Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 81
Текст из файла (страница 81)
гия показанной на схеме сястсиы меньше полной потенцнальвой знсргпз дат ' атомос волорода, разнесенных на болып е расстояние. В такой «молекуле» рзсстояни между злектроном и протоном то же, яго в атоме водорода, н можно думать. ято она образуется прн «соприкосновении дауа атомон. Этот пример поназывает, ято между двумя атомами водорода могут вознвкнуть силы згрит»~ ения, во ни в какой мере не служит доказательством супгсствовання .збнльиой молекушя еб' ггссдусн зе гггслгргг -е а»УЕ,РУжиаи след", ет убедпться, что сушесгвует такая конфигурация згасгггиг( в молекуле, для которой электростатическая энергия ггеггг .ге (т.
е, гыражсется большим отрпцательньв: пслом), чем ддя двух ранесенных на бесконечно большое расстояние атомов водорода. Это необхонггмое, хотя и недостаточное условно модедудярноп связи. Обратнйгся к показанной на рис. ЗЗЛ конфигурацшг. З,ось оба электрона и оба протона расположены в вершинах квадрата со стороной а. Линии символизируют электростатическое взаимодействие между шестью парами частиц. Для таков особой конфг гурации полная электростатическая потенциальная энергия Е„'.
= )г 2 — — 4 — == (1» 2 — 4) — . (33а) (ЗЗЬ) Еп„= — 2с'га„ где а, — боровский радиус. В частном случае а= — а, разнос па энергий Е„, и Е"„,„отрицательна: АЕ„' Е„' — Е"„= (ев/а,) ()У 2 — 2) ж — 1,2 )с„; (ЗЗс) здесь )х„— постоянная Ридберга, )тз„=евг2аа ж13,6 эВ. 320 Ве следует сравнить с полной потенциальной энергией Е„„, двух атомов водорода, удаленных на большое расстояние друг от друга. Эта потенциальная энергия равна Итак, мы показалп, что существует некоторая конкретная конфигурация, для которой величина ЧЕ»„, отрицательна. Очевидно, что эта величина останется отрицательной н для «соседних» конфигураций: частицы не обязательно должны быть расположены точно в вершинах квадрата.
34. Полная энергия молеку.ты водорода является суммой ее потенциальной и кинетической энергий. Вспомним теперь наши рассу;кдения в и. 14 гл. 6 о роли принципа неопределенностей в строенн . атома водорода. Мы пришли к выводу, что электронам в молекуле водорода должно быть доступно «значительное пространство», в противном случае, как следует из принципа неопределенностей, пх кинетическая энергия будет слишком велика.
Рассматривая атом водорода, мы пришли к выводу, что если неопределенность в ..оложенпп электрона равна а, (это означает, что электрон «заннвн»ст область с линейными размерами а,), то его кинетическая энергия будет порядка Р„. Те же рассуждения применимы и к молекуле водорода: если ее кинетическая энергия имеет такой же порядок величины, электроны должны занимать область, размер которой бл!'.зок к а» Чтобы продвинуться в наших рассуждениях дальше, следует огран!!нить положение электронов различными возможными областяма ! вычислить для каждой из них потенциальную и кинетическую =»оргии, приняв при этом во внимание принцип неопределенносте.).
-:ю не очень легко, и мы не будем пытаться это проделать. Лучшш" спосоо решения этой задачи — подбор подходящей волновой ф, нкцпп, описывающей оба электоона, и последующее вычислен е иа основе теории Шредингера энергии, соответствующей данной волновой функции. Мы не рассматривали волновой функции двух ч: гпц и нс подготовлены поэтому к решению подобных задач ' ). Б;:ете сказанного читатель подготовлен, вероятно, к тому, чтобы поверить в существование минимума полной энергии с!(г) при нек . ором значении расстояния между ядрами г, Как и в атоме водорода, такой минимум возникает в результате кох!про»!исса: электро ~ы должны занимать достаточно большую часть пространства, чтобы кинетическая энергия была мала, и достаточно малую, чтобы потенциальная энерш!я имела подходящее значение. Грубо говоря.
полная потенциальная энергия отри»!шиельна и в первом прнбл'чьснпп обратно пропорциональна «размеру» молекулы, тогда как кинетическая энергия по,галсан»елька и обратно пропорциональна квадрату «разлсера». Лля некото[>ого оптимального размера сумма ооепх энергий имеет минимум. 35.
»еперь попытаемся оценить «типичную» частоту колебаний в двуха гс»!ной ьюлекуле. Вблизи минимума (при г=г,) кривую потенцнальпсй энергии можно заменить параболой. Таким образом, ) Пе)ввя удачнвя теория нолекулярной связи была дана в работе: Не!!1ег В'., Ьолоов Р. Жесйве1»с!гхннд нен!гв!ет А!огне ннб Ьовтборо!вгс В)нанни пвс)» бег 1;»нвн!еп тсесьан!К.— Ев. 1. Рву»., 1927, ч. 44, р.
455. 321 потенциал (35а) Это разумное предположение. При г=ге правая часть выражения дает верное значение потенциала ст'(ге). Для ( г — г, (= ае потенциал оольше чем (т'(те) па величину !т„. Размер молекулы близок к а„ а энерпш связи — к )т'„; иы предполагаем, что потенциальная кривая примерно имеет такую форму. Правая часть выражения (35а) представляет собой потенциал гармонического ссцпллятора. «)Кесткость пружины» К такого осциллятора К вЂ” 2й„!а, '= и"-ятс-'1а„'. (35Ь) Предположим, что эффективная масса осциллятора рззна М. Тогда получаем следую:цее вызажение для частоты колеоашш ет,: (35с) где использовано выражение а,=и-т теттс для боровского радиуса.
Подчеркиваем, что оценка (35с) дает лишь порядок величины. В гл. 2 мы рассматрнва:и характерные для атомной физики величины и показали, что величина те, = ятшса!Гс е(35б) является «типичной» частотой для оптических переходов в атомах плн молекулах, т. е. дтя таких переходов, при которых происходит изменение электронной конфигурации. Теперь можно переписать (35с) в виде ете — о»е) тп!М (35е) Дтя ь. ех молекул величина М имеет порядок массы ядра, тогда как ш --:,исса электрона. «Типичные» электронные частоты е», лежат в видимой ооластп электромагнитного спектра.
тт(ы видим, з го тпипшшые» частоты колебаний ядер в молекуле те„меньше частог ~ ыт, на;шожнтель ! пт/М, т. е. оии приходятся на пнфракрас„тло часть спектра. Это предсказание подтверждается опытом. ! абли а а ЗВД. Частоты колебаний некоторых киухатомных молекул Вол ~оаое тесло, си В отто»ос тесто, си Частот а, 1 а Мо.е лула Частота, Га Моле«»«а 322 36. Найдем, чему равна эффективная масса М дбухапгомной молекулы, ес:ш массы ядер равны М, и Мю Оба ядра совершают колебания друг относительно друга так, что пх центр масс лежит на линии, соединяющей ядра. Обозначим через г расстояние между ядрами, а через г, и Я', гт — рас'тоянпя до центра масс первого и второго ядра соответственно, как показано на рпс.
366 . Кггггетггческая энергия такой си- стемы т-ф~- л= —. -~— Лгтдбт о .1)111+ 2 М'г з 2 Лб + И г (36а) Точкагшг ооозначены производные по времени. Потенциальная энергия нашего осциллятора определена выражением (35а) и зависит от а и гнетическая энергия, определенная (36а), зависит от г. Эффективной массой М осциллятора является коэффициент при гав, т. е. г Луг Г= — х г лу тлу лг( юг+Лба (36Ь) рис. ЗБА.
Схема двух- атомной молекулы. Массы ядер равны М, и М,. Свеглым кружком на ытрнхоааб прямой, соедн. няющей ядра, показан контр масс системы. При колебательных возбуждениях гсм, тжгст) ядра колеблются друг относительно друга Именно это выражение для М следует подставить в (35с). Величина М носит название ггггггб денной лгассбг системы из двух частиц. 37. Поскольку мы не располагаем точным выражением для сгжесткости пружиныв К, которая была лишь оценена в п.
35, мы не в состоянии найти точное значение частоты колебаний двухатомной молекулы. Можно, однако, точно предсказать относительную вели- ЧИНУ иэс:твгШЧЕСКОбО Эффбхига. РаССМОтРИМ СНаЧаЛа МОЛЕКУЛУ, У КО- торой у ассы ядер равны М; и М.;, и частота коле5аний бг„', а затем химически идентичную ей молекулу, состоягцую из изотопов тех же ядер с массами М и М'; соответственно. Пусть частота колебаний этс и .юлекулы будет бг,". В рамках приближения Бориа — Оппенгеймера обе молекулы имеют одну и ту же жесткость пружины К, исо 1 рп определении эффективного потенциала (г(г) мы не учитывалгг движение ядер.
Таким образом, частоты бг„' и бг"„связаны соотношением — ~/ л'б1ти2(тиг+М2) Мгхг2' (Лбт+ Лйз) (37а) Это предсказание с большой точностью подтверждается на опыте, и это увелггчггвает нашу уверенность в правильности рассмотренных выше весьма простых идей. 38. Перейдем теперь к вращатбльнбглг возбуждениям молекулы. У каждой молекулы имеется система дискретных состояний вращения молекулы как целого вокруг некоторой оси. Оценим порядок 323 разности энергий, связанных с возбуждением вращательных состояний. Для простоты обратимся к двухатомной молекуле, схематически показанной на рис.
36А. Рассмотрнк) некоторое вращательное состояние, когда молекула вращается с угловой частотой о), вокруг Оси, проходящей через центр масс и перпендс|кулярной к осп симметрии, т. е. линии, соединяющей оба ядра. Пренебреже)1 колебаниями, т. е. будем считать, что молекула подобна жесткой гантели. В ОбсэиаЧЕННяХ рне. 36А СКОрОСти ОООИХ ядЕр раВПЫ 1)лГт П гааув соответственно. Кинетическая энергия вращательного движения равна Т = — |Ит (гоаг 2) + — тИ2 (|дага)2. (38а) Быражая г, и гю как это показано на р||с. 36А, через меж|,я' ерное расстояние г и массы М, и Ма получаем Т, = —,, (о)аг) = — М(гоаг)-, (38Ь) где И вЂ” приведенная масса молекулы, определенная В раь синем (36))) .
Момент инерция 1 молекулы по отношению к оси ври'клс)я равен 1 =- М,г, 'д —;И,г.', = )И г'. (38с) ,1 = М г2»о„+ М 12ы = Мгао) = 1пт,, 1'386) Теперь, исключив круговую частоту ыл из выражения !36!) с помо|пью (381»), 2:ожно записать кинетическую знергщо враще |и я молек"лы в виде т = 12!21, (38е) 39. Можно догадаться, что моменты импульса для вра ы: ~я молекулы должны быть порядка 12. Поэтому типичные знер; ш вра- Ща|сЛЬПОГО ВОЗОУЖДЕИИЯ МОЛЕКУЛЫ ПО ПОРЯДКУ Всгтпси!ЬЫ 9ВВНЪ| Т, 112121. (39а) т а 6 Л Н ц а 59А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
