Galitskii-2 (1185112), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Однако длл электрона в поле двух атомов, накодящихсл на расстоянии В < л, = (а,от) '1', уже возникает связанное состояние При этом Е(Л,) = 0 и Е(Л) с уменьшением В понижается, причем Е(В) -со при В О. Это указывает на возможность существования устойчивого молекулярного иона Однако этот вьшод обоснован лишь в случае В, » оа Если же В, 5 ов, то рассмотрение, основанное на модели потенциалов нулевого радиуса, лвллется уже несостоятельным (так, взаимодействие частицы с непроницаемой сферой радиуса о при значенинх энергии Е « йг/пгаг может быть аппроксимировало потенциалом нулевого рытиуса с а = — 1/о; вывод жс о существовании свнзанного со«толина в поле двук непроницаемых сфер, конечно, ошибочен) 11.29.
Найти основной терм Ев(Л) молекулярного иона водорода Нт вариационным методом, аппроксимируя волновую функцию терма «водородной» функцией вида ]аз аг Фима(т) = 1/ — ехр ~- — /, где г — расстояние электрона от центра отрезка, соединяющего ядра-протоны, ив вариационный параметр. Рассчитать минимальную энергию герма Ее, равновесное расс~ояние между ядрами Лв, энергию нулевьш колебаний ядер Е„в и сравни~ь ик с экспериментальными значениями: Ео щ — 0,60 а.е., Ло щ 2,0 а.е., Е„е щ 0,0044 а.е. Можно ли на основании результата расчета одела~в вывод о существовании стабильного иона Н~~? Решение.
Среднее значение шмильтониана электрона прн «закрепленных» ядрах иона 1 1 1 1 // = — - гз- — — — +— 2 )г - К/2) (г е К/2( В в состоянии, ооисываемом волновой функцией Ф„нв(г), равно — а 1 Е»(Л,а) = Йм = — — [3 — 2(2+ а)е ']— 2Лз Л (1) (так квк в ф имеет вил «водородной* функции, то ллл средних значений 2' и (еж К/2П мэжио воспользоваться известными выражениями; в частности 1 КГ' 1 = [2 — (2+ о)с '] —, 2] Л' как это следует из формулы (4) задачи 4.6, если в ней положить г = В/2, о = В/а, е = 1 и вычесть 2/Л). 3* 68 Глава 11.
Агпожьг и молекулы В рамках вяриапнонного истаяв выражение (!) можно рассматривать как некоторое приближенное значение истинной э».ергиип' Ер(В) аснопного герма, при»ем наилучшее приближение получается после л»инимпзации (1) по параметру а. Оптима»зное значение а(В) нт услоиия дЕр(В, а)/до = 0 таково, по ае" = 2В. (и+ 1) При этол! выражения (1) и (2) определяют зависимость Ер „р. имеющую вблизи точки Вр абсолютного минимума мид 2 В резуяьтате несложного (с полюшью компьютера) численного расчета получаем Ер, р(В) = -0,470+0,078(В-1,78) ° (4) Согласно (4), искал»ые характеристики основного тсрма 1 ж~Е" (Вр) Еа = 0,47, Вр= 178, Е,р = -ш, = ю0,0065. 2 ' )! 2гпр Эти результаты значительно отличаютсм от экспсриментальньж значений, что свпзано с крайне простылг аыбором пробной функции (атметим, что в (10) проведено более реалистическое исследование иона Н' с пробными функциями в виде суперпозиции водородных» молновых функций, связанных с каждым нз ядер иона).
11.30. Оценить характерное расстояние между ядрами в Р-мезомолекулярном ионе водорода"', а также эначенив величин шл и В„ для иона в адиабатическом приближении, воспользовавшись результатами из предыдущей задачи для обычного иона Н», Решение. Твк как п»„/гпр ж 1/9 к 1, то характерные скороати ядер много меньше скорости мюона и можно л»спользойать здиабатичсскае приближение. При этом движение ядер происходит и эффектипном потенциале У(В) = Ер(Л), опредсляемом энергией основного мюонного тсрыа ПРИ «жКРЕПЛСННЫХь япраХ И ИМСЮШЕМ таКай жс Внд, КаК И В СЛуЧаЕ абыЧНОГО МОЛЕКулмрнага иона Н», если воспользоватьси мкижнымн атомными единицами гпр .= е = Д = 1.
В этом приближении характерный размер иона Опрсдсляетел Расстоянием Вр, отвечающим минимуму зависимости Ер(В) и дпм мсзама»екулмрнога иона составляет Вр 2 а. е. = 28 /»п„е» ю 5 10 " см. 3»»аченим величин ш„н В„(в мюонных атомных единицах): ш ж027~/ —, В //жм г»»р (/ М ' " 2МВ» Вм' (1) где М вЂ” примеленная масса ядер, сравнить с 11.26. Необходимо слелать замечание аб особенностях примсненил вдиабатичсского приближения плм мсэомолекуяпрных систем, связанных со значением Х 1/ГО параметра ааиабатичности, сравнить с Х 10 '-10» длм обычиыт молекул, см 1125 Хотя приближение «эакрешюиных ядер ллм вычислении Ер(В) ешс оправдано (но с существенно меиыней точностью), дальнсйц»ега разделения ядерного движения на независимые колебательное и прав»ательное уже не происхолит.
Камебатель»»ас движение носит сильно аигарлюнический З»» Балсс точно, к Й, слсмарр»»о бм доверить т*кжс нрлас смрюснас 1»,/2МД м т,/М„„, получающееся при успею»сими па электронному састармию псн»равсжмай эисргмм мдср, см (1, 982) »»! Иэ-зм нюсе»и ррэисрр р исзачалскурмрнаи маис сушсстрсима разпзстрст праммкрьчасть кулоновска»а бррьсра, ррззслиюшсю млра Пазтачу р сэучзс, когда марем» иона «влмютсм тмжслмс изотопы радаралр 16 мэм 1), мюам рмступаст кзк катализатор рсвкамй мжрпога сиитсю (ирпрммср, 4! пг» + !7 6 мэВ): сн р связи с атил» 1159. и 74, э также авзар па и-кртрлм»у зымэмрч я Б, грр- ррмрзмСС УФН.
!960 Т.71 С 5аг. б 4. Ягпомы и молекулы Во Внешних полях характер н сушествснно зависит от всличинм моиента К, так что использование формулы миабатичсского приближсннл для спектра Ек = Еэ + ыг ~е + ") + Е К(К + 1) 2/ уже нс оправаано. Впрочем, для состолний с э = О, К = 0 и 1 она дает сгпс разумные значения энергии так, ллл атр-систсмы из нес следуют значении энергии связиэтз; с», = — 1/2 — Ек„равныс гм м 0,059 а с.
ы 330 эВ и см м 0,036 а.с, - 200 зВ; сравнить сточными значениями 319 зВ и 232 зВ соотнетствснно. Заметим, что, как показывают точные вычисления, у мсзомслекуляриых ионов водороав имеется падва сенэанных состояния (э ш 0 и 1) с К = 0 и 1, одно (э = 0) — с К = 2, а устойчивых состояний с К ) 3 не суптествует. В 4. Атомы и молекулы во внешних полях. Взаимодействие атомных систем Атомные системы ео внешнем электрическом поле Решение. Запишем пробную волновую функнию в виде Ф„„с = С(Фа+олег), где / 3 (27)'/' Ф~ = )( — созе — ге 'э"/'. лгг гт/6 Теперь заметим, что норьгированнап на единицу (как и Фе) функция Ф, совпалает с в ф. состояния с квантовыми числами и = 2, 1 = 1, пг = 0 нолорслоподсбного атома с заридом ядра Е = 27 (7 = 1 н случае е)) и поэтому удовлетворяет уравнению ( 1 2'/'3 Е~ Тт — -т3 — — )Ф, =- — Ф, =- — Ф,. г / ' гп» ' г Соответственно записав гамильтониан системы е вилс 1 1 й= — -г3 — -+лаяй +в в (1) 2 г (ось х направлена вдоль элсктричсскоге поля), находим 27 27 — 1 7 (Ф~(//е)Ф~) в (Фг) - -/з — — + — )Фд =— 2 г г 2 (2) ]ь1 Злссь н знсргнп сснсенст сссзснннл исзмтона, рээнсп -г/2, нс скехэиа поправка на конечность мзссм (более тлжшют) чсрэ, нриеоллшая к уьслнченню энергии сэкзн Вс эелнчнна жкою жс нерхвкэ =г гя„/М„„, как н еклаа е энергию терна ст слэгэсчсго 1х/2МЛ, получающегося нрн усрсагсиин на мюоннсму состоянию еситрсбсжнап энергии «дср, слг.
(1. 982) это слашсмсс е нсземслскулс боте сушесгеснне. чен е сбм ~ньгх молекулах н прненлнт к коэмшснню тсонз (и уменьшению энергии сеяти). Таким обрэзои, указанные неучтенные слэасммс имеют протнсопслсжнме знаки н чэсгично ксмпснснруютлруг еругз Заметим, помюоннаэ атомная слнннсэ энзэ~ни м 5,63 кэВ 11.31.
Рассчитать поляризуемость основного состояния атома водорода ввриационным методом, воспользовавшись пробными функциями о) Ф(г) = СФс(г)(1+ адгг) = С» '/з е '(1+ адгг сов б)1 6) Ф(г) = Сгг '/' [е '+ атз/тдгге т" созВ), где а, 7 — вариационные параметры, Фс = е '/ь/я — волновая функция основного состояния невозмущенного атома водорода, Ес — напряженность внешнего электрического поля.
Сравнить с точным значением /3е = 9/2 (использованы атомные единицы). Глава!1. Атомы и молекулы (зночеш>с (Ф,)-,)Ф,) ж э' (Ф, >-э>К = з непосредстненно слслует из теоремы внриала). эт с»л о. 1 (Фа>Йс>Фс> = — (Фс)з > Фс> = (Ф>15) Ф» = 0 2' (Ф>)йз)Ф5> = (Фе>Йс>Ф> = --(Ф>) Ф) =0, 2 С > 1 > 5 ы> — О л 1+ а>Л> (жметнм, что в.ф, Фс н Ф> взвил>но ортогональны как отвечаю»цис различным значениям орбитального момента).
Наконец (,р » Ф ) (,р ) )Ф ) 7 / е-п,ц „рот>ее„й(> 7 (4) соагноюснин (1>-(4) позволяют найти е(о, 7) = (Ф)Й1Ф) с точностью до членов - 6' включительно. В случае о) имеем Е(а)м — -+-а Р 42а>Г. 2 2 Минимиюння по параметру сг даст Ес р —— т>п Й(а) = Е(ао) = — — — 2>г, ае = — 2. (5) Сравнивал зто приближенное значение энергии основного состояния атома водорода, накодя>цсгося в слабом электрическом псле, с точным -1/2-/>5!5/2, где )75 — поляриэуемость основного состониия атома, находим ее приближенное (взрнацнонное) значение !уо, = 4.
(6> В случае 6) имеем 1 1 э 5 647 555 Е(О, 7) — — + - (1 — 7 > 7 )О Х .! 5 Ол ' 2 2 (1+ 7) Минимиюцин по параметру а даст 1 2 7 Н 5 ? Е(7) = -"- 2 (1+7)и(1 — 7 > 7 ) а послелуюжон минимизация по параметру 51 7 >юзволяет найти более точное, чем получаса), значение поляризусмости 2' 75 Д» =,„= 4,475, 'уо = 0 797 (7) (1 + 75) и(1 — 7р + 7р) отличаю»цссся от точного, бс = 9/2, лныь не 0,6 16 В заключении заметим, что если пробнан функция выбрана тзким абра!аз>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
