Galitskii-2 (1185112), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ф, от времени не зависит. Оно также слелует из установленного выше разложенип !а) = 2„с.)п), если учесть, что для осниллятора ) г' 15 (и,!) = ехР ( — — Ь'„1) !и), Ьл =Дш(» ! — 1, и воспользоваться соотношением (2) для коэффициентов разложения 10.10. является ли переход от операторов а, ал к новым операторам а' = а+ а, агь = а+ + а' (а — комплексное число) унитарным преобразованием? Каков при этом вид унитарного оператора? Рассмотреть случаи как фермионных, так и бозонных операторов а, ал. Провести анализ состояний вакуума еновыхэ частиц (О') в базисе состояний ';и) исходных частиц и найти распределение по числу последних. Решение Для фермионнмх операторов (й')' = 2аа+ а! и 0 (при а и' 0) и рассматриваемое преобразование не является унитарным. Для бозонных же операторов по-прежнему (а',а") = 1 и преобразование является унитарным. Имея в зилу результат 6.19, легко найти явный иил унитарного оператора 0 = схр (а'а — а а'), (1) осудюсталяюшего такое преобразование, при этом а' = Оа 0'.
Далее, с почошью формулы нз условии шаачн 1.10 оператор (1) можно записать и анде О=с !гге" е после чего легко над~и состонние нового вакуума е исходном базисе (2) если воспользоваться разложением экспонент с операторалги гг и о ' Другой способ определения составляя !!У) непосредственно нз уравнении й(0') = О сл!. е преаыдушей заааче; при этом распределен гю по числу исходи ьа частик е соснгягг ни /О ), слслуюшее из (2), совпадает.
естественно, с вьгражеинем (4) (распределением Пуассона) указанной залечи. 10.17. То же, что и предыдущей задаче, для преобразования вида а' = па+ Да а" = ад++ Да (а, Д вЂ” вещественные числа). Решение Для фермионных онерагороарассматринаемое преобразование является унгпариым при выполнении условна (а) =(аа ьзуй") =а!3=0, (а,а ), =а !.,9!=1, что соапааает с в ф когерентного состояния, рассмотренной в 621, если полохиггь (сравшп ь вмражсние зля с.
з. с вилам оператора (5)) 1 а = (шмхл +!рл) ч а%и Далее замечаем, что изменение во вреыени когерентного состояния лля осциллятора происходит таким образом, что его в. ф, в произвольный момент времени ! остается с.ф. оператора а, нос.з. а(!) зависит от 1, причем (6 Глава 1О Голсдестбенность востри е эолько и тривишэьноч случае и =: ж1, )У = О, а также в слу эхе и = О, )У = ж1, соцпзсзснэуюшен переходу от частиц к Лнрхим, см.
Гф(4. для бозониых опсратороа преобразование ям~истая унитарным лрп выпол~ ~си ни условия пз — бэ = 1 Прн этом, записав (О') = д'. г„(п) и поступая, как и при решении задачи 10 15, ээз уравнения о (О') -- 0 можно найти н г„= О.шн нече пзыз значений и. Из условия нормировки (О 10 ) = 1 получаелз /се(Э = !'о! распрслслсние цо числу исходных часпн н состоянии нового ззакууча есть н„= (с„! . 10.18. Произвольное одночастичное состояние (1) можно представить в виде 11) = СТ и' !О), где и ' является оператором рождения частицы в состоянии Фу (Т,— 3 совокупность квантовых чисел полного набора). Какой квантовомеханический смысл имеют коэффициенты Сд? рассмотреть, в частности, одночастичное сосюяние бесспиновой частицьэ вида ! Ц = 1 ю(г) Ф ' (г) д У ! О).
Нормировать его на единицу н вычислить среднее значение физической величины Т с помощью вторично квантованного оператора (Х.З]. Решение Рассматриваемое соотношение между векторами состояний )П = ~ сг.йг )0) эквивалентно разложеиеоь' Ф = 2; СГФг аояноиой функции Ф произвольного плночастичl ного состояния по полной системе собстисггных функция Фг.
Поэтому Сг является в.ф рассмагрнпаемого сос~ояггия в Т-представлении Тзк как оператор Ф'(г) «рождает» частицу а точке г, то р(г) (см. услопие) ям ястса и. ф (обы пюй Ф-функцией) состонния частицы и координатном прслстахлснии (2 м г). Естесзвсццп, 'по льшислснне среднего значения любек ангитньной физической яслнчины. оператор козорои в прслстаелснии чисел заполнения определяется выражением (Х.З). и рззссьззэ~ривасмгэьз спспжнин црнеолиз к обычной к~ангоночелаээггчсской бюрмуле (1.5) лл» срснних значении а условие нормнрохки (111) = 1 принимаю вил ] )зг! 0У = 1 цитателю ггреалаэае~сзз самос юнзельно цолгпсрлиз ь эти соотнонмн их.
воспогэьювавцзись общими саойстнанн операторое рпжаеции и увзч ~оженил, сравнить с речением зааачи 1О 23. 10.19. Операторы ау, ад и аг'„а, являются операторами рождения и уничтожения частицы в состояниях, определяемых квантовыми числами Ть и Тд двух различных полных наборов.
Указать соотношения между этими операторами. Решение Операторы свнзаны лннсйиычи соотноэпспияни пг' -- ~ С(/„у,)вг'„йг, = 2 С (б,дэ]аг,. но П и мисс.юкамэгэмп эююсенэнчшсниь соспжг ч преектирешнин «скпэрое состоанна и (ц ча ышьпн 10, «Рч»з э ОП1) = Е((1. ((1л,'101= Фу((1 $ 2. Осноды формоллзмо Вторпчного кбонтобоноя !7 /(ггя опревеленин С(/„дс) подействуем (1) на вакуумное состояние. е;,)О) = 2; С(/„дс)йг', (О). с Это равенство зквииалентно соотношению между собственными функпнями Фл = 2шС(/ндс)Ф„, с сравнить с предыдущей залачей. Отсюда следует, что С( „д,) м 1 Ф;,ФГ так что С(/„дс) является с. ф.
Фг, н д-представлении (2) 10,20. Двухчастичное состояние системы тождественных бозонов (или фермионов) описывается вектором состояния )2) = а/ а~ь (О). Нормировать его на единицу. Указать д вид нормированных волновых функций в координатном представлении. Рассмотреть случай как одинаковых, так и различных квантовых чисел /г г. Решение если /, и' /г, то лектор состояния (2) = агсаг'10) гсормиромгг на елииицу; действительно: (2(2) = (0(ага, а,' а,'(0) = (0)аг(1 ж а; аг)аз+ )О) = †. (0(1 ж аг аз ж йгаг'(жаг"а,)(0) = (0)0) = 1 (знаки + и — соответствуют бозонам и фермионам). В случае /, = /г = / нормированное двухбозон нос состояние ичеет вид г 12) = — (аг) (0), /2 а аналогичного Лвукфермион ног о соси>яггин не существует. Волновые функции рассматриваемых лвухчастичных состояниЯ в координатном ггрелставлении имеют внд 1 Ф(6 (г) = — (Фг((г)рг(бг) + Фг(6)тггг((г)), /г г- /н г2 Ф(6 (г) = Фг(6701(6) /, =-/,м/ 10.22.
Для системы, состоящей из одинаковых частиц, найти в представлении чисел заполнения вид оператора плотности числа частиц й(г) (в точке г пространства) и числа частиц /У(е) в некотором объеме е. Решение Плотности числа частик, с данным значением с, проеккни спина, в 'гочке г пространства сопоставляетсв оператор й(г, е,) — 2 б(г - г,) б„ьб,*, (1) (сравнить с 10 11, оператор записан в коорлинатном представлении длн орбнтатьных переменных и и ес- резстаелснии — ллн спнновьгх) Он нвляется суччой оаночвстичных операторов 10.21. То же, что и в предыдущей задаче, для трехчастичного состояния )3) = а/ а,а/,)0), Решение.
В случае различных значений всех трех квантовых чисел /, для указанного век гора состояний ичеем (3)3) = 1 (как ллн богомол, так и лля ферлсионое) При зточ в.ф. систелси в координатном представлении описьнгаются формулой (3) из 10 3. Если все три /, — олинаковые, толли сокранения нормировки следует янести множитель 1/чг31 = 1/чгб; а ф соответствующего трсхбозонного состояния Ф = Ф ((г)рг((г)рг((г) Если же совпадают лигнь лва значения кщнтпвых чисел /„то норчировочнмй коэффнцнещ в векторе состояний слелует взять рваным 1/т'2, в соответствуюныя в.ф описынастся фодмтлой (1) из 10.3 Глава 10. Толсдестденность чостиц !8 (плотносз ь чхсз ни — азпнтивная нсличнг в), гак что его виа в лрслстаьлсннн чисел заполнения опрслслхсгсл форчулой (Х 3), согласно которой оолучасч й(г, з,) = Ф'(г, з, 1Ф(г, з.), Я(г) = 2 й(г.
з.), (2) злесь й(г) — оператор плотности часгин уже безотносительно к значению нх проскнии спина Оггсркторги 1У(ь, з,.) и ЛГ(ь) иолу гаютя из б иитегрнроваиггсн по соотпсгстьуююсчу объему щ ь ськзи с аанной ззлачси сн. закис 10 28-31. 10.23.
Доказать коммутационные соотношения [Р,Ф(б)] =зй-- Ф(О, (Р, Ф (О] =И-- Ф'(О, где Р, Ф(Π— операторы импульса и поля (Ф-операгоры) в представлении чисел заполнения для системы тождественных бозонов илн фермионов. Решение Опсрагор Р импульса (аллнтнаной физической величины) снсгслгы тожасствсннмх часзни, стласио форлгулс (Х.З), имеет ннл Р = -га ] Ф' ((') — Ф((') Ю('. дг' Используя комнугационныс соотногпснии ллн бозонных Ф-операторов ]Ф(О, Ф((')] = (Ф'(О, Ф'((')] = б: ]Ф(О, Ф'(('1] = З(б-('1, легко нахолилг ]Р Ф(О] = РФ(О Ф(ОР'= = -гл / 0'((') — 0((') д('0(О ь гйф(О 1 Ф'К') — 0((') д(' ш др ,1 дг' = — й |(Ф ((')Ф(О - Ф(ОФ'((')] — 0((') д(' ш дг' д -,, д = л / д(( — (') — Ф(г') д(' = т — Ф(О.
(1) дд ' дг Аналогично получаем !Р, Ф'(О] = -т / Ф'((') — а(( — (! й( = гь — Ф'(О. дгг дг (2) 1гнсрь нь~ругггго мчсгнть, что замснз кохгьгузапнонных соотношений ллл боюнных Ф.онсрагорох ча агпггкочиуганггонныс ллн фсрмнонных нс измспксг лшгучсниьм рсгузынти 10.24. Исследовать стационарные состояния (энергетический спектр и волновыефункцин) поперечного движения заряженной бесспиновой частицы в однородном магнитном поле, введя соогветсгвующим образом выбранные операторы рождения и уничтожения". Воспользоваться выражением А = ]Ррг]/2 для векторного погенциала. Решение 11 Ганн ~ътггцнагг почсрсчногп лапжсини часзины н чыннгпом гюле ииссг кил (сьг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
