Galitskii-2 (1185112), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Показать, что если н тождественных частиц со олином з находится в различных орбитальных состояниях 2рг(г),422(г),..., Фь(г) (при этом (угг(!Яь) = бгь), то общее число независимых состояний системы с учетом спиновых степеней свободы равно С = (2в+ 1)" независимо от того, какой статистике подчиняются частицы. Каково число состояний в случае различимых частиц? $ 1. Симметрия Воянобшкв функций Решение С учетом спина е ф.
рассматриваеммх одночастичных состояний имеют вид р ., = р (г)Х ., ('г) ~де Х„ — спицоаая функция (инлекс ь у зк, подчеркивает, что ллх разньш орбитальнмх состояний з, имеет свое, равное з, „ значение). Задание набора значений зьи однозначно определяет и разлнчнык одночаст~чных состояний и единственное состояние системы из и одинаковых частиц в целом, волновая функция которого получается симметризацией (или антисимметрнзацней) произволения функций (1), см слелующую зааачу Любое изнсиснис набора значений зч, приводит к новому набору одночастнчных состояний (1), а соотвстствснно и к новому сосгоинию системы в целом (нри этом суьцественно, что асс аф. р, — раззнчныеь).
Так как каждое зь, принимает (2зе 1) значений, то общее число различных наборов одночастнчных состояний (1), с а ним и числом независимых состояний системы раино (2з+ 1)". Для систеььы различимых частиц важен способ их размещения по различньмь олночастичным состоиниям. Число различньш орбитальных состояний при этом равно пц а общее число состонний системы с учетом спиноиых степеней сппболы составляет (2з+ 1)'и' (нрн этом симметриэацип (или антисимметризация) волновой функции не производится) 10.3.
Пусть Фд(Е) являются нормированными иа единицу волновыми функциями одночастичных состояний (г, — совокупность квантовмх состояний чисел полного набора). Написать нормированные волновые функции состояний системы из трех тождественных: о) бизонов и б) фврмионов, находящихся в состояниям с квантовыми числами г!, )г гз. Решение. Дпя бозонов виа волновой функции системы зависит от того, совпадают нли нет занятые одночастичнме состояния. При этом следует различать три случая. 1) Все частном — и одинаковом сосгоянии, Д = Д = Д = г. Нормироааннаа на единицу в, ф, системы Ф = Фг(1)рг(2)рг(3) (алесь и ниже вместо переменных частицы указываем лиц~ь ее номер, так р(1) ш р(гни,) и т.д).
2) Два из трех занятых состояний соепалают. Теперь Ф = —;(Ф~(1)Рг(2)рг(3) .1- Фг(1)Р~(2)рг(3) + Фг(1)рг(2)ри(3)) 1 lз (лля определенности положено Д м уг = уг и для краткости записи указан индекс а вместо Д). Вид выражения в фигурных скобках определяется из условия симметричности и. ф по отношению к псрестаноикс переменных ( любых двух частиц. коэффициент 11'/3 выбран из условии нормировки а ф. Ф на гдипицу. (Ф! И6 ьг(г Е(ь = ! / Р.(()рь(() Е( = б.ь (2) (интегрирование по ( включает и суммирование по спинОвой переменной); при «ычислении нормировочного интеграла из левити сгьа~аеььых в )Фг! отличный от нули вклад дают лнпьь три из-за указанной е (2) ортогональности волновых функций олночастичных состояний. 3) Если псе три занятна состояния различим, то 1 Ф = —,(ьл,(1)рг(2)рь(3) + Рг(1)рь(2)рь(3) Ч- Фь(1)рь(2)рг(3) ф ьгб фр~(1)Рь(2)рг(3) = Фг(1)йг(2)Ф~(3) д Фг(!)уч(2)Рь(3)) (3) при этом лля систсььм бозонов следует выбрать верхние знаки.
В случае ферььнонов все трн занитые состоянии должны быль различи ымн и антисимььетричнал волновая функция системы опрсдслаетси выражением (3) с выбором в нем нижних знаков. Глава 10. ТождестВенность чостиц 1О 10.4. Три тождественных бозона со спином з = 1 находятся в одинаковых орбитальных состояниях, описываемых волновой функцией р(г). Написать нормированные спиновые функции возможных состояний системы. Каково число таких независимых состояний? Каковы возможные значения суммарного спина частицы? Решение Тэк квк координатная часть волновой функции системы, имеющая эид р(г,)р(гт) х р(гл), снллметричма, то снннояал часть э.
ф щкже должна быть симметричной опкжительио вюнмной перестановки частиц. Несимметриэозанные в спинах функции ииеют вид Хл,. (о~)Хь (от)Х ° (от) гтю хь(о) — спиноваэ фУнкпнх отдельной часмщы с опРеделснным значением посекции спина э, Их число раино 3 х 3 х 3 = 27, однако условие силгметричности суцлественно уменьлмпсг число независимых состояний Такмс состояния отвечают раэлнчнылл наборам (э, „) эпачсмнй э, отдельных частиц (не сводтцнмся к взвиимюй перестановке з..!), а соответствующие спнновыс функции системы получаютсп в рсзуяьтатс снчмстриэвцин одночэстичных спиномьж функмий, сравнить с прелытлуплелт задачей.
'Илк, например, юю набора значений эь, = э, т = э. т = 1, имеем Ри, =Х,(1);1,(2)Х,(3) = ~0) ~ О/ ~О~ Ь), ~./, Ы' э лля набора эьл = э, = 1, это =-0 1 Юлю = (Х~(1)Х~(2)Хэ(3)+Хл(1)Хэ(2)Х~(3)+Хэ(1)Х~(2)Хл(3)) = лг3 — — 0 0 1 + 0 1 О + 1 О 0 . (2) дымищем также лругне наборы значений (этл э. „э.,), приводящие к нояылг независимым состояниям системы: (1, 1, -1), (1, 0 0), (1, О, — 1), (1, — 1, — 1), (О 0 О), (О О, — 1), (О, — 1, — 1), (-1, — 1, — 1) Кэк вилно, общее число неээзисиыых спнионых состолний системы равно 1О. Из этих 1О состолнип 7 соотвегсгэуюг значению 5 .= 3 суммарного спина системы, э 3 — значению 5 ш 1.
Действительно, очевмлно, что спиновая функция (1) отвечает 5 = 3 Также 5 = 3 отвечает м функция (2), как единственное состояние с 5. = 2 Значение 5, = 1 ил~еюттм сосгояння (1, 1, — 1) и (1, 0 0). Сумлсстяонэнне о>лиого нз мил сзяэано с сумлгарным спинолл 5'ш 3, а пру~ого — с 5 = 1 10.5. Какие ограничения на квантовые числа (спим 7л и внутреннюю четность Рл) нейтральной частицы Аэ следуют иэ факта существования распадов этой частицы на два пэ-меэона: Аэ 2хэ (для пиона,?гл = 0 '), сравнить с 5.30. Решение Июнмяй чомент двух пиоцоэ в мх системе и и (она же — снстечв покоя часлицы Ач) совнэласг с орбитэльным моментом Ь их огностезыюго двпжсннэ и э силу сохранения момента рэмси спину чэс~лллгьл А", тэк ~ло ул = Ь.
Но иэ услоним снммелричносил в. ф лэух м"-л~сэомгля следует, гто Ь может нрииимагь лишь 'ютныс эна ~синги и ноэтоллу 7л --- 0,2,4 (гюнстмпихм но, перестановка мноноэ эквивалентна отражению коорлннэт в их системс н. и, гэк квк г -' г, - гт, и лгпи~юлит к умножению в ф. иа (-1)*) Прм этом четнссть лвухпномипн смстслнэ — иоложтелыю н сслм онэ сохраняется е рвспэлс, то Р, = 1-1 10.6.
Установлено, что в реакции х + В и + и захват медленного я -меэона (его спин .7, =; 0) происходит из основного состомтия мезодейтерия с сохранением четности. Учитывая, что внутренние четности протона и нейтрона одинаковы и квантовые числа дейтрона,7„' .= 1л, найти отсюда внутреннюю четмость пиона. О!. Симметрия Ооянобыж функций Решение В условиях задачи квантовыс числа х й-системы таковы' !.
2 = эг =- 1 — полный монент, Р = Р, — четность, совпадающая с внутренней четностью пиона. В силу сохранения момента дяа нейтрона э конечном состоянии также имеют полный момент У = 1 (и системе и. и ), и так как лля ннх Ю = Ь вЂ” 5 (Ь вЂ” орбитальный момент относительного движения, 5 — суммарный спин, спин нейтрона э м 1(2), то возможны лишь следующие значения Ь н 5: 1) Ь = О, 5 = 1, 2) Ь = 1, 5 =- 0; 3) Ь = 1, 5 ш 1; 4) Ь = 2, 5 = 1. (1) Легко заметить, что ушювне антисимнстричности волновой функции системы из двух нсйтроиоь запрещает им наколитьсв н состояниих с кэ*нтовымн числамн наборов 1), 2) и 4). )Ьта этого следует учесть, что спиновые функции с 5 = 1 и 5 = 0 соответственно симметричны и антисимметрнчны (см.
5.10), а симметрия координатных функций с данным значением орбитального момента Ь совпадает с четностью этих функций (-1)ь (так как перестановка координат эквивалентна их отражению относительно центра масс, г = г, — г!). Таким образоч, при полном моменте У = 1 система двух нейтронов может иметь только квантовые числа Ь = 1 и 5 = 1, а соответственно и отрицательную четиость Отсюла следует, по Р = -1 и пион, как говорят, является псеедоскаллрмей частицей, т.
° . у него,7, = 0 . 10,7. Три тождественных бозона со спином э = О, слабо взаимодействующие друг с другом, находятся а стационарных состояниях с одинаковыми квантовыми числами и, и 1, причем ! = 1, в некотором центральном поле. Показать, что суммарный момент Ь системы не может принимать значения Ь =- О. Решение.
Задача о возможных состояниях рассматриваемой системы нз трех одинаковмх бозонов по существу эквивалентна 10.4, а волновые функции могут быть получеим заменой спнноеых функций дн в 10.4 на шаровые функции У~ (и). Отсюла, в частности, следует, что полный орбитачьнмй молгент может принимать лишь значения Ь = 3 и Ь = 1.
Факт отсутствия у рассматриваемой системы состояния с сумчэрным орбитальньги ьюмснтом Ь = 0 более наглядно следует из вида волновой функции Фь э. В условиях задачи в ф трех независимых состояний частицы с ! = 1 ьгогут быть выбраны э ниде Ф, = к, У(г), где х,— компоненты радиуса-вектора г, см. 3.21. При этом в.ф. (несимметризованные1) ляи системы из трех частиц с ! = 1 имеют эид Фи = эьэпэх)(г~)г (гг)1(гз). (П Вояноеэя функция состояния с суммарныы моментон Ь = 0 не изменяется при вращениях системы координат. Из волновых функций (1) можно составить тодько одну скшгярную (точнее, пссваоскалярную) функцию, обладающую таким свойством Фс е = (г,(гзгз))г(г,)г(гг)г(гз), (2) но она антнсимметрнчна относительно перестановки частиц и ие может описывать состояния снстеыы одинаковык бозоное 10.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
