Galitskii-2 (1185112), страница 15
Текст из файла (страница 15)
раангж Е, то функйна м(т) п(г)/Е имеет смысл функпнн распрслслсння всроятностсй координат отдсдьного элсктрона. Очсюндгго г" и Я "г'. прн эптьг нструлно оплучнть, что г ш 0,98 Я '/' Тэкнм обраюьг, элскгронм ггахогнгск и срслнсч па расстояннн пт ядра, убмнаюшсм с ргжтаь~ Я .' г'/'. 2) Плотность числа элсктроноп н пространства пчоульсон 5 2, Гг)ногоэлентронне>е атомы. Стотостическоя модель отомо 57 11.20. Определить зависимость от Я числа электронов распределения Томаса— Ферми, находящихся в з-состоянии, Решение. Олиоэлсктроннью з-уровне опрслеляютск каазнклассичсскнм правилом квантова- ния ллл электрона в самосогласоввнном ноле (У = -5>(г)): По смыслу распрслсления Томаса-Ферми (в ка:кдом нз нижних по энергии состокний— овин электрон) общее число г-электронов в атоме равно удвоснночу (с учстол> спина) числу занятых уровней, ллк которых Е„< Е и, где Е,„— максимальное значение энергии точасфсрмиевскнк электронов Для нейтралы>о>о атома Еч„= О, н длн соответствующего значения и „в (1) следует положить гь = со.
Переходя к точас-ферл>невским евнин>шм (Х1 3) и опускал квазиклвссическую поправку Т 1 в выражении (1), получвсч ллл общего >псла з-элсктронон в атоме Е(1 = О) = 2пчч — ->726 Я Г 31 ~)( — ех = пЯ 2, > Г Х(х)»> (2) ь при >ем численное значение е ш 3 5 (его можно оценить, воспользовавшись лдл т(х) простым приближенным выражением из 11.22).
Согласно (2), ллл Я = 27 имеем )У ш 10, е то время как в атоме нСо >испо г-злектроноа равно В. Длл Я = 64, согласно (2), 79 м 14, а число з-электронов в атоме ыбб составляет 12. 11.21. В модели Томаса — Ферми выразить через электронную плотность н(г) кинетическую энергию электронов, энергию их взаимодействия друг с другом и с ядром, а также полную энергию Е(п(г)) атома. Покаэат>ь что функция пс(г), минимизирующая функционал Е(п(т)), является решением уравнения Томаса — Ферми [Х1.2) с 9> = (1Г2)(3я.пв(т)) ', и используя > Г.! это экстремальное свойство функционала, доказать в рамках модели Томаса-Ферми: о) соотношение У,„„щ — 7У>ь между энергиямн взаимодействия электронов друг с другом Ум и с ядром У, „„; б) теорему вириаяа.
Используя пробную функцию вида'" аЛ>Я'7' и„е(г) = ехр Г(- Л'УгЯ>Г> ~. э(Г п„е ЕИ = аЯ, И> Полчввкнеч, что ь р>сснатрпшгньа чмвчв речь нлет о бс>ус>оьноч чннчч>чс функпньнм>ь е(л(г)) бс> доло>кительного услоькч е новнчвовкс и(>). прн зто» т мпан функпик л>1>) окв>мввстсл ав>оматнчсски нормированной нк чксло Е электронов. Прнблнжсннзл ж«>вобнщ >ручкин» не обчюнк уховмткоркть такому тс>оькю.
Отчьтнн кнтсрсснос сььвство функпчокш»нсргчк 8 гсловнлх льинов >мочи е(п(>Ц л>к нсвтрвльнеговтонапрннчнаетнчнннм>ыюе>нвчгнкс бсзн ьсвмстн ф>нккнонкл Е(у(г)),сн. 1>22, ч>лях кейтрюьнью а>омв щ>, наоборот, нркнннвет чакскчальнсе >качение Тзкчч сбрз>ьч, рс>уз>таты ~1 21, 11 22 двют ограничения как свср>т, ткк и сшпу з>л энсрпш аюна в нолсхн Гомеса-фсрчн. интегрированием, находим п„ч, щ (3Я/2) Прн з>он знсргнн основноп> состоянпн агомн, >г> согласно первой из сумм в (7), оквзываетсл совпадающей с рсзулыагом с>атлетической модели, см. (6).
В заключение подчеркнем, что рсзультать> рвсслютрсниой простой човсгн атома длн основныч физических характеристик электронов в нем отличвютсх от рсзульгатол >юдслн Томаса-Ферми лишь числсннын коэффициентом -1 н правильно порскают нх завнси- Я. В связи с данная >апачей см. также 11 39 Глава 11. Агпомы и молекулы 58 Решение. !) Энергия лтаилюлействия электронов лруг с другом и с вдром опредсллется изпсстныыи формулами электростатики (27( Кинетическая энергия электроноп опрепсллетсл из условия, что онн распределены (с числами заполнении «» = !) но нижним энергетическим уровням а самосогласованном поле атома, и ранна Т = — (3.г ) 7 / и 7 (г ) НУ (г) !О (это иыражение явлиетея непосредственным слелствнем кпазиклассической формулы для чисяа клммовых схюзолний 2 ЬГ 2хзуг гьуг ДУ (1)з (2) которве цри значениях хууг = ! и 73Ур — — 4кр,/3 слизывает плотность электронов и = гьу( \ с р„„„нри этом р' = 3 рзч,/5).
Таким образом, энергия атома (нли иона) в квазиклессическом приближении вырвжаетси через электронную плотное"гь в ниде у! пзо бУ вЂ” 2 ( — бУ+ — ( ! б бУ'. !О ./,/ г 2 Х/ (г — г'( Вариации функционала Ь(п(г)( раина ( (37г!)т з «Ю 2 Т «(г ) бУ ) 6Е = / бп(г)! — и 77(г) — — + 3! ! 2У 2 г „7 (г-У( и условие, ББ = О, его экстремальности приводит к уравнению для функции п(г), миними- зируююей энергию атома -(3: )'и (г)- — Еу! 2У'=О. 2 Т (г')бУ' (4) 2 г / (г-г( Полейст ковал оператором Лапласа на обе части этого уравнении и учтя при этом соотношение ! 75 — -4сб(г — г ), (г - г'( получасы лиффере~гииатьную форму урзвненил (4) г5 - (3к ) т~пп~(г)1 = -4к(26(г)-»(г)].
~2 (5) Отсюда. имея в виду уравнение Пуассона злектростатики, гур = -4кр, заключаем, что величина р .— 7(3к~)~!~пи~ описывает электростатический потенциал атома, а уравнение (5) при этом 2~/2 зд гзр= и 2л (дея значений г ~ 0) соапалает с уравнением Томаса-Ферми (Х1.2). Из уравнения (4) при г ос следует, что 3'п(г) бУ = 2, т е. мннимальную энергию инест именно нейтральный атом, а нс ион ч!. Это доказывает устойчивость такого атома (3) и! из зкстесчальиссти функционале б(п(гД лри дополнительном условии (п(г) др = 2', отеечеюв~еи числу 2' электрснса, прк знвчениек 2' < 2 следуют обычные сезультетм ллн кеимкмыина агс юых попсе см (!, 5701, в случае 2' > 2 фуикцноию нс имеет экстречунз где а, л — вариационные параметры, найти энергию Е основного состояния нейтраль- ного атома с зарядом ядра Я вариационным методом; сравнить с точным результатом модели Томаса-Ферми.
0 2, /бногоэлектронные атомы. Статистическая модель атома бф /5 бЕ = Е [п(г)) — Е [не(з )) щ ~ - Т+ 2У„+ У, „«) Л ~з и условие его экстремальности, бЕ = О, пает 5Т + 6У„+ 3 У ы = О. (6) Аналогичным образом, рассмотрев преобразование вида п(г) = пв[(3 + Л)г) с 3Л! < 3, получаем ЗТ+ 5!Г + 2У, = О. Р) Из (6) и (7) следуют как соотношение У„, = -7У„, так и теорема вириала 2Т = -(У +Ум) щ -У 3) Наконец, воспользуемся условием минимальности Е(пе(г)) для вычисления энергии основного состояния нейтрального атома вариациониым методом для указанное в условии пробной функции, согласно выражению (3) получаем л Ззэ Е(а,Л) = — [ — ) а Л Я вЂ” -аЛ Я + — а Л Б 9 /ЗКЛ ыз „из 1 ! «зз 1 3 ! згз 400[, 2) 2 16 (8) (при вычислении У„удобно воспользоваться значением интеграла (2) из ! ! 35).
Минимизация значения выражения (8) сначала по параметру Л даст х Ззт Е(а) = тзп Е(а,Л) = — — [ — ) а (а — В) 2 25/2х из ! ззз 576 [,Зя) (9) при этом !зз а последующая минимизация по параметру а при а = ал = 8/7 определяет энергию атома Ес -0,759 Я 1', (30) и значение параметра Лс(а«) = 1,761; сравнить с точным результатом Е« - --0,769 яиз для молели Томаса — Ферми 8 заключение сделаем замечание о свойствах пробной функции п«з(г). Формально она нормирована нв число электронов, рваное аЯ, но получаемое с помощью ее значение Е«, относится именно к нейтраяьному етому с числом электронов Я (выбор же а = ! приводит к менее точному значению Е«, хотя отличие и несущественно, вместо О,?59 в (30) появляется значение 0,757).
Рассматриваемая пробная функция после выполнения минимизаиии по Л соответствует выбору универсальной функции у(я) модели Томаса — Ферми в аиде (Ь = 0,885) у (в) 25(8 — а) — из з - 2 144 ехр (-Л /л ); я = Я' —, Л = - Лл(а) /Ь. Ь' 3 Нетрудно заметить, что отличие т ат точной функции у гораздо более значительное, чеы в случае значений энергии Ел. Так, лля а = 8/7 иыесл! Л«л(0) = 3,39, в то время как „(0) = 3 (такая ситуация не является удивитсвьиод ллн иариационного метода, сравнить с 8.22).
!!1 существоввихе таких ионов свюаио ео сюлствачи внешних электронных обола мк, рассмотрение которых в рамках статистической ноасхи исссстохтехьио. в модели Томаса — Ферми и в то же время означает, что статистическая модель не может объяснить существование устойчивых омриистельлых ионов!!3: «лишним» электронам этаком ионе энергетически выгоднее покинуть его. 2) Установим теперь соотношения между величинами Т, У, У„„для недтрального атома Обозначим через пв(г) объемную плотность электронов согласно модели Томпса— Ферми.
Изменение значения функционала Е(пе(г)), опреасляюшего энергию атома, при замене функции пе(г) на п(г) = (3 ч Л)пе(г) с (Л( ~ 1 равно Глава 1! . Атомы и молекулы 11.22. В рамкак статистической модели нейтрального атома записать его энергию Е[ут(г)] через потенциал уз(г) а таком виде, чтобы из условия экстремальности функционала Е[»р(г) [ следовало уравнение Томаса — Ферми (Х1.2).
Используя пробную функцию г У( ) Х(г) Х( ) где а — аариациоиный параметр, найти энергию основного состояния атома вариа- ционным методом, сравнить с предыдущей задачей и с точным результатом модели Томаса — Ферми. Решение. Зэписаэ электростатический потенциал атома а Энде р = Я/г + рн, где р (г)— потенниал, создаысмый элекПюнами, н эоспольтоэаэшись соотношением (2 )жт п(г) = -р„(г) = Зят см. (Х1.1), по изэсстным формулам элсктрсстатики находим рм(г)р(ю) »6» = — — / р (г) НУ = 2(ты+ 1/т„„ гуг / „, — / рм(г)р (г) бр = - — / '[ р - -) Ь [ р - — ) НУ = 1/н, 2ч'2 / ттг тш — /р бр (о выражении для кинетической энергии электронов см формулу (2) из прсаыдушей задачи). Отошла Е[р()] шТ+1/м+(т =- — / рн( )бр+ — / р — -~Ь(хр--) бИ (2) 15ят,/ 8,/ [, ») 'х ) а= В+э)ре((145)г], где Зть(г) — решение уравнения Томаса-Ферми, [З) < 1, изуслоэия экстремальности Е[р(г)] прихопим к соотношению т+ 41/ш+ 1/, = О, (3) а из яыражений (1) имеем 52 ьб(т 43(/, =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
