Galitskii-2 (1185112), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Найти корреляционную функцию плотности (см. 10.20). Решение. Оператор величины «(тип,)п(гю, аю) ил»ест вид й((ю)й((ю) = — ~ ехр($](6ст — 1»,)г, +()юю — аю)гю]) а;„,а,ю„а;,а„„, 1».1 (сравнить с 10,29 и $0.30). Легко сообразить, что получаюшнпся при усрелнеиии матричиыя элемент (уч] йлн,ал„,йл'„юач ю]юро) (2) тле )фо) — указанная в предыпушея задаче в.ф. оснаннаюо состоннив ферми-газа, в случае а, М аю отличен от нули (и равен при этом 1) лишь лля значений а, =- аю, аю = аю, причем )аю,ю! м Д». Учитыыл юо, ллн а, и аю нахолим (фо]п((ю)п((ю)]фо) = — ) $ = —, и =— 1 й' /у а„шю ° (3) (вы юислснне сумм по вью, см в предыдую.юел эалаче).
Так как й(а) = йю/(2о-1 1), то получеп резуяьгаг (3) означает, что гююпт = й, ютз, т.е. в слу юае различных значений проекпин спина а, и аю, между плотностнми частиц в различных точках нет коррелнции. В слУчае а, = аю ситУанив инва. ТепеРь мотРичныд элемеНт (2) отличен от нУлн, и Равен 1 о слсауюыих случанх Н а,=а„)аю)<д,, аюм$ч, ()ц)<а,; 2) аю =$ч )аю) < Дг.
8! = а». )аю(> а», Учитывая это обстолтсльсгво, находим (гю, а)п(г„а) = — ч» $+ ): 2 ечл' „( »К«Ю Ш »1З (4) сравнить с 10.28 и !0.22. а и ол. Осномюе састоннне фермиовм определнетсн числалюн эпполненнн и„, равными 1 длн )а! < аг н 0 юнюк ]Ц > д», тэк чюо.ыя него 5 3. простейшие системы из большого число ()тт» | ) частиц 27 ))елее, воспользовавшись соотношеннеч е' = — С~ е''- ~ с''тфб(г)- — ~ е' ш ! ( |и>ы Мсьг жсьг и вычислив интеграл (в сферических Координатах с полярной осью, напрашенной алоль вектора г): Е "- у !' у (пийгг — йг-созе~ ), (2, )! / 2;гзг! ], г а| с э ьсы привалим выражение (4) к валу (г = г~ ! т з|п |т„г 1 (и ) (, ) = ( )'- — Ь"' Ь"1 ' 4лчгз ( г Отсюла получаем коррелншюнную функцию (Ып Й гг — йгг соз йг г) и(г,а) =— (б) 4 гч й(а) гь Обсудим полученные резуныаты Характер устанвн~ениых корреляций плотностей частиц физически весьма нагляден.
Тождественные частицы с различными значспинми нроскиии спина ведут себл как различимые частицы, и отсутствие корреллций вполне естественно. Знак коррслнционной функции и(г,а) < 0 и случае олииакоиых проекций спина — также естественный результат, отражающий чотталкиштельный» характер обменною нзаимолействин лля фермионов, при этом ллн значений г = (г, — г|( со корреляции исчезает В юключение заметим, что корреллционнаа функции и(г) плотности числа частиц вообще (безотносительно к значениим проекций спина) совпадает с ь (г, а).
30.32. Рассматривая взаимодействие мекду частицами как возмущение, найти в пер- вом порядке теории возмущений энергию основного состояния бозе-газа, содержаще- го Ф частиц со спинам л = 0 в объеме У (взаимодействие частиц друг с другом описы- ваетсп парныы короткодействующим потенциалом отталкивания У(г) 3 О, г = гс — гь), Решение. Оператор взаимолействил между частицами в представлении чисел заполнении, согласно (Х.в), ичест вил й = - ) l ф (г,)ф'( т)У()г, — гт()ф(гт)ф(г ) 4 г, 4'щ 2 .l У (!) Воспользовавшись разложением Ф-оператора по плоским волнам (оно приведено в |0.28), преобразуеы выражение (|) к аиду () тпп>ь, где матричные элементы потенциала взаимодейстиил Уь(ь = —, / / У((г, — гз|) екр(з](а, -а)г, +(а, — а)г]] Иг, егп г В первом порядке теории возму~некий имеем К.=кар! -Вп|=(В.Ф(е,), (3) где (Фь) — а ф основного состояния систел|м иеюаимолействуюшнх частиц, в котором асе частицы имеют импульс р = йй = О.
При этом Еь -- О, а чатричный элелвент |ь! (Фе] оь, а„', опеь, ] Фе) отличен от нуля линль в случае, когда нсе в, = О, и равен дг(йг — !) ю дг (неилу йг» |). Поэтому Ую РУ еь т Вт Вь 2 Глава 1О. Тохгдестденносгпь настои 2В Гак как радиус Н по»сннищю У(г)»цкдполагается, есгсстаепно, нл<еюшим микроскопичсскне размеры, так что Я ь и 'т" », то при вычислении нито»рада У(г г») Д г» Щ У(г т») 4~с» / У(г) 4 г Ш Уе (у) »" -х можно интегрировать по всему пространству и он оказывается не зависящим ст г, В результате получаем Усе = Уе/(г и окончатеяьное выражение лля энергии 1- Д»~ 1 - )У Е„щ — й„— = — ВУ /У, В = —. (4) 2 Р 2 ' 1' Оно имеет простой смысл.
дрелстанлня собой произведение Уе/(г — средней энергии нзаимодсйствия любой пары частиц друге другол! при их равиоверонтном распрелслении по обьсму (ю =- 1/!') на»»б»цее чисяо !У'/2 пар В заключен»»е сдслвеь» следующее таыс»анне. Полученный иа основе теории»юзмушений оо»»отснниалу резулыат (4) предполагает, что ьшнчолсйствие между частицами янлястся лостатоино слабым, так что ныполняется условие "' Уе К й~д/ш. Олнако с помощью тгелии елзн»щгний не длине Лаггглхи» (см. 4 29, 4.31 и ! ! 4) его легко обобн»ить на случай сильного отллкнватс»»ьного' ! потенциала с л»алым радиусом Лействия.
Имея в ниЛу отмеченный и 11.4 способ учета корогколейс»пущего»ютенниаяа н звмечан, что Уе лишь множнтевсм, Уе — — ?не~ее/д (д = т/2 — принеленная масса частил) отличается от ллины рассенння ае в борнонском приближении, можно утаер;кдать. что формула (4) для Ее, выраженная через точную Ляпну рассеяния ас, остается справедливой н в случае сильного короткодейстнуюшсго потенциала, котла ае « (и) '!'! лальнсйшее исследование вопроса — см. [28[, б 25 (для бозе»вэа) и б 6 (ллн ферми-газа).
20.33. То же, что и в предыдущей задаче, для фермигеза частиц со спином в = 1/7. Предполагается, что потенциал парного взаимодействив частиц не зависит от спина и удовлетворяет условию йгЕо « 1, где Ее — радиус потенциала, Ьй — граничный импульс. Решение. Зааача решается ангыогнчно ярелыдушей, Оператор 0 взаимодействии частиц врут с другом опреасляетсн нривеленными в ней формулами (!), (2). в которых следует только снабдить операторы ам, а' спиновым индексом о ш е, (т.с. заменить ам на емм.
и т д, а в суммирование по Н, включить и суммирование по о» н при этом о» = о, и от = о»). При вычислении поправки Ее = (Фа[У!4»е) верного порялка к энергии Е основного !»! »а» сост ояния ферм и-шза н о гсугстнии взаиглолсйс» нин следует учесть значения чисел тепел не- нни нь, н этот» состоннии [йе), равныс )для й < йг и Одлн й > йг. При этом легко заметить, что а суммах по М, при усреднении оператора У (см, формулу (2) нз 1О 32) все ела»аемыс, .ын которых хоти бы олно нз й, больше йг, обра»наются в нуль, так ч»о в ее входят матричные 4»! ь ь элеме»пы ?гчь,' с й, < йы Перейдя к новым переменным г, -ь г» г=г,— г», Й=.—, ? преобразуем рассматриваемый матричный элемент к виду У„,' » = — /» У(г) схр т — (а, — й~ — 1»з Е ц») г»») г /г ехр (1(а, + 1» — й~ — й») К) д д.
ь,м ! / » » ,з» (г» / (2 т учитыеан условие де « 1»'!» лля радиуса потенциала у(г), интегрирование но г можно распространить на»юе пространство (сравнить с предылущей задачей) и ввиду прелпоявгвемого »» Зенегнч. по Ут Утй . где Уе, Л вЂ” хзрахырнев величина н !яанус нотснннелз перно»о » аыинодсяс»нн» чвстяш »и ' именно опвлкиытем ныя юрвктео емнчоденствнз аосснсчнеаст устовчнвссть гззеобре»ноа фазы прн тем»»сра»М» Т = О. 5 3. Простейшие системы из большого число (]!/ лз )) частиц 29 г,, тш Злесь лвойцвя сумма по й1,1 при значениях г, = из равна нулю, так как лля Фермноннмх опе ато ов (2) Р Р + + т г при о, Ф из, первую часть суммы (2), используя ацтикоммугацноинме свойстаа опсратороа а, а ', можно записать в виде '.у л» .» -ЕЕ к 'т ч + т к \ ан,аь,,аь...а„„, = з ~~ п,„,п,„„г, гг оз, з,ь, .з гве пн. — операторы чисел заполнения.
Так как !У[о) = 2, Яь, является оператором числа частиц в спиновом состоянии о. а в осноеион состоянии эти числа имеют определенные значения, рави не лг/2, то усреднение емражениа (3) по состоянию (Фе) дает 2 (/У/2) = дг /2. ! 1 Вторая жс часть суммы в (2) при г, и о, отлична от нули лишь при значениях йг = йт и, как легко заметить, оказывается равной Р/, т е. пренеб1мжимо мшюй (авилу ЛГ > 1) по сравнению с первой частью суммы.
Таким образом, нахолим щ 1-Дг з Е =-Уев ь 4 и и энергию основного состояния Ферми-газа 1 п1 3 /3 гдг~ Олз 1 дгз (5) ь -!В( и / „, Пояиление лополнительного множителя 1/2 а вмраженин вля Ее по сравнению со случаем 1П бозс-гам, см. предыдущую задачу, имеет простое объяснение в рассматриваемом приближении, лгль ш 1, Фсрмионн с одинаковым значением проекции спина нс взаимодействуют друг с прутом в силу принципа Паули, сравнить с 10.31, В юключенис зачетим, что указанное в предыдущей задаче обобщение результата теории возмущений на слу мй сильно~о коршкодействуюшеш потснниааа справедливо и Шгх бмрыи-газа.
(4) '10.34. Идеальный ферми.газ нейтральных частиц со спином з = 1/2, имеющик спиновмй магнитный момент дв (так что Д ш рве], находится во внешнем однородном магнитном поле. Для основного состояния рассматриваемой системы найти: !) числа заполнения одночастичнмх состояний; 2] магнитную восприимчивость газа (для слабого поля]. Взаимодействие магнитных моментов друг с другом пренебрежимо мало. Решение. Энергия частицм с импульсом р и проекцией спина з. на напраилсние магнитного поля равна (ляя з = !/2): 2 с„, = — р -21чз,ифз 2ш неравенства дгяь К ! заменить экспонснциальнмй множитель на спиницу; при этом получаем ьгь, з Уь,ь' = — 4, ° ьььз,мУь, Уь = / У(г) Нг 2 (; г 1 (множитель бннтмгм отвечает сохранению импульса при взаимодействии частиц), и соответственноно из —— (Фе] д ~ бь ш, ьюм акме, гаьзгзбьп ]Фв) (1) г > гь1 Основываясь на явном виде в.
Ф. (Фь), замечаем, что алесь из всех слагаеммх отличим от нуля лишь такис, лли которых либо йз = йм Ьч = йг, либо йт = йм йз = йт, так что [1) можно преобразовать к виду Глава 1О. Тождеслюбенность частом ЗО Обозначим через !Ч* числа частил в основном состоянии фсрыюю-газе, имеююцих соответственно зю = л!/2. Так как в пснонноы состоянии энергии систечы имеет минимальное »лечение, то ему отве ают с:юедуююкнс зна гении чисел ззполнеюпюл. ююн,= ! ллн (р(<рг» и пь,=о длн (р(>рю „ лрн'ы»ю ! ю 1 ю р, ° р Хг= рю- ' Р-ГГ. (1) 2гп '' ' ? Это соотношение, означающее равенстно максимальных зююачеююиют энерюне хюполненююых состонний с е» = Д1/?, обеспечиыет минимальность энергии всей системы н нелом.
Выражан обычным лля Фер»юн-газа образом рг» через /У» Ою г г»п ° наловим согласно (1) уравнение длн определения Дю»: х ююю ЛЮ. — ЛГ = 4юпр» Урю — ю~, ЛЮ ш ЛЮ =/У. юы югю ./ (2) ~бкюйю При жом магнитный момент газа в челом равен //* = я»(/У Дю-) ° Л* = У/г = О. (3) В отсутствие магнитного поля !У» = Дю = Дю/2. Соответственно н случае достаточно слабоюо гюля значеююия Дг» мало отлн'юаются от Лю/2. Записав их х ниле )Ч» = Дю/2 ж п п ныполююин после этого н уранненни (2) разложение по»юалочу парвчетру п/!У (используя (лг/2 к п) и (!ч/2) ю' [1 к еп/Злю)), находим Зр ..ююю ?п — (К -Дю ) — пюр /У,УУ (, 'л'/у/ (4) (услонис и/дю юс 1 как раз и опрслелвет случай слабого поля). Согласно (3) и (4), и случае слабого полн имеем // = Х~тг "' Х» = 3 "юре ю г х ююю (5) (3 гюлю)юю» Р Так как магннтная веглреимчнеегмь Хю > О, то расс магри юе мы й ферми-газ является ларемеглеынкем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
