Galitskii-2 (1185112), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(5) СГ°Г), гг-е 1 Ваяв алесь первый раз свертку по индексам ! н 1, а игорей раэ, умножив (5) нв пг,гьи, получасы лва соо! но!пения (при г! > г,); 2я 6» 4к ЗА+В= =./ (6) =/, ' =,~,), гялй !г ~8 ! г1 А.!В= — = — — г, !4г, луг!у+с„-гг,гэа 3г,' ь,5 ноэюг!яма!не си!ре,!слить А н В (при вычислении интегралов по Е,, р, улобно полярную ось напраннть вдоль асктора вг, при этом и,а! = соя 6, ш а). Теперь выполнил! ннтсгрнронание по направлениям радиуса-вектора второго элок!рона, носпользоааишись извссгнымн соотношснияил 4я Г 4я п,п, АГ( = — ьм, ! п,п,п!и Ий= — (6,ь6,„+6ньь +6, ьн) В результате интегрирований по углам ныражсннс (4) принимает анл г Е! =- го,ь(Б)е,',„(6) / йг / Аг,г)сэр~(г,)р'(г!) х и! с ь (4а 4е х ~ — 6,!6, А ! — (6,ьь, !.6я6! ! 6, ьм)В( (7) ~3 !5 Эгу формулу. искольгуя соотно!пенни (2) и значении А и В, слелуюшие нэ (6), можно записать н ншж ! бш = г /' 6., /' а,рЯр (,)р (т) ~ ! + — ь.
1, 5 с с (8) ше 1 С=О, 4' 6=1, 8' ь,= ! — Ъ = 2. 40' Как аплно, л ф. Я- н Ю-тсрмов симметричны на отношению к псрссгановке г, н гг, лак чго этн термы лллию!си сингэюгнымп, Я = О, а антнснмметрнчный я координатах Р-герм— триплсгный, Я = ! В пренебрежении аюнмолейстннем лр-электронон исе термы имеют олинаконую энер!ию, изысненне коюрой за счет нх вэанмсаействин в пер!юь! Поряаке !сорин возмупгсний 5 2, /бногоэлектронньге отомьь Спютцстцческоя модель атома 53 Отсюда непосредственно следует порвлок расположения тернов Е(зР) < Е(~ Ц < Е( Б), так что нормальным является терм зР в согласии с правилами Гундя [!), а также привеленнос в условии залачи соотношение между энергнямн тернов Подчеркнем, что зто соотношение не злоисит от конкретного вила в. ф пр-электрона, определяемого самосогласоеанным полем электронов заполненных обояочек (их явный внл вообще нс требуется!), и поэтому может быль иснользоиано в качестве критерия точности рассматриваемого приближения.
В свизи с этим сравним расс гитанное значение отношении Ь = 3/2 с его зкспериментальиычи значениями Лля некоторых атомов и ионов, имеющих электронную конфигурацию (пр), а также (пр)ч (т с. две дцркц на пр-оболочке), представленными в таблице (они взяты из книги (!7, с. )38]): 11.1(). То же, что и в предыдущей задаче, но для атома с тремя эквивалентными пр-электронами.
Показать, что энергетические расстояния между термами удовлетворяют соотношению Е(зР) — Е(Ч)) 2 Е(т/3) — Е(4Я) 3' Решение Возможные термы ~Я, 'Р, 727. Расчет сдвигов их энергии за счет взаимодействия прцшсктроноп друг с другом может быть выполнен твк же, как и и прслыдушел заааче. Однако теперь он более громозлок, что свнзано с более сложной структурой волновой функтги трехэлектрониой системы. !) Начнем с терма ~Е, отвечающего максимвгьно возможному значению суммарного спина е —.- 3/2. при этом спнновая часть /с,зт волноиой функции симметрична ио отношению к перестановке спиновмх переьгенньгх любых двух электронов. Соответственно пространственная часть в. ф.
(фактически угловая часть, так как радиаяьна» зависимость е. ф ллл исса электронов одинакова) должна быть антисимметричной, что однозначно опрсделиет угюаую занисимость волновой функции в зиле в,(птпз) ш с,цпьпт,пзн так что Ф( Я) = С,г,цпннгьпнп(г,)Ц(гз)Р(г,)»ми (П (так как ксюраинатная часть в.ф. янзестси скаляром, точнее псевдоскалнроч, и ее вид не изменяется при вршцениях. то она Лействительно отвечает моменту Х = 0 и описмиаег Я-терм, сравнить с 3.47) Нормировка в ф. (!) лает Ст = 9/!28ез (при вмчислении нориггровочного интеграла следует учесть значения угловых» интегралов, указанные е прельзгушед эауиче и известное соотношение с,ь, — — О). т Сдвиг 'з-терца за счет взаимодействия электронов друг с другом а перпоьг порядке теории возмущения раасн буЕ( Е) = ~„+У„ч ум = зуц = 3 /г/ (ф( Я)) 4 х збКб~тгдз (2) )г, — г,! После элементарного интегрировании по гз это выраженно принимает внд формулы (4) из нрелцдушед ззгьччи, в котороя только следует таз~спить ееп,'„на 4кС((бн бь — б, бц); (3) при этим использована соотногценнс с,цс,н = б„бц — б„бз,.
5 2. Многоэлектронные отоэгы. Статистическая модель отомо 55 Из приведенных выше значений Ьс слслуст порядок расцоложснил тсрмав. Я( 8) < Е( /г) < Е( Р), так что нормальным явпястся ~Я-терм в согласии с правилом Гундя а отношении значснпн суммарного спина 5 такога терман!, а также указанное в условии эалачи отношение б = 2/3 энергетических расстояний дэя рассчатрннаемых термах. Экспериментальные значении этага отношения шш атомов с электронной канфигурпцисй (пр)', взятыс из (17, с. 138(, приведены в таблипе Сравнить с результатами прсдылугцси задачи. 11.19.
Рассмотреть статистическую модель основного состояния нейтрального атома с зарядом ядра Я >> ! в пренебрежении взаимодействием электронов друг с другом. В рамках этой модели найти: 1) электронную плотность п(г) и гг для отдельного электрона, 2) распределение электронов по импульсам В(Р), а также Р н Рг, 3) характерную величину орбитального момента электрона, 4) энергиЮ пслной ионизации атОма Елшн чьх = Ьэ.
Обратить внимание на зависимость от Я рассчитанных величин и сравнить с результатами модели Томаса — Ферми. В пренебрежении электрон-электронным взаимодействием получить точное выражение для энергии основного состояния атома Еа и при В ~ ! сравнить его с результатам статистической модели. Решение. Основное состояние системы как целого возникает а результате паслславатсльного заполнения нижних по энергии одиазлсктранкых состояний. При этом э кэазиклассичсскач приближении плагнасп электронов п(г) связана с максимальным значением рь(г) их имаульса соотношением г /г Вггг (! -»)ггг п(г) Рг(г) х 3»' 3»г Вггг хггг В Здесь учтено, что максимальное значение палнан энергии электронов В г с, = -дг — — = сапы и -— г В нс завнснгот г (это обеспечивает минимальность энергии пссй снсгсмм). При г > В имеем га и = О, а само значение В опрслелнстся иэ условия нормировки и для нсйтраньнага атома, / п(г) г)У = Я, оказывается равным В = (18/Я) г/г.
Найденную плотность числа эггсктронав интересно сравнить с результатам мопсли Томаса-ферми, Для этого заметим, чта если записать (!) в внлс (Х!.1), (Х1.3), та лля Х(х) получим (при г < В). Х х(х) = ! — — = ! — 0,338»; э = 7 —, Ь об,885. г В ' Ь' 'г й рассмэтрньасиом сл»гас 8 = 3/г. Цпн зши ахя снег»мы нг тэсх зкэхаахснгных р-зхгктпьньх орбитальный мамснт Ь = а ггг так что э рассмэтриэагчап мьлсхн атом имгст чстка»лпмжснныа радиус, Однэкою» пспн4»рнйных эхскгранов нуцикт зкраннрьэкн гапхха яарэ хю»сюх ьпрсасэнюшни н прслскэгэнчх мьдглн гы» ннх уже несостоятельны. 56 Гнала 11 Амомы и молекулы Сгшпстагюснис рсэулыагоа рассьютрннасчой чодстн н м<мслн Томаса- Фсрмн прслсшгшсно и шбтгнпгс 1 88 т(Р уху(„т+ 2г/В)" сралнигь с (1).
Заесть 1'(р) — рапса н г-пространство, находпсь н котором, электрон сага можсг ттьга~ь нтшульс р Как андно насоотнашсннн (2), это — объсм шара радиусом гг (рт + 2 Е/Е) () Эта плопижть также нормирована на пасло электронов Е, так гто амражснис й(р) = й(р)/Я нчссг смысл функпнн раснрсдслснн» нсроятностн значений нмпульсон отдсльнопт эяск граю. Тспсрь нструлно получить р ю 1,11 яж' н рт = (12)ч'я"/' ю 2,29 я"г'.
1акнм образом. клрактсрпан пели шна иь пульса электрона с расгоч 7 поэрастаст как Е~/'. 3) С учсточ 1) н 2) аан характсрнмх значсннй орбитального ьюмснта элсктронон нчссм пчспгкгпую опснку (5) 41 Воснпхьюааншнсь тсорсчой ннрпъю, согласно которой яля кулононского пюнмолспьэнигг Е:= (1/2. нахолнч мабиню полной ноннзапнн агома ~гз 2/ Ы ь (б) (нонн рал лмчнашсгсх подсганопкои г/Е = пп гн) Эггт~ жс рсзуйьпп слсдуст и пз сгюпюшснпн -Š—. Т - Ерг/2. н ю арсчн как н чолслн Томаса — Фсрмн Е„,.„„, = 0,77ЕН' (болсс «мсокпс тна гсггнс (б) спнтано с нргнсбр жаннам нэянчо:мйсгвнсч элсктрпноа друг с лругоьк носянпмт о~эмкггвпсхьный харакгср, ип поннжасг потную энср~ ню снсгсьгм).
Тснсрь зачсгпьк ч~п и прснсбрсжсьпн этгск~рон-эдск~роннмтг нюньюлсйсгннсч эиср~ггн атома ранна сучмс энсргнн оглсзьнмт элск~роноа с„-.- -Я /2ггг Разчспган нь по шгжннлт урппнг~н с у но по нрнншню Пауян и кратность~ амрожлсння кулононскнх уроннсн, ранноп 2пг (мпокн~сгь 2 — нт-и «ггннн эмкгрпна), нмссч Ег--~ 2пг„=-Ягг„,„„~ 2н =8, (7) глс и„„, — кгакспмалмюс эначсинс глааншо кпаптоного чнсэа урошш, на которнй сшс шшалаюг >лсьгронь~ В сну ас п „Ъ 1, заменяю ап нторой нт стэ~ч н (7) сумчнронаннс Бо;мс пмсокая нблнзн ялрн пяотност ь элсктронон п рассчатршасмой подали отражаст отсутстанс экраннроакн эарпгга ядра, сюианноа с прснсбрсжсннсм вэанмодсйстансч элсктронон лруг с лртэпьь носяпгнм аггаакггишгстгьнмй характср ()бсулнч осноннмс закономсрности, слсяуюшнс нэ рассматрннасмой молслн. 1) Тш ккк плотпосгь п(г) норм пропана па полнос чнсяо ээсктроногг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
