Galitskii-2 (1185112), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1)Л и Их значении »роше»сего получить с»ол~ошью соотношении (!.6) Лл» этого зачетим, что (3) можно рассматривать кек с. з оператора Л' ! й З й Лг!(1ЕЦ ге! Йг т 2гп г! йг Иг 2шгт г Теперь дифференцирование (3) в соответствии с (16) по параметрам Е н ! соответственно, принодит к соотношсиинм (4). В результате получаем О !. Стационарные состояния атомоВ с одним и дымя электронами ЗВ классической функции Гамильтона, см. в связи с этим 1513-15.15. Впрочем, резльно существующие частицы со спннолг з =- О (например, к- н 11-мезоны) облааают сильным взаимодействием, оказывающим более сущестнеггггое влияние нв сдвиги атомных уровней, чем релятивистские поправки, см. 11 4 При учете спин-орбитального взаимодействия ллн электрона топкая структура водородополобпого атома с точечным щцюм согласно уривлепимЛириха имею следу|о пгую характерную особенность [29[. Уровень с данным и, имеющий, согласно нерелятивистской теории, кратность вырожаення 2» (2 — нз-зв спина), при у |ете релятивистских поправок расгиепляетсп г нв л коннонент (как и в случае бесспиновой чвегшль~), каждая из которых отвечает оцредеяенноыу значению 1 полного момента электрона 1 = 1/2, 3/2,..., и — 1/2.
При этом случайное вырожгленив си имзетсн не полностью, тпк кзк ос гвютс» выра косиными урпвни с одинаковым знвчениелт /, нос рвзличнммн значеннпми орбитального момента ! = уж 1/2. Твк, при л -" 2 уровень рвсшеплнется нв лве компоненты, одна нз когорых отвечает 2ртгг-состояниям, а другая — вырожденным 2з,гг- и 2р,гг.состояниям. Прн этом интервал тонкой структуры равен г5,з м 4,5 10 ~й' эВ. дальнейшее сннтне вырождения по! (лпчбоеский сдеиг) возникает при учете так называемых рпдиахионлнк поправок [29), о величине эффекта см. 11.62 1ет.2, Рассмотреть сберхтоплую структуру а-уровней водородоподобного атома, связанную с взаимодействием магнитных моментов электрона н ядра.
Ядро имеет спин 1 и магнитный момент Ра, так что для него /4 = Ра(/1 (и рассматривается как точечная частица). Оценить сверхтонкое расщепление и сравнить его с интервалом тонкой структуры (из предыдущей задачи); магнитный момент ядра порядка сй/трс, тпр — масса протона. В случае атома водорода сравнить полученный реэулыат с экспериментальным значением сверхтонкого расщепления основного уровня ллмнгз — = лзонкз/2лй т 1 420 МГц", магнитный момент протона равен рр — — 1,396 ей/т с. Решение. 1) Согласно классической электролннамике, взаимодействие двук магнитных моментон друг с прутом имеет внд'! У = —,и,РУт(г), см. [27[, где ОУт(г) = юг дг = птт —, = [ [рзтг) тт - рзд)- [рте[ г' г — магнитное поле, создаваемое 2-м моментом в точке нахождения 1-т.
Квантоеомеханическнм обобщением этого взанмоаействил нв случай спнновьш магнитных моментов является оператор взаимодействия У, получаемый заменой классических веяичнн нв соотвсгствуюшие операторы (считаем 1.й момент электроннылг, е > О); рг Р,=- — з, и! Й = — !. т,с 1 При этом эрмнтов оператор У можно записать в виде айги / В д Р = — 1 зь — — -длгэ (1) .с1 ' [,Вщ д*, ' ) .' Рассматривая его как возмущение н учитывая вил с ф. з-состояний невозмущеннот шмнль!е! !ег тон иана ф гег = и .1(г) д'.
гас у — спн новая функция электрона н лдрз, усреан н и оператор У в соответствии с секуляр ным уравнением т' (У 111.5) по коордн натам электрона. При зт ом тг энергия, соотвюювуюшви частоте и = 1 МГи, равна ге и 4 !34 10 " зВ л! Взвнмнак перестановка иетпи не изменяет внлв взвнмодеаетвня ' Твкае усреднение лвеяетек общим гые всей мзтрпчнмх элементов оператора вазнушснп» У межлу рвесмвтрпвземммп «з-ожтовн пкпн атоме Лрн этом то сбстоктельство, что нрп внчнемннн сверхтаи кого реев~сазанья правильные функции нулевого птеечзют определенному значению орбитального нолгентв (1 = о в данной задаче), свезено стем.
чта случайное кулонавекае вырождение вгони ых уровней еничзетс» уже прк учете релятивистских поправок. прнвадвшвх к (более ° грубой ) тонкой структуре атомного спектра, слг прелывушую зздвчу (ыметни, чта рвссмзтрнюемае юзннолействие вззкмопеасгвне р не привалит к перенеюнзвнию г~гг- и р,л-еасюяпиа). т 36 Глава 11. Ялюмы и молекулы имеем (у>„,( )( ( — — — б,л»3/|1- б = Сбм (. ) »л» / (,бщ Врш ' ) ° (пртюрниональпосгь интеграяа те>гюру б,» сонина с тем, что явиду сферической симме- трии о-сосганнин нет никакик лругих тенэорных неннчин) Дян определения значенин С выполним сверн>ку по индексам г и !».
Учитыван. что б„= 3 и д д 1 1 — — — ш бл — = -4>г б(г), д*, дх, чахолим С = (йн/3)) р„(0)( . Так>»м образом, в результате усреднения получаем ,л> г > л й др, „,, „,, Ее Р= — (ф..(») (!6), (ф..(О)1 = —.— (2) Прн этом Р нсе сше нвлясгся оператором, действующим о пространстве спиновых состонний электрона и ядра Очсвилно, что сабстаснныл>и функннями этого оператора наннютсн спн- ноные функпни, »ггне ыюшне определенному значению .7 = / ж 1/2 полного момента атома, а сто с.э.
опрсдслнют геерюианкае рнонен»ение пз-уровня 1 2=2 р —, (3) -(7 в 1), 2 = 7 - -, 2' (т. с, уровень расшеплястсн надва цолуровнн в соответствии с леул>я возл»ожными значениями суммарного момента атал>а, сраннить с 3.27). Величина сосрхтоикого раси>еплсннн / 13 4н(27 л 1)ейре !л г »3Ен>л(по) = Ен>»(Х = /+ -) — Ен>л(2 = 7 — -) = (Р (О)! . (4) 2) ~ 2) 3т,су Сравнение (ллн значений и ! и Е 1) с интервалом тонкой структуры (б) из 11.1 дает б»Енгз/ЬЕ>л гн,/тр 1О >, т.е свсрхтонкос расщепление значительно меньше тонкод структуры. 2) для основного состоннин.
и = 1, атома водорода согласно (4) получаел» »ънн>л(>о) = ЬЕнгл/2нй м 1420 МП», как и экспсРимснтальнос значение, Однако более тщательное сршнмние >юкагынвст, что теоретический результат 1 4>в,б МП» отлнчаетси от эксперимен- тального значении 1 420,4 МГп на ы 0,1 й>. Эго на порндок превосходит нсличину неучтенных релнтннистских поправок ( и « 10 , при вычисленинк следует учест~ отличие приве> ленной массы ер-системы ат т,) Объяснение расхожления свнзаио с наличием у электрона пнпнпнлнпгп л>агни гнога чомента. с учетом которого сга чагнитный момент равен !»о(1+с»/2>г), >вс !»л — — -ей/2т,с, см. (29(.
Сделаем дна зоключитеяьных зал>с >анин. При обоб>венин полученных рсзулыатов на комнанс>пы пжкой структуры с отличным ог нули орбитальным моментам следует, нярнлу с нзаимо.»еястянем спннояых магнитных моментов, учнтынать также нзаимадействис с м»нитным пален наро н орбитальною тока электрона, ) л = 0 прн 1 = О. Долее, магнитное взаимодействие ис юшяетсн сдинстненной причиной соерхтонкого расщеплении уровней. Вклад н него нносиг также и искажение кузононского потенпнола, спи>аннов с налнчнеч у ядра со спинам / Е 1 квалруп»ьшнаго момента.
Однако он менее сущсстнен, чем вклад аг магнитного вгвнмалейстнин, и яля о-состонннй яаобше отсутствует. 11.3. Вычислить в первом порядке теории возмущений сдвиги з-уровней вадародоподобных атомов, обусловленные нвточвчностью ядра. Распределение заряда в ядре считать сфвричвски симметричным.
Оценить значение поправки, рассматривая ядро как равномерно заряженный швр радиуса Е ш 1,2 к 10 >>А'/> см, А ш 2Е, А— массовое число ядра; сравнить с результатами двух предыдущих задач. Насколько существенна нвточвчность ядра для д-мезаатома? Взаимодействие мюона, как н электрона, с ядром имеет чисто электростатический характер.
р 1. Стациокорнь»а состояния атомоВ с одним и дВумя электронами 37 »та»вп' б»Е„, = — Яе~д )Ф„,»(0))» 5 (3) Числовое значение отношении (4) (звссь в»л опенки положено П ш 1,5 10 ИВО» сч). Оно сущестпенно ыеныне аналогичных отношений лче релятивистской поправки, см. !1.1, и сьерктонкого расщеплении, см.
11.2, и при 2 1 составляет - $0» и $0» от значений этих величин соответственно. Интересно оиенить вкяая размера протона, ллл которого срелнеквалратичный зарядовый радиус г, м 0,8 $0 '» см, в неличнну лэмбонскогослвиш уровней 2з»»» и 2р,»» атома волорода, сы. 11 1. Согласно (!) и (2), получаем » »3Е», -- — -'-) — ш 5,2 10 ' эВ = О,!2 МП»! 12 т,а„аь т» Иысстсч е виду члра са сфспччсскч-симметричным распеслслсннсы заркда П$$»»ч састачниа с моментам $ Р О на ышых вассюсннчк ф ы г', так чта сленг ураенч резка уыснЫпастсл с уеелнчсннеч ! 'а» Прч зтоы чспалыаьана уравнение Пуассона злсктрастатнкн. саг»»асча котарачу Ь(бр) -- -4т (р — 2с б(г)). н у пена. чта вклад ела»асма»а с б функпнсл е антсграл $2) раасн нулю '$ этот жс результат намет быть получен нспаспсдс гмина па фарчулс (1), сс»и ч нен ьаспальзааатьсч г.пя'-.»» изссстныы нуэлскцюсмтнкн выражением р = — '» ллч натснпнале ьнутрч рссначсрно»арчжсннага »я шара »юлиуса Я, Решение Обозначим р(г) потея»!»тат, создаваемый ндром.
Вне пдрас» р = Ве(т, а отли- чие потенпиала от кулоновского бр = р — 2г/г в области «дра опредслпст возмущение $» = -ебр(г). При шом спвиги кулонанскик пс-уровней равны »5Е„, = ) Ф(г))Ф! $(»)! Н»' -е(Ф„»$(0)) / бр(г) б~г (!) »а» Здесь положено )Ф»1(гЯ ш /Ф»„,1(0)/, так как в ф. Ф».(г) в области нлра (т.е.
на расстояниях г < 22 м 10»»-10»» см), но которой и проподитса интегрирование, почти не изменнютснт». Значение интеграла (1) зависит от карактера распределения заряде в нпрс. При этом учитывая, что»3г» = 6, интеграл (1) можно преобразовать к виду 'а» бр(г) бу Ш вЂ” / бр»ьг~ ВР = — ~ г'»3(бр(»)) ВР = 6,/ 63 2»г / » 2»г2е = — /'"()П = — (*) 3/ 3 (2) Здесь р(г) — плотность мряда внутри ндра, » 1 (г)шг,= — / г р(г)б)г, 2е Э при этом г, называют среднекаааратичиым зарядовым (протонным) радиусам ядра. Заметим, что величина (г ) определнет также поведение электрического формфактора нара Р(9) при 9 0: 1 Р(9) м 2е(1 — — (г )9 ) 6 (сравнить а атомным формйшктором, см (1. 6139)). Лля равномерного распределения зарнда по шару радиуса В имеем, очевидно, (г') = 322»/5 и согласно формулам (1) н (2) получаем н» Глава 11.
Атомы и молекулы (сдвиг 2р,!з-уровни прн этом в (ав/г,)' 10'л раз меньше!), Так как экспериментальное значение лэнбовского слепла с»ютавлнет лл»з ш 105Б МГн. ~о аклел размера протона в нс»о несуществен и накопи!си на уровне экспериментальной ошибки я измерении Ьш.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
