Galitskii-2 (1185112), страница 5
Текст из файла (страница 5)
7 1) 1 Пг =. — ]р,г+р Е пг и (з -уг)] - — Уьлг., И!, = хр -ур„ (1) 2пг ' г ' (с( ' лиаз ни ~но ~ гчг, кхк т хсосгсх .шк хзисьтгс асею ~июль с кмгюлач и = (гнил- гр)уъгзлчги. пр~вгг счинч ггчггзыснгыг~ к кн.гу Н = Зи(а ' а г 1(21 Гаги рксси.гграаг сн кюти исабзчзнчгг «иск нг зьг тли ансрзюлпь рызгнни и уечажсиих. нрн гсогннстягюнгсч ьибсрс гмнюьзонизн згьгииг пты и хьч ° гииг 19 б 2.
Оснобы формализма Вюпоричного кбонтобания (2) имеем /ты ( ! Фоо = ) ю — ехР т - — (е + У ) 7, Л ( 2юзд юпн (5) Волновые функпии Ф„м = — (а,')м(а;)мфоо т/п,тм,! получаются из Фм аифференпированием. Прн этом вместо л, у удобно ввести переменные ! (= — ( 4 !У), ('= — (с-ду). ~/2 Ь т/2 Д В случае е > 0 находим (б) лля е < 0 с ф получаются комплексным сопряжением (6) 10.25. Энергетический спектр Ея,ою = Лш (ты+ !/2)+Лшд(п + 1/2) двумерного(плоского) осциллятора, ГГ = т(ыдкд+ ыдуд)/2, в случае кратных частот ш, д содержит вырожденные уровни.
Для частных случаев о) ш, = ш» и б) ш, м 2шд связать это свойство спектра с симметрией гамильтониана. Указать явный вид операторов симметрии. Решение. 1) Гамнльтоииан плоского оспиллятора имеет вид Й =. /у,+Й„. где Х/, „— юамильтоннанм линейных освилляторов Колюлюутативююссть //, „друг с другом и с гачнльтониаиом Й позволяет сразу найти спектр последнего Ем„, =Ли,[пю.! — ) ьйыд~яд+ -]д пю д = О, 1,2,... 2ю) [, 2/ где ы = )е)У1/2тс Его, введя обычны» образом операторы уничтожения (и рождении) ° квантов каоебаний вдоль осей е и у: ! 1 аю = (тютю юк ю /р ) ююо = (юныу'! юрг) ч2 Л лю22пюйы можно преобразовать к виду Йю=лы а а,+а'а +!+ю — (аа/-а й,)~ (е! Вместо операторов ап„удобно ввести их линейные кочбинапии (3) 2[, * () "./',/2[, * () Ф также ююьляююдиеси операторами уничтожения (причем нсзанисимыми), так как шюя них [й„йюу] = б,л, (а„ал( = [й;,йю ] = О; 1, Л = 1, 2.
Теперь имеем (ыюю = 2ы): Ею =Лил[а/а, + -/, 1, = — (ад'ад — а,+а,). 2/' * )е) (4) Так как ми операторы выражаются тшюьхо через операторью чисел юкоантов» В, д, то сЫюстююеююные секторы (ни пд) последних являются также собственными векторачи гамильтопиана Ню и оператора 1,. Сютсюда сразу слслует выражение двя спектра уровней Ландау !Л Е, „, = Лын (пю + — ] 2,7 и нх бесконечная кратость вырождения, так как они не зависит пт пд, прн этом 1, = (е/)е!)(пд — п,), сравнить с 7.!. 2) Г!окажем, как можно найти вид с ф. Ф„,„, в координатном представлении.
Сначала получим в.ф. Фоо оеакуумногол состояния. Из решении уравнений а,фоо = 0 и адфоо — — 0 2О Глава 1О Тозкдесгпбеннасгпь частиц и сто с ф в виде произведения осггилггяторных волцояых функции, срваинть с 2,48. Лля нссолззлзсрнмлгх частот уровни сел>ил>гитара — неяырожлснныс 2) В случае кратных частот понплвстсн лополннтсльная симнстри» гвмильтониана", цроянляюгцаясн в сушествовании нгюых онервторгзя, комлгугнруюшцх с Й (и не коммутцруюших с Йп„), и объясняюшпн вырождение уровней При этом операторы симчстрии. дснстпун не собстпсицыс функции гамильтон иана, отвечающие двнночу уранию, преобразуют ик лруг через лрую Херзктср такой спмме грин асобшцю цзгзнзсн п сл>час совпадении частот ы, = ыз (т, е шгя нзотропного осциллшора) н сосгош в инварнантнастн гамильтониана относительно пшюротон системы координат, приволншсй к сохранению качпонснгы момента 1, Учнтняаи сказанное и вил энергетического спектра (1), операторы силглзстрии легко спязагь с оцсразорачи рож,тенин и уничн>жених «кцангон кояебений цволь осей з и у В случае сгх>гцоимнин чсжл> частотами Лы, .= зыз, гтс тг, 3 — целые числа, такие лополцитсльныс операторы симметрии, как легко сообразить, могут быть выбраны я внле т2 = (б;) (В„)', г2.
—.= (8.)'(8„)'. (2) При эгон эрлштонм комбинации таких операторов Ф и О Е, Оз = (42- т) ) (3) яилнкпся оцср.гторалзи сохраняюшихси физических величин — интегралов движении расслзвтриюсчон системы В частности, получас м, = н (казззл й = з = г) ичссм (нырзжсцис лая о, см, нвцричср, н 1О 15): 1 = — Ф вЂ” 12') р*р ч'п ~ ху = шйы(12+ г2 ). (4) Сохранение 1, югя изотронного осннллятора нс треб>ет кончен>ария Поянжнис жс второго интеграла ленжспия я (4) отражает специфическую особенность и>игранного асциллнгорв, нсрсмсиныс в галгильтонивнс которого риздвыюмгл как в декартовых.
так и н полирных координюах: сравнить с 4 4 и 4.5 шсч сферического осциллнтора. 10.26. рассмотреть так называемый суперсиммегпричный осциллятор, характеризу- емый гвмильтонианом Й лд Йв + ЙР = Лы(Ь Ь+ / /): (1) здесь Ь(Ь') и /(/ ) — операюры уничтожения (рождения] Вазона и фермиона, соответственно; Йв = Лы( Ь'Ь+ 1/2) и Йл .= Льз(/ / — 1/2).
Спектр такого гамильтонмана Ен = Лы)л/, (л/ -- и, + и„, а собственные вектоРы — ~пл, и,). ХаРактеРные особенности спектра: Ен > О, уровни с Ен > О двукратно вырождены, основной уровень Еа = Π— невырожденный. Указать вид операторов симметрии гамильтон иана и показать, что гамильтониан может быть выражен через антикоммутатор этих операторов; объяснить свойства спектра. Замечание. Силглзсзрлзя, прояьшпюгзанси в црсобрюоианиях, гмрсполхшик бозоцы и фсрмионы .груз в лругв (и соотвстствуюшян нх раннопраыюм> рассмотрению), гзвзынаезсх гулсрсижмсюрисп Она абэаласт рялоч приллзкатсльиых асобснностси и с исю сиязыеают. а юстности, нъмжлу на создание единой георги элсчситарцы» частиц.
В ленцой н слслуюцгсй за ней задачах рассмогрсны характсрнмс черти супсрснммсгрии н сс проявлении в прютейшнх кнлцтоиочсшцнческих системах. Реигеиие Твк как лпя рассматрпцаслюй системы знергстцческий спектр Ел = Лы(нх т пл) занисггт толька от обшсю числа частиц ЛГ .—. п„ч ил, то, ачс вилка, операторы О=вЬ/, 4'ивЬ/', р " Ози(О)'=О (2) ( — нсшсствсцный ззарамегр, улгбзго ыябрать и = игйыы), звчениюглие фсрмион на Вазон (г2) и, наоборот, базам на фсрмион (12'), комчлтнруют с гачильтонизном и являются онсраторвчи силзлзстрззи рассматрн лгсмоц снстслзы (сравнить с црс тылушеи задачей). лг 'П юллхц кскогт фнзнкс ю лх снччктянх праякмсгсх х тон.
чти траектории п.юскога асниллхташ сглн злхюл нчлнттмнн крняммн г( Я 2. ОсноВы формализма Вюоричного кбангпобания Важное свойство рассматриваемой симметрии состоит в том, по гамильтоииан системы Е сам выражается мрез операторы симметрии и сонпвдас1 с их антикоммутатором, так что" М()') шг212' 44)42=Й, (ОО) =(О',()') =о, (ЙО) =!Й12'] =о. (3) Если вместо операторов 73, й)' внести их эрмитояы ко«1билапии а = 0+с)', 4) =- (()-4)') то соотногнении (3) приннчают более компактный вид: (12чг2 ) =2ьнй, (12.,Й) =о;,й=,е (4) Поянлснис п (3) и (4) маралу с коммутаторами также и антиколглгутатороа, через которые выражается гамильтониан систсыы — характерное свойство супсрсиммезрии. При агом только пэ алгебры операторов (3) (или (4)) следует ряд заключений относительно скектрв шмильтониана (без кочкретизвнии вила операторов 13.
О н Й'). Перечислим их. !) Неотринатсльиостьс з. юынльтониана, т.е. Е > О. Действительно, в любом состоянин средине значения 121'„>«> 0 и О.'Я > 0 (сравнить с Е!5), так что Н > О, а соопютстиенпо и Е>0. 2) Двукратное вырождение уровней с Е и О, Сначала заметим, что эрмитов оператор Й = Й~Ь) коммутирует с шмилшонианом, так что существует полная система функпий Фгз, являющихся собственники функпиями Й и 5 одновременно. Далее, из уравнения 5Флз = 5Фяз. авилу равенства (Су') = О, следует 5(2' Фвз = О.
Отсюла либо с.з. 5 =- О. либо 12" Флз = О; но во втором случае из уравнения ЙФгз = ЕФвз находим, что с з. 5 =- Е Других собственных значений (на состояниях с ланнылг Е) у оператора 5 нет. Сун1ествепно. что при Е ж 0 реализуются оба значения 5, = 0 и 51 = Е, а соотаетствуюнгис им с. ф переходят друг а друга пол действием операторов Йг и 72", что и объясняет лаукратпос вырождение уровня н1 с Е ж' 0 Действительно, пусть Фгл м 0 (при этом 12Фхе = О), тогда ичсеч Фгл х СЗ'Фю и 0 (так как Сг(гг~фле) = ефле ж О); аналогично Фле сг Ьля (при этом ег'Фла = 0) 3) Невырожденность уровни'и Е = 0 (если он иообгпе сушесгпусг!) Из ураененил НФ« = 0 следует. что ОФЬ = О и 13 Ф„= О. так что пол лействием операторов симметрии 4), 12 новою сосгоппин нз Фв уже не возникает.
Спектр и собственные векторы гамизьтониана суперсимметричного оспиллятора наглядно иллюстрируют отмеченные обкгие закономерности. Укажеч сше олпу, гривны~«чую рсю1июнию алгебры операторов (3), связанную с еыбороч Й = )ут и Й' = 7', при этом Й = 1. Спектр шкота «гамильтониаиа состоит из одного «уровня, Е = 3 (при этом Е > О!), июяюшсггю» лвукратио вырожденным с собственными векторами )п„) . где пг .- 0 или 1, уровня с Е = О пет. Более интересные прнчерь1 см в следующей задаче, а также в 7.9. 10.27.
Введем операторы ф=А /, О =А~', Йю4(2'+Й (2, гдв 7, /'" обладают свойствами фермионнык операторов уничтожения и рождения, а А, А' — некоторые коммутирующие с ними операторы. Убедиться, что рассматриваемая систеыап' обладает суперсимметривй (см. пре- дыдущую задачу). 1напомнич' (ь ь') = 1, (7,/ ) = 1, / =(/ ) = в. мз «1 Прн этом еырожлеиные состояния называют гглгрлермхеречв Под ~еркнеч, по речь илст с вырохп1еиип трсеисв. свхмниоч именно с сувсрсичметричнсстью гамильгонивне 0 еозчожиом .дополнительном еыложасччя см, например.
в 7 9 " Если состояния с Е = О нс суаг«сгвуег, го говорит о гленна ха« лару«гели гзлггклнлгмрек. ~1) При агом Й вЂ” с«гачилыонпе». е пространство вскюрсв состояния сиысиы спреаеляется мч пространством, ие когосоч опвсзел«ны операторы Л, Г, а тсч саныч и Г), 0', Й Глава 10.
Гождеопбенностэ чостцц Показать, что при подходящем выборе «координатных э операторов А, А л и спино- вых /, /' рассматриваемый суперсимметричный гамильтониан карактеризуег одномер- ное двнгкение частицы со спинам э = 1/2, Каковы при этом следствия суперсимметрии? Решение 1) Легко убелитьсн, что н услоэинх заэачи [(2, (2 ] = й, [д, й] =;4', //! =- о, (2 = [(2') ! = е, как эзо и требуетсп лги су!крсилшетрнчной системы. Прн этол!, записан А = А, + гдг, нк А, ! — эрчцгоэы операторы. преобразуем цлмнльтониан систсчы к аиду Й .— А, — Аз — 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
