Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Подставляя полученное выражение для д(Е) в (26с), получаем для энергии Е„ (и+1)-го стационарного состояния гармонического осцнллятора весьма простое выражение: Е „=- (и+ 112) Ьы,; (271) десь и =-О, 1, 2, ...— любое целое неотрицательное число. 28. Точное решение уравнения Шредингера (4Ь) дает в случае гармонического осциллятора, т. е. для потенциала Г(х), определяемого формулой (27а), такой же результат (271). В этой кинге нас не интересуют точные решения уравнения Шредингера, н мы не будем искать точного решения задачи о гармоническом осцилляторе. Благодаря замечательной случайности наш приближенный метод дает совершенно точный результат. На рис.
28А показана схема уровней (слева) и потенциальная функция (справа) гармонического осцнллятора. Мы видим (это следует нз формулы (271)), что интервал энергий между смежными уровнями остается постоянным. (Это свойство уровней называется акаидистантностью,) На рис.
28А за нулевой уровень энергии 316 выбрано дно потенциальной ямы. Разумеется, такой выбор произволен. Если осцнллирующая частица обладает зарядом, то следует ожидать радиационных переходов между различными уровнями. Таким образом, если принять во внимание процессы излучения, л=глт уровни энергии для п)0 перестают У быть совершенно стабильными. Можно показать, что для электри- гггл =гдг'о! и ,г л' ческих дгипгльных лреходов правило отеюра заключается в том, что л' квантовое число и может меняться на единицу. Частота испущенных гг: квантов совпадает с классическим значеп(!См ьта для любых переходов гарнонняеского осцнллятора.
ргам, ен ная от дна потенциальной ямм» ан р. таког рода. Такой же результат, я ь'+(ьго троек„' ...„,'. "а'-: СЛЕДУГт и ИЗ КлаССИтЩСКОЙ ТЕОРИИ =(плг','а!иге,, где от, — илассннсскаа Яг- стота дтетод ВКБ дает тат же ре уль- 20. Теория гармонического ос- тат, ято и строгая теория циллятора имеет в физике весьма большое значение, потому что уравнения движения многих, внешне непохожих физических систем формально эквивалентны уравнения.» движения системы гармонических осцилляторов, очень слаоо взаимодействующих друг с другом. В первом приближении, когда вза гмодействием между осцилляторами пренебрегают, квантовая теория такпх систем математически эквивалентна весьма простой теории для системы совершенно независимых гармонических осцилляторов.
Последняя система допускает весьма простой анализ, так как каждый осциллятор ведет себя так, как если бы остальных осцилляторов не было. Очевидно, что, если мы можем описать поведение одного из них, мы можем описать и поведение любого их числа. В качестве примеров таких систем укажем на электромагнитное поле.
на упругое колеблющееся твердое тело и на различные квантовые поля. Отметим также, что все молекулы имеют колебательные степени свободы, свойства которых с хорошим приближением описываются теорией гармонического осциллятора. Выражаясь с большей общностью, можно сказать, что теория гармонического осциллятора применима к системам, которые удовлетворяют липейнылч или пргабгпгженно линейным уравнениям движения. 30. На рис. ЗОА показано, что колебания реальной молекулы, а именно молекулы водорода, имеют приближенно гармонический характер. В молекуле водорода оба протона могут колебаться друг относительно друга.
Такие колебания можно объяснить с помощью некоторого эффективного потенциала взаимодействия, показанного на рис. ЗОА, где кривая дает зависимость потенциальной энергии системы от расстояния между обоими протонами молекулы водорода. Существование и форма такого эффективного потенциала хорошо объясняются теорией, и ниже мы рассмотрим это объяснение. Для изучения колебательных состояний молекулы Н, или любой 317 другой двухатомной молекулы мы должны, таким образом. прежде всего определить эффективный потенциал, после чего найти уровни энергии колебательных состояний, решив одномерное уравнение Шредингера для такого потенциала.
Как и раньше 1рис, 28А), мы выбираем за начало отсчета энергии «дно» потенциальной ямы. Предположим, что если расстояние между протонами г стремится к нулю, то потенциал стремится к бу бух ул ух гл гх Рис. Зпд. Эфбэектггваып потенциал взаимодействия между ядрами молекулы вод эрона (оправы и соответствующая схслш уронив« 1слевзх Пээп небольших энергиях возбу каяния молекула ведет себя подобно гармоническому оспиллятору. Вблизи минимума кривая потепннальпоп энергии мало отличается ог параболы и инх«ив уровни близки к уровням гармонического осин шятора брэгг. 2б.«1 Г!о м ре увеличения расстояния мшкду ядрана погенпкз»ьная эиер~пя стремится к 1шстоянному значению, х которому примыкает область непрерывного спектра, соответств явная диссчпишгип, Потснпваэ ЬМ ье свггзан с новым» типот сич н имеет электроэ вгнптнуьэ природу бесконечности, Известно, что при стремлении г к бесконечности потенциал стремится к постоянному значению 4,8 эВ 1рпс.
ЗОА). При такой энергии молекула диссоцпирует, и именно отсюда начинается область непрерывного спектра, как это показано на схеме уровней в левой части рисунка. Таким образом, потенциал двух- атомной молекулы не совпадает с потенциалом гармонического осциллятора. Гслп, однако, не слшпком удаляться от дна потенциальной ямы, то с достаточно хорошим приближением готенциальную кривую можно заменить параболой, Действительно, любая гладкая кривая с минимумом и с неравной ну:по второп производной в этом минимуме имеет вблизи от него «приблизительно параболическую форму».
Поэтому можно ожидать, что при не слишком высоком возбуждении поведение системы будет близко к поведению гармонического осцпллятора. Сравнив рис. 28А и ЗОА, мы обнаружим различие между точно гармоническим и приближенно гармоническим осцилляторами. На рис. ЗОА уровни энергии больше на эквидистантны. Опи приблизительно эквидистантны лишь при малых возбуждениях, когда амплитуда колебаний невелика.
Кроме того, у реальной мочекулы имеется лишь конечное число колебательных состояний. Энергия дпссоциации молекулы представляет собой энергию, которую надо передать молекуле и ее основном состоянии, чтобы она диссоциировала. Из рис. ЗОА следует, что энергия дпссоциации 318 молекулы водорода близка к 4,5 эВ; это — разность энергии между нижнеп границей непрерывного спектра и энергией основного состояния. Когда молекула Н, находится в основном состоянии, среднее расстояние между ядрами (протонами) близко к 0,75 А. Волновая функция основного состояния концентрируется главным образом вблизи значений г, отвечающих минимуму потенциала. 31.
Рассмотрим теперь смысл эффективного межъядерного потенцпата. Его форма показана в правой части рис. ЗОА. К такому потенциалу приводит приближенная теория строения молекулы извесн<ая под названием «приближение Бориа — Оппенгеймера», Идея заключается в следующем. Так как ядра молекулы имея т массу, во много раз большую массы электронов, то скорость да:- женпя ядер в молекуле весьма мала по сравнению со скоростью электронов. В агрвол< приближении можно считать, что ядра неподвижны и находятся иа фиксированном Расстоянии г, друг от друг 1 Для конкретности Рассмотрим молекулу Н», но наши рассуждеш и применимы к любым молекулам.
В таком приолижении мы должны найти основное состояние двух электронов, находящихся в элект. ростат. ческом поле обоих протонов. Предположим, что мы решили эту задачу для произволы<ого расстояния г. В таком случае нам известии функция <»'(г), представляющая собой зависимость энергии основного состояния системы (включая электРостатическую энергию отталкивания между двумя протонами) от расстояния г. Для очень малых г энергия О(г) очень велика и положительна, так как электростатическая энергия отталкивания обоих протонов стремится к -Гоо, когда расстояние г между ними стремится к нулю, Для очень больших г энергия Ь'(г) стремится к постоянному значению (/„, которое представляет собой энергию основпо< о состояния двух атомов водорода, разнесенных на бесконечно болыиое расстоя<ше.
Таким образом, существует область значений г, для которых </(г)((7„, как показано на рпс. ЗОА. Функция (7(г) имеет минимум в точке «,=0,75 А. Наименыпее возможное значение энергии молекулы в предположении, что оба протона неподвижны, обозначим через (7(г,). В качестве первого шага теория Бориа — Оппенгеймера принимает, что это и есть энергия основного состояния молекулы.
32. Протоны, однако, движутся, и следующим шагом в приближении Бориа — Оппенгеймера будет предположение, что это движение сводится к колебанию около «равновесного» положения г,. Эффективная потенциальная энергия этих (медленных) колебании (которые должны, конечно, описываться квантовомеханически) дается функцией Ь'(г), определенной на первом этапе рассматриваемого приближения. Таким образом, функция (7(г) является эффективной потенциальной энергией для второго шага приближения Бориа — Оппенгеймера, в котором учитываются колебания обоих протонов дРуг отноа<тельно друга. В рассматриваемой теории фундал<ентальнь<л< 319 взаимодействием, определяющим строение молекулы, явдяется электростатическое взаимодействие между четырьмя заряженными частицами молекулы водорода.
Эффективный потенциал Угу) возникает как следствие такого взаимодействия и описывает хорошо известные силы. Можно сказать, что за этим потенциалом скрываются электростатические силы. Зто важнейший,яо,мент нанзит рассуждений. 33. Задача получения явного выражения для У(г) делгггт за пределами этой книги. Попробуем, однако, дать качественсюе объяснение тому, что потенциал У(г) ыо>кет иметь минимум, о этого :Гн Рнтрсж — а Рис, тад. При п=п, потенцвзть .я онер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
