Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Поэтому уравнением Шредингера дело не исчерпывается; что-то еще не учтено. В этом смысле можно провестц аналогию между теорией Шредингера и классической теорией, которая принимает во внимание все электростатические взаимодействия между электронами и ядрами, но пренебрегает излучением электромагнитных волн движущимися частицами. Тем не менее можно надеяться, что для атомных и молекулярных явлений уравнение Шредингера представляет собой хоро- 304 шее приближение.
Таким образом, можно ожидать, что предсказываемые уравнением Шредингера стационарные состояния должны соответствовать почти стационарным состояниям спютиннойм теории и что «средние энершш» последних состояний очень близки к точным значениям энергии, гредсказываемыы уравнением Шредингера. 10. Прежде чем пойти дальше, познакомимся с иекоторьпш часто употребляемыми терминами. Не зависягцее от времени уравнение Шредингера (4Ь) представляет собой типичное уравнение длгя определения уровней энершш системы, Перепшием его с символической форме: <1Оа) Нгр <х) =Ег! (х). Здесь д' гл Н вЂ” — — „, -г- 1~ (х) (! О!у) — дифг)герениггоггоныгг оператор.
Мы хотим найти решение тр(х) дифференшгальиого уравнения (10а). Оно может иметь решения при любых значениях энерпги Е, но не все такие решения физически приемлемы. Поэтому условие физической приемлемости, в частности требование квадратичной интегрнруемости волновой функции в), является сущгспгеснной ча стью проблемы. Наложив эти условия, мьг обнаружим, что энерги я Е не может быть произвольной. Значения энергии Е, для которых уравнение (10а) имеет физически приемлемые решения. называются собспрзенными анас<ения.чги дисрс)герснг(иод»ее<ого оосрао:ори Н. Соответствуюшие волновые функции носят название собственных 4ункг<ий этого оператора, Теперь нам должно быть понятно название работ Шредингера: «Квантоваггг е как проблема собственных значений».
рис. „'г гд. Частный слу ~ай потсипиала' прийлнлсаююегося к постоянному значению <'.ь и у, когда -. стремится к л- и — э соответственно. Мы хатим исследо»ать свай. ства уравнения Шредингера для разных значений полной энергии Е. Горизонталь. нь~е штриховые линни соответствуют раэ. личным возмож ным значенвям зйер гпп 11. Задача о частице в потенциальной яме с бесконечно высок ими стенками поучительна, но малореальна. Расой«отри«< проблему собственных значений в более общем одномерном случае.
Предположим, что потенциал 17(х) простирается до бесконечности и ггмеег форму, показанную на рис. 1!А. При х- +со пли х — »- — сю потенциал У(х) принимает постоянное значение, равное соответственно У, и У . Предположим, что У,)У, и обозначим через У» минимальное значение потенциала. Мы",хотим изучить свойства не зависящего от времени уравн ения Шредингера (4Ь) для потенциала У(х). Перепишем это "1 В случае «потенциальной ямы» с беснонечно высокими стенками из этого требования следует, что волновая фуннция должна исчезать эа пределами ямы и на ее границах, как было показано в п, 26 гл. 7. уравнение г, гиде ат ,)х Ч'(-)) йх (Е ! (х)1( (х) (11а) и исслзедуе)1 его свойства для различных значений энергии Е, рассматриваемой как параметр, т. е. для Е-.=Хе, )' ~Е))гог ( г "(д) ( (п(т) гу) ) (зг',Г) и) Рис.!2А.
Посазанныс на рисунке сегменты кривых иллюстрируют поведение (вещественной) волно й 4увк ни в области. где В<жх), В этом случае знак второй производной волновой еупкнин совпадает со знаком самой фувк Нии Рис. 1НА. Пок ванные на рвсувке сегменты кривых иллюстрируют поведение (веп)ественной) волновой фун|снин в ойласти. где Взу(х),знак второй производной противоположен знаку самой нолвоной Функпои Читатель должен внииат льна сравнить этот рнсуаок.с рнс. 12А 306 ')г ')Е))) и Е))У,.
Легко понять, что дифференциальное уравнение (11а) имеет решения для всех этих значений Е, но не все решения физически приемлемы. ' При графическом представлении комплексных (в общем случае) волновых функций возникают некоторые трудности. Есть возможность показать на графике ход модуля волновой функции. Другая возможность заключается в рассмотрении вещественных решений уравнения (! )а).
Мы замечаем, что если (р (х) — некоторое (комплексное) решение уравнения (11а), то (()* (х) также будет решением, если только величины Е и )У(х) вещественны. Сумма ((р(х)+(рн(х))/2 и разность (чг(х) — тр'(х))»2! этих решений также будут решениями, и притом вещественнымп, и мы можем изобразить их иа графике. 12. Рассмотрим сначала поведение вещественных решений в области, где Š— У(д)(0. Из уравнения (11а) видно. что в этой области вторая производная волновой функции имеет шарп же знак, что и сама функция. Отсюда следует, что если фзнкппя не проходит через нуль в этом интервале, то она должна Гыгь обращена «выпуклостью» в сторону осп х, как показано на рпс.
12А, а для двух интервалов оси х. Если же волновая функция пересекает Рис. 1«А. поведение веысствсппоп волаовоа фуинцн ~ в о«ласта. де в-.тгсль лто веса ы специалнпын случай, длл оссыесте.гевал ногорого пеоблодгио, чтобы потенциал ! бо быт ~тстстоинен во нсеб облсстп Гторап пронтводнан волновов фупнцни равна ~уа о, н сана фа г нцни ггасгбраыаетс» примо« ось х, опа будет удаляться от оси по обе стороны от точки пересечения (рис. 12А, б).
Волновая функция может также аспмптотическп приближаться к оси х слева пли справа, как показано для двух интервалов оси х на рис. 12А, а. !!ы приходим к выводу. что если У(х))Е для бсед ш чений х, то не существует физически приемлемых решений (11а), так как при этом модуль волновой функции неограниченно растер слева или справа илп с обеих сторон рассматриваемого интервала. В применении к рис.
11А такой вывод означает, что физическая система не может иметь энергии Е, меньшей Ув. 13. Рассмотрим теперь поведение волновой функции в сбластп, где Š— У(х))0. В этом случае знак второй производной лроп»ивополоэбан знаку самой волновой функции. Поэтому волновая функция должна быть обращена «вогнутостью» в сторону осп х, как показано на рис.
13А, а для двух интервалов оси х. Если волновая функция пересекает ось х, то по обе стороны от точки пересечения она будет обращена вогпутостью в сторону оси д. Это показано на рис. ! ЗА, б, который следует сравнить с рис. 12А, б. В этих условиях волновая функция может несколько раз пересекать ось х, и мы получаем «осциллирующую» волновую функцию, показанную на рис. 13А, в. 14. Рассмотрим, наконец, случай, когда Š— У(х)=0 во всей области. (Такая, весьма специфическая, ситуация может возникнуть лишь в том случае, когда потенциал У(х) постоянен.) Вторая производная волновой функции будет равна нулю; следцвательно, первая — постоянна.
Самой волновой функции соответствует прямая линия, как это показано на рис. 14А. Заметим теперь, что для потенциала, показанного на рис. 1!А, физически приемлемая волновая функция и ее первая производная не могут обращаться в нуль в одной и той же точке, так как в этом случае волновая функция обратилась бы в нуль всюду.
Высказанное утверждение являетсч теоремой, доказываемой в теории обычных дифференциальных уравнении. Именно вследствие такой теоремы сегменты кривых, показанных на рис. !2А, 13А и 14А, нигде не касаются оси х, хотя могуг пересекать ееили асимптотически к ней приближаться. 15. Мы изучили локальное поведение волновой функции при различных значениях разности Š— У(х), Теперь рассмотрим свойства волновой функции в целом при всех значениях х для потенциала, показанного на рпс. !1А.
Для этого нам придется наложить на возможные решения дифференциального .уравнения (! 1а) условия, кото;ыч должна удовлетворять физически приемлемая волновая функция, Начнем со случая, когда энергия Е= У, (штриховая линия Е, на рпс. 11А). Особенность этого случая в том, что Š— У(х))0 для любых х и рсшснис во всей области, и в частности в '- оо и — оо, имеет характер осцилляций. Оно остается осциллируюгцим при +оо и — оо и в том случае, если энергия Е меньше максимального значения потенциала У(х), ио Е=-У,:. В этом случае мы имеем дело с задачей о проникновении через потенциальный барьер. Итак, для любого Е)У можно найти два линейно независимых решения, осциллпрующих на бесконечности, и этим решениям соответствуют бегущие волны.
Физическая интерпретация таких решений была рассмотрена в гл. 7. При заданной энергии Е решение не нормировано к единице, но, взяв суперпозицию (непрерывную) решений в виде бегущей волны, можно образовать нормированное решение. В и. 51 гл. 7 мы условились называть решение, отвечающее определенному Е и осциллирующее при +со и — оо, «несобственной» волновой функцией, и для любого Е)У«мы имеем две линейно независимые «несобственные» волновые функции. Эти волновые функции или, вернее, образованные из них волновые пакеты, могут описывать, например, падающую на барьер слева частицу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
