Galitskii-2 (1185112), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(4) Отсюда следуют как рээснстэо (/„м = -7//„, так и теорема аириала для кулоноеского язаимодейстэия и атоме. Для эариэн ион но~ о расчета энергии Ес оснояного состоя пня нейтрального атома по формуле (2) се удобно прсобразоэать к виду Е[у»(г)] = — — / » р (г)бг- - / ~ — (гт»(г)]~ Нг 1бь»2 / г эц 1 /(О 15к / 2,/ [Ог е т (5) тн ~ прн яерьпгеыичн помншкма лолжнс ссбяюытшя усяоенс р(г) и 2/г пря г о; е псе»нанон случае, кек аимю из энрэженна (1). значение Цг сбрешеется е бесконечность Варьируя р(г), из условия экстремальности функционала Е[у»(г)) (э данном случаев максимальностн1, срээнить с предыдушей задачей) дейстэительно приходим к урээнеиию Томаса-Ферми лля потенциала Далее, рассмстрсэ потенциал"': б 3. Оснобньге предстабленил гпеории дбудагпомныд молекул бт (так как функция у -Е/г нс имеет особенности в точке г м О, то во втором из интегралов (2) 3 дз можно заменить т> на 7 —;тг, после чего интегрирование по частлм приводит к выражению (5)).
Отсюда для указанной в условии пробной функции получаелг (первый интеграл подстановкой з =,Гг саодитсн к й 1.5). Е(а) = — — Š— — — Е Г а. 7~/2 „тГ> 1 2 (6) 24 л/а 5 Максимальное значение Е(ас) этой величины опрсделлет энергию основного состояния шама Ее „= Е(ае) = -0,771 Яи~, (7) при этом У>5 Х ттз ае = ( — чг2/ м 0,643 (х46 (в условиях задачи (7) явлнется ограничением снизу для истинного значения Ес в модели Томаса — Ферми, равного Ез = -0,769 ли', сравнить с результатом прслыдушсй задачи). 0 заключение заметим, что расслютрснная пробнан функция воспроизводит с высоков точностью не только значение Е„но н универсальную функцию т(з) модели Томаса— Ферми. Сравнение уяя == (1+аз) ', з = аи>г/Ь, а = аЬю 0569, сто>ноя функцией Хт провелено в таблице Различие их особенно мало в области * С 1, где сосредоточено наибольшее число электронов; с ростом я отношение >г„не/уг убывает. Зто слизано с тем, что рассмагриваемая пробная функция и = (2Р) г'/(>я') нормирована на число злектроноа, равное А зг — „,г= — г, >а'г~ 75 мсныиее Е> сравнить с предыдушея задачей.
$3. Основные представления теории двухатомных молекул 11.23. Произвести классификацию возможных терман молекулярного иона водорода Нт . Указать возможные значения орбитального момента электрона Е по отношению к центру симметрии для различных термов иона. Решение. Дял тсрмов молекулярного иона жшорола Н~~ с квантовым числом Л проекции орбитального момента электрона на нвпранлсние оси, проходншел через ядра — протоны, может принимать лишь значении гп = жЛ. Поэтому нолновыс функции таких терман могут быть записаны н виде следующего Разлажсиия НО шеровмм фуиканам: Е (г,р,р) = ~ Ллл(г)ул„(В,Р) =И(г,В]е' ", (Н лзл где г, В, р — сферические координаты с полнрной осью, направленной вдоль осн симметрии иона, н началом системы координат в центре отрезка.
соединяюшего ядра 2(ля Есшрмои (у которых гп = Л = О) аолнован функции (1) при отражении коорлннат Электрона в плоскости, проходяшсй через ось симметрии иона, нс измснлстсх (при таком преобразовании координат г и В остаются неизменными, а от р в ф, не зависит, так квк гп = О) Зто означает, что Е-состонння яалнютсл Е -термами, а Е -тсрмоа у иона Нт~ нс сушсстеует, что является специфическим свойством одноэлсктронной системы. 62 Глава 11. Атомы и молекулы В. ф.
терма (1) может быть выбрана Собственное функцией оператОра г" отраженна (инверсии) коорлинат электрона относительно точки г = О, коммутирующего с гамильтонианом системы Так кзк при этом УУг„= (-1)зуг, то сумма в (1) включает либо лишь четные значения Ь, либо только нечетные Ь В нервом случае в ф. (1) соответствует четным термам с квантовыми числами Лг, а во ягором — лечгылмм термам Л„(напомним, что классификация тормоз двухатомной молекулы на четные и нечетные возникает в случае одинаковых зарядов ядер люлекулы и связана с поведением а.ф. тсрма прн отражении координат только лишь электронов, см. [1, б 78)).
Итак, иозможные термы иона: зП тП зд 11.24. Состояние системы из двух электронов описывается волновой функцией Ф = 1)(гн гз)к~л, где )г~л — спиновая функция, а ф(г!, гз) имеет вид а) ф ш 7(т„ гз); б) Ф = (г!пе + гзпс)г (гм гг); б) ф = Цг!гз]пе)~(ум гт); 4 ф = (г,по+ гзпв)((груз)пе) Дг„г!). Произвести принятую в теории двухатомных молекул классификацию укаэанных состояний, рассматривая постоянный вектор пр как аналог радиус-вектора относительного положения ядер. Решение.
Все четыре указанные в условии в. ф, не изменлются при повороте системы координат вокруг оси, параллельной вектору пе и прохоляшей через точку г = О. Поэтому асе они описывают состолния с проекцией т = Л = О суммарного орбитальною момента электронов на эту ось, т,е Е-состояния. Далее, приведенные а ф. имеют определенную четность по отношению к инверсии координат элекгронов. в. ф. а) и г) лвляются четными, т.е описывают Ер-состояния, а НЕЧЕтиЫЕ В. ф. б) И г) ОПИСЫааЮт Л.ч-СОСтепиня (СрааннтЬ С ПРЕЛЫЛУШЕЯ ЗадаЧЕП) Наконец, при отражении коордийат электронов в плоскости, проходящей через указанную выше ось, в, ф, а) и б) не изменяются, т.е.
отвечают Е -состояниями, а меняющие знак в.ф. г) и г) описывают Е"-состояния. Таким образом, имеем следующую классификацию рассматриваемых состояния: л) Е+; б)Е„'; г)Е; г)Е„. (их мультиплетность — 1 или 3 — Определлетсл значением Я суммарного спина электронов, зависящим от симметрии координатных в ф. О(гн г,) по отношению к перестановке координат электронов).
11.2о. Для двухатомной молекулы оценить по порядку величины отношения следующих величин: а) интервалов между электронными, колебательными и вращательными уровнями„ б) межьядерного расстояния и амплитуды колебаний ядер; В) характерных периодов и скоростей электронных и ядерных движений. Решение. Основным физическим обстоятельством и каантовоя механике молекулм является малость отношения — 10 -10 пт г ! М (гл — масса электрона, а М вЂ” притаенная масса ядер) которая и обуслолли вает эначительные Различия порядков величин, перечисленньж а условии задачи.
л) Линейные размеры молекулы о , и расстояния о„„ между ядрами в неп имеют такой жс порядок леличины, «ак и лннеяные размеры о„ области локализации лалеитнык (внешних) электронов в атоме. Ь! о,ш о„„а лет — — —. ее' О 3. Осмабмые предстаВления гпеории дбухатомных молекул бЗ Характерные значения энергий еалентных электронов в атоме и в ьюлскуле, как и разнести соседних злсктранных термов молекулы при гзакреплснных» ядрах, равны по порядку аеличинм Ен Лг/таге. Характерные же зиаченил интервалов между колебательными и вращательными уровнями молекулы лля одного и того же электронного герма имеются существенно меньший порядок /т Лг Лг /т гл Е„ды.
(~ — Е „Е, — — ~/ — Е, — Е,. М / М М М Колебатсвьные уровни молекулы Е, „= Лы„(н+ г/2). — уровни осциллятора с массой М и коэффициентом упругости Л, порядок всаичины которого нз соображений размерности определяется соотношением Лаа Л /тав, а ы„= ту в/М. Вращательные уролнн молекуг г г лы Е,к = Л'К(К+ !)/23 — уровни сферического ротатора с моментом инерции к" = Мдсг, где Ее — Равновесное Расстоание междУ Ялрами, Ее ае (фактнчески в слУчае теРмов с Л Ф 0 вращение молекулы моделируется симметричным волчком) б) Оценка амплитуды колебаний ядер из соотношения Е„йа„'„лаег !74 а„(р) ав ч.
ае е) Характерные периоды различнык лвиженип в молекуле: 1 х иг г — —, г„— ~ — ) г, г, — аз — — г,, г Различные порядки этик периодов обусяовливают применимость адиабатнческого приближения (см. 86 главы 8), согласно которому энергетические уровни молекулы представляются в виде Е = Е., -:- Е„-:- Е„„ причем Е„рч". Е„ чч' Е 11.2б. Считая известными следующие характеристики молекулы водорода Нг.' !) энергию диссоциации основного состояния молекулы на деа невоэбужденных атома водорода ув = 4,4б эВ; 2) частоту колебаний ы, молекулы, Лш, = 0,54 зВ; 3) ротационную постоянную В, = 7,б (О з эВ, найти соответствующие величины для молекул Н(3 и (37, в которых одно илн оба ядра-протоны заменены на дейтрон. Сравнить величины эффекта изотопнческого смещения уровней атома и молекулы водорода.
Решение. Энергия асновнога состояния молекулы равна ! Ез Ег,е+ Е,е — Рч(дс)+ Лм и. 2 (!) Здесь Ее(Е) — основной терм, Ес — равновесное расстолнне между ядрами, ы ш щ = х/аз'(Ее)/М, М вЂ” приведенная масса ядер; ротационная постоянная молекулы В, = Лг/2МЕег Тзк квк при замене яяср молекулы их изотопами зависимость Ес(Е) и значение Ен остаются неизменными, то с учетом соотношения тле м 2тг находим ь73 3 (Льь)ною — (Лы,)н, =О,ебзВ, (В,)на» -(В,)н, --5,7 !О" эВ; (Льг,)о, - (Лм,)иг — 0,38 зВ, (В,)о, - -(В,)и — 3,8 )О эВ.
Глава 11. Атомы и молекулы Энергия Лиссоциации лголскулы Егс! + Егл! л г г гл! где Егы — основные уровни соответствующих атомов водорода с учетам конечности массы их ядер н' Е м — — г'(1- — ) = — 1),60! 1 — — у! эВ, гэ! игле плл 1 / т По припеденным формулам получаем (ул)но ш 4,50 зВ, (Хл)ог ш 4,54 эВ. Зфбюкт изатопичсского смешения уровней в атоме волорода имеет величину порядка (гЗЕ/Е)и - Ш,ггМ„,, 10 ', Э В МОЛСКУЛЕ Саетаваст ( — ") -Р--' при этом в молекуле он наиболее прка проявляется в изменении частоты колебаний ядер ы„ю.
11.27. Каковы возможные вращательные состояния молекул Нг, дейтерия (Зг и НР, находящихся в основном, Ц-состоянии, в зависимости от значения суммарного ядерного спина (спин двйтрона равен !)? Как зависит от значения орбитального момента молекулы знак"' герма? Решение. 1) Ограничение иа возлгожиыс значения орбитального момента К молекулы при Фиксированном значении суммарного ядерного спина возникает патой причине, что воя навал функция системы тождественных частиц (я паннам случае — ядерная подсистемы и малекулах Нг и Рг) довжна облапать определенной симметрией по отношению к перестановке переменных (спииавых и координатных) любых двух частиц. У гитыяая, что спиноаая а ф.
системы двух спинов величины п! ! при значенияк суммарного спина 2 = 2л', 2л — 2,... симметрична па отношению к перестановке спиновых переменных, а при 2 = 2л — 1,2л — 3, ангисиммстрична (см З.ЗО), а также характер симметрии в.ф ллл тождественных базанов и фсрмионав, заключаем, чта при перестановке пространственных переменных ядер волновая функция молекулы не изменяется ири четнол! значении ядерного спина (Е = 0 у Нг и 2 = 0; 2 у Ог) и меннег знак при нечетном Д Подчеркнелл, что это заключение, как и окончательный результат о возможных значениях лгомента К, относятся к любой лпухатомной молекуле с Л = 0 и тождественными ялрами Выясним, к каким ограничениям на значения К приводит отмеченное обстоятельство Вля рассматриваемых молекул с Л = О зависимость волновой функцией от ядерных координат определяется выражением бл»м.л л = ф л л('г !и К)гй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
