!еуз!0) лли состоипий с лабазов энергией и случае мелкого з-урони» (наглядно ьиднал из формул (2) н (3) прелылушей задачи) нрояшлется н рвсхадимпсти пырьжений ллл Е„' и Дь ггри х О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
