Galitskii-2 (1185112), страница 6
Текст из файла (страница 6)
на основе суцерсцчметрнчности гэмилыонианэ (2) следу«! яыгюл о соишыенни лискрстньм спектра« уранией'Ч Е», за нсключениеч, быть может, аппо!о ура«ни Е! — О. котарын чожет сушестьоиать только а одном из этих полей Такое заключение оснаээца иа точ, ко функции Фг, соапалают с иаеленнычи я прелыду!цей зацаче ф>нкциячи Фгз, црнчсм. как легко заметить, б —.: (! Л о)Е/2. Учитывал отмеченную ранее ааязь с,ф Флл длн рэмнчных значений Я, ил»алим соотцошения гшя с.ф Фл(э) из (3) (лля состояний с Е, — Ь' ).
е*,(*> [ — р+ и'(*>)Ф*( ) ( /2пл (5) н! тлк кзк Ел - О. та су!цест»а»анне с!кто»ннй лискретиога спектр» нрсмю»эгэсг, чта пределы (Гл(Г> — С» > О НРН .à — .Л.» (МК Па»РН ЭЮН !Нц И'(э) Н П) ЬСЛИ И'!»! — ЧСГНЭ» ФУНЛКНЧ. Ю яатенцч»»гл о,!») иолу !»»гкл лэзг цз круг» кркшыгн» ашэлмннсн и со«пшенке сискшаэ, ь', = е . ачсмыно, нрч н ч >тле»ил Ьэ — 0 нс суикстэ!»т Ф 3 Простейшие сисглемы из большого числа ()»г Ъ 1) частиц 23 2) Отмеченное шщ уравнений (3) совпадение уровней, Е, = Е, позволяет в риде случаев найти спектр чиста алгебраическим сг1<кобом, аооб~гге не прибегая к решению уравнения Шредингера Так, рассмотрим гкцишглтор с У = гпызхг/2 н обозначим сто спектр как Е„ Выберем теперь суперпотенциал 2 т И'=у — г, п1»пэтом У»=-шыл т-ды, У 2 2 (6) а соответствующие спектры Е» = Е„жйы/2 Различие их означает, что в одном иэ них (очевидно среди Е' ) реализуется значение Е» =- О.
а совпадение остельнык уровней означает, что Е„', = Е„. Отсюда следует Е» = Лы/2 и Е„„= Б'„-1-Лы, что сразу аоспроизиолит спектр линейного осциллятора е„= лм(я+1/2) читателю предлагается аналогичным образом найти спектр а поле У = -У» сь г(з/а), выбрав суперпотенцнал И' гк й (г/а), и сравнить с резульщточ решения уравнения Шредишера, см. (1, 5 23) 3) Обсудим вопрос о возможности существования связанного сосганния с энергией Е» = О, гьтя него иэ уравнения ЙФ» = 0 следует, что 4)Е» = О, О»Е» = О (сравнить с предыдущей задачей), отсюла в приложении к гамильтон нану (2) полу гаем ( ) — Л 1)У(к)/1 Е»(з) = О, тг» .= Еч ехр 1 ж — /1 И" бя). а Имен в виду, что Иг(жоо) и 0 (см. цолстрочное примечание), замечаем, что одна из функ- ций Уг» заведомо возрастает на больших расстояниях и для нее след>ет выбрать Е = О (и согласии с общим результатом о невырождениости уровня с Е = 0).
Дггя другой из них возможность выполнения граничнмх условий у»(йоо) = О, а тем самим и сущеспюаания состояния Ф», определяется только лигиь различиеи знака (') супсрпотснциала при г Лсо. Если И'(+со) > О, а )У(-оо) < О, то состояние с Е» = 0 существует н рсализуетен при значении е = +1; при изменении знаков 7У(л ю) ему отвечает уже о = — 1 если же знаки супернотенциала при з жсо олннаковые, го сосюяпия с Е» —— О не существует. Так, лля Иг(я) = И'» — — соп»1 а уравнениях (3) имеем У» = И'„г = сопя и отсутствие состоянии с Е» = 0 очевидно. В случае И'(л) = Игеа/1д( уже У (я) = Ие таз(я), о= »СЛтУ» и существование состояггия с Е» = О очевидным образом связано с наличием единственного дискретного уровня в б-яме, см.
2.7. В заключение рекомендуем читатеяю вопрос о связи энергетическнк спектров частицы а потенциалах У»(*) (4) обсудить в каазиклассическом приближении на основе правила кяацтоплнил Бора — зоммерфельла (цри этом шапщмые тлиг'/»/2щ ж 7» к потенциалах рассматривать «ак возмущение). В 3. Простейшие системы из большого числа (зэ/ » )) частиц 10.28. В основном состоянии бозе-газа нз Р/ навзаимодвйствуюших частиц со олином з = О, находящегося в объеме 1', найти среднюю плотность числа частиц, среднее число частиц в некотором объеме в и фпуктуацию этого числа частиц. Задачу предлагается решить усреднением соответствующих оператороа в представлении чисел заполнения.
Решение. Выразив н операторе плотности числа частиц В(г) - Ф ' (г)Е(г) (см 1О 22) Ф(г)-операторы через операторы уничтожения а„и рожцения а„' частицы с данным ямпульсочр =. Лй (при этом е(г):= 2(1/т»У)енгб»), находим ц,-гн -— У Глава ГО Гозсдесгпбанносгль частом 24 и равно М(е) = Ме/У Длтн расчете флуктуации числа частиц усрслнич сначала оператор Мт(е) по состоипню (Ф,). тэ Уз / / к' ехр (1((ат Ь~)г ь ()ч - Ь~)г') ) а ' а„а ' а пзг гтзг' ь,ь ьзь нг го~я нычнслсння Мз(е) нрежас всего нвален значении чагричных элемснтон (Фе ) а„' аь,аь, аь, ) Фь). Исппльзун нил )Фе), ючечвеч, что анн отличны от нули ли1пь чри выполнении условий Ь) = Ьз = О.
Ьз = Ьз н равны М ллн Ьз 1гз = 0 н М вЂ” лля Ьз = Хз и И р О. С учетам этмп полу 1аем Мз(е) = — / ~(~уз + М ~ 'сна Ю~ азггтзг' «ке (2) Вннлу полноты систсны функция Ф, .= е ь /чту. сучма злесь равна 1 д(г-г )-1 и элементарное интегрирование лает — г'Ме'т т М» Мвз Мз(в) = Саот нетстнеп но т — — т Ме/ (дМ(е)) 4М(,)-М(.) = — (1--~, (4) при е = у имеем (сзм(у)) = 0 оченилныя резулюат. юк квк полное число частно н системе раино М и не фяуктуирует. В случае е ~ У, согласно (4), иьзеем (ДМ(~))'- -'"- = М( ) Отметим, что ляя системы из М иснзаимолейстнующих классических честна.
нахоэнгигтхсн и пбьсче У, раскрелелеиие по числу частик М, в объеме ь имеет нил И(М,)=,~,( — ") ()- — ") (динсннинкае ригиргде. елее). Вычисление ллк такого распрсеслснин срсзгнгтх значении М„. Мз, (йМ,)1 прина,пзг к резуаьтвтач, сонналаюп1иьг с получсннычп пылка (сьг по ному повалу юмечаннс. сэсланисе в слслуюаей эалгчс) 10.29. В условиях предыдущей задачи рассмотреть пространственную корреляцию флуктуаций плотности числа частиц. Для однородной системы она характеризуется корреляционной фуннцнеб н(г) (г = г, — гз), равной Пгнт — П м(т) = — —, пг з = п(г, з), тг где н — средняя плотность числа частиц.
Сравнить с соответствующим результатом для системы из классических частиц. Срслннв плотность числа частиц И(г) получаетсн усрслнсннем оператора (1) по основнолгу сосюннию базе газа ~Фь) = 'Мз е Оьго) (нес частном инсюг импульс р = О). Тек «вк ори этом Ф /М, «,=Ь,=о, (0 в остальных с ~учанх толли И имеем естес~ленный результат И = М/1' Среднее число частик н сбъелю е паяучается усрслненисм операторе /т(е) = (И(г) гт'ю Ф 3.
Простейшие системы из большого число (2!У » 1) частиц 2$ (2) бэг, бэгя 2Ч,, 26(26 - 1) п(г',)п(гэ) = /.. ! ~ б(г', — г )б(гз — гь) — = — б(г( — г!) +, (2) у 1,' г что совпадает с (1) (заметим, что слагаемое с б-функцией в (3) отвечает членам суммы с а = 6, их число 1ч! второе слагаемое — от членов с а те 6, их число дг(гч — 1) ). Конечно, для макроскопичсских систем значение 2Ч огромно, так что последнее слагае- мое в (1) пренебрежимо мало и соответственно в (2) имеем и = О (корреляция отсутствует).
С другой стороны, для конечных значений Дг уже и 4 О. При этом характерные свойства и: независимость ог г и ее знак и < О имеют простое объяснение пля классических частиц. Деяствитспьно, значение п,пэ меиыле чем Е но тод причине, что одна н та же частица не может вносить вклаа а плотность числа частиц одновременно в различных точках про- странства, неювисимо от расстояния между ними (а случае ЛГ » 1 плотность в раэньм точках пространства определяется в основном вклаюм различных часгиц). Характеристики бозе-газа е основном состоянии, рассмотренные в ланной и прелы- дущей задачах, окаэааись тэжими же, как !~ля гам классических частик.
Зто нс случайно. Действительно, волновая функция основного состояния имеет вип 1 Фь = Фе(г~)рэ(г!)" Фь(гя) Рь(г) = ~, /у' т, е представляет собой произвеление в ф стлельных частиц, как и в случае различимых частиц. Соответственно частицы не интерферируют друг с другом, и для каждой иэ них (Фе(т = 1/У, что соответствует равновероятному распрелелению их по объему.
10.30. В основном состоянии идеального ферми-газа из )У частиц в объеме У найти среднюю плотность числа частиц и среднее число частиц в некотором объеме а. Задачу предлагается решить усреднением соответствующих операторов в представлении чисел заполнения. Решение. Оператор плотности числа частиц Я(г) имеет вид Й(г) = ~ Й(г,а) = — ~~ е ' ' 'а„„аьи, у ь,ьг 'Г! Слагымсс г г.функкисп, сбрвшаюагссся в нуль при г и О, носит уичверсаяьнмв «арэктср н аэсаюе яс зависит от мида функции расареаеэеиих. Решение Так квк операторы плотности числа частиц в раюичных точках пространства коммутируютпруг с прутом, то оператор вепичинм п,пг иисст вид 1 Й и! = Ф (гр)Ф(гг)Ф (г!)Ф(г!)- г ~' ехр(г!(Ъ! Уч)г~.~. (1ц -кэ)гэ))аъаьга„,аь, «,ьнцг. и его среднее значение и основном состоянии бозе-газа п,п! = — ! 1У + 1ч ~ е' " ч ! = — б(г, — гг) + — — —, = ут~ Ег ) у ' у! уэ' (1) ьяе сравнить с выеолом формул (2) и (3) в прелылущей задаче.
Таким образом и!, ! М вЂ” (й~пг — Й ) = б(г) —— и корреляционная функция оказмвается равной Й 3 лг Чтобы лучше понять полученные результаты, найлем аналогичные (1), (2) характе- рисгики лля случаи невэанмопейсгауюгцих классических частиц. Учитывая, что прн этом распределение вероятностел значений координат частиц системы описывается произведени- ем вероятностей бэг,/У и «(г) = т б(г — г,), легко находим Глава 1О. Толсдеслтбеннослть чосглиц 26 )фо) = Пал' (0), (2) гпс произведение п ключ аст операторы а„", с к за итоны люк числами ($иг) заполненных состои пня.
При оголю нлюпуэьа Ферми, р» = Па», находнюсн из услонии Г $4'а (2з-Ю 1)раюю. ~' ~' 1= (го+1) /1 — = ' = )у, / (2:г)ю бкю юсю» (3) т е. Фюя него юд ~(2з+1)4 Замечен, что матричный элемент (фо]йл»„йлм]фо) отличен от нуля (и равен при этом 1) лишь лэн а, = 1»ю ш 1», причелю )а( < д», по формулам (1) и (2) полу гаем й= (Ф.]й(г)]фо)=— лю (ч ю и следовало ожидать), накопеп, й(а) = п/(2з ю- 1), а Л/(е) = йв = Яюе/У. 10.3'ю. В условиях предыдущей задачи рассмотре~ь корреляцию плотностей числа частиц с определенными значениями проекции спина на ось д в различных точках пространства: найти п(г„зы)и(гт, з,т) и сравнить с произведением п(гю, з,ю) п(гэ, з,э). Рассмотреть случаи различных и одинаковых значений з„и зю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
