Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 83
Текст из файла (страница 83)
'л Р Вертикальными линиями показаны возможные электрические дипольные переходы. Эти переходм группируются в четыре серии. названные именами известных спектроскопистов. Вся серия Лаймана лежит в ультрайиолетовой области; серия Бальмере — в видиыой области. На рис. ! В гл. 3 показан спентр водорода, на котором видны некоторыс линни серии Баль- мера Рис. 43 В.
Схема уровней всдородоподобного атома. Каждая колонка уровней отвечает различным значениям квантового числа ! орбитального момента импульса. Показаны все электрические дипольные переходы для значений главного квантового числа лса. В этих переходах ! может меняться «а еднинпу. Заметьте. чзо иэ состояния 2з электрический днпольный пере. ход невозможен: это метастабнльное состопние. Сравните показанную схему уровней со схемами уровней для щелочных металлов (рис.
23А и 32А гл. 3). Вы обнаружите много общего тр„(х) удовлетворяет волновому уравнению (42а) н что она нормирована к единице. Последнее означает, что взятый по всему пространству интеграл от квадрата волновой функции равен единице. 46. До сих пор наши рассуждения опирались на предположение, что ядро кеподвижно.
Нетрудно обобщить наши рассуждения на 4! Зак. !27 злв! случай движущегося ядра. Пусть М вЂ” масса ядра, а т — масса электрона. Приведенная масса в системы ядро — электрон равна =- п«(1+ — ) (46а) в соответствии с напп«мн рассуждениями в и. 36. Задача о движении двух частиц в потенциальном поле, зависящем лишь от расстояния между ними, полностью эквивалентна задаче о движении одиночной (фиктивной) частицы с массой, равной приведенной массе системы, в исходном потенциальном поле, источник которого неподвижен.
Чтобы принять во внимание движение ядра, нам следует поэтому заменить во всех формулах массу л« на приведенную массу р. При этом энергии уровней будут равны Е„= — -з (««Х)«рс' —,. 1 ««! (466) Эту формулу можно записать иначе; где )с„=а«тс«)2ж13,6 эВ (46с) (46«)) ззв — постоянная Ридберга. Следует сразу же заметить, что для атома водорода (для которого т!М 1!1836) приведенная масса очень близка к массе электрона. Из формулы (46а) следует, что относительная разность обеих масс близка к !12000.
Заметим также, что приведенная масса атома дейтерия не совпадает с приведенной массой атома водорода. Поэтому спектр дейтерпя несколько отличается от спектра водорода (см. задачу 7 гл. 2), и это различие легко наблюдаемо спектроскопически. 4?. Наша формула (46с) дает уровни энергии любой «водородоподобной системы».
Под этим названием мы понимаем систему пз двух частиц противоположного знака заряда, связанных лишь силами электростатического притяжения. Полагая в (46с) 3=2, получим уровни энергии однократно ионизованного гелия. При Л вЂ” 3 получаем пз этой формулы уровни энергии двукратно ионизованного лития. Соответствующие значения приведенной массы (которые очень близки к массе электрона) следук>т из формулы (46а), если вместо М подставить массу ядра гелия или лития. «Атомыз, в которых электрон заменен мюопом (мю-мезоном), известны под названием лаооьных атомов. Они образуются, когда мюоиы, замедлившиеся в веществе, захватываются кулоновскпм полем ядер.
Заметим сначала, что боровский радиус «атома» обратно пропорционален массе «электрона». Это означает, что размеры мюонного атома приблизительно в 200 раз меньше размеров обычного атома (масса мюона близка к 200 электронным массам). Предположим теперь, что мюон был захвачен, например, атомом алюминия. Испуская электромагнитное излучение, такая система быстро перейдет в состояние, при котором мюон окажется очень близко от ядра алюминия: волновой пакет она будет располоисен гораздо ближе к ядру, чем волновой пакет электрона, Таким образом, мюон и ядро алюьпшия образуют водородоподобную систему — мкюнный атом, окруженньш «облаком» электронов.
Описанная схема образования лпоонных атомов экспериментально подтверждена наблюдением электромагнитного излучения, испускаемого такими «атомами» *). Это излучение принадлежит рентгеновской части спектра, в чем можно убедиться, рассмотрев формулу (46Ь): приведенная масса р в данном случае близка к массе .и~оопп. Один пз подзаголовков гл. 5 гласит: «Существует лишь одна постоянная Планка». Заметим, что экспериментальное подтверждение предсказаний теории об уровнях энергии мюонных атомов является прекрасным доказательством универсальности формулы де Бройля. 48.
! (одведем итоги нашему рассмотрению водородоподобных «атомов». Такие системы состоят из двух частиц. Одна нз них имеет заряд — е, другая с-Ес. Не решая уравнения Шредингера для системы из двух частиц, описывающего поведение таких атомов, мы пришли к выводу, что их дискретные уровни энергии даются формулой (48а) Я„=(Ы) „с»Л„, где и — приведенная масса; и — постоянная тонкой структуры„ безразмерное число Х„- — собственное значение безразмерного уравнения Шредингера (43с() для одной частицы. Нахождение числа Х„ представляет собой чисто математическую задачу, решение которой приведено во многих курсах.
Это число равно ).л — — — !!2п». Таким образом, зная спектр водорода, мы знаем также спектры дейтерпя, однократно понизованного гелия, дважды ионизованного ,лития и спектры всех мюонпых атомов. Это возможно благодаря тому, что нам известна зависимость уровней энергии от соответствующих физических параметров: заряда ядра 7 и массы ооеих частиц. Наши рассуждения еще раз убеждают в силе простых соображений размерности. Допочннтельная тема: переменные положения и импульса в теории Шредингера «») 49.
Попытаемся теперь найти математические ооъекты, которые в простой теории Шредингера играют роль координаты и импульса в классической теории. Пусть ф(х, !) — шредингеровская волновая функция, нормированная к единице. В этом и следующем пунктах мы будем рассматривать волновые функции в данный, фиксированный момент времени. Поэтому будем игнорировать переменную ! и для крат- *) Рпсл '«' !...йа!лвагег У. 31псйе» о! Х.гву» !гоги Мнл!е»оп)с А1оп»».— Рву». Кеу., 1953, ч. 92, р. 739. *») При первом чтении можно пропустить. 331 и" з.гм кости будем писать ф(х). Величина («Р(х) )' дает плотность вероятно- сти, определяющую распределение вероятности для переменной х, поэтому средние значения х и х' равны Ач(х)=х=<ф)х(ф>= 1 йхх/ф(х) /', +ф А«(х«)=х« =<ф) х'/ф>= ~ йхх'~ф(х) ~'. (49Ь) Ф Обозначение <ф~хЬр> эквивалентно выражению «ожидаемое значение х для состояния фь.
Такие обозначения обычны для квантовой механики. Если х — среднее значение переменной х, то за меру неопределенности х можно принять корень из среднего значения квадрата отклонения от х: Лх = у Ач (х — х)', или (Лх)'= ~ йх(х — х)'~ф(х)~н=Ач(х«) — йх А«(х)ц х'. (49д) — О Из последнего равенства следует (Лх)'= Ач ~(х — х)«] = Ач (х') — ~Ач (х)]'. (49е) Заметим, что чем больше волновая функция концентрируется около среднего значения х, тем меньше Лх.
Состояние, для которого положение точно известно, т. е. состояние с Ах==О, физически неосуществимо, Среднее значение любой функции от х вычисляется по аналогии с формулами (49а) и (49Ь), которые дают средние значения х и х'. В частности, среднее значение потенциальной энергии равно + й Ач (Е„„,) = Ач (Р (х)) = <ф ) У (х) ! ф> = ~ йх Р (х) ) ф (х) («. (491) 50.
11остараемся тщательно обдумать значение сказанного. Вероятностная интерпретация шредингеровской волновой функции привела нас к понятию о среднем значении координаты частицы, определенном выражением (49а). Интеграл в правой части этого выражения позволяет найти численное значение среднего квантовомеханической переменной х, если известна волновая функция, описывающая состояние частицы. Но чему равно численное значение «самой квантовомеханической переменной хъ? Ответ заключается в том, что квантовомеханическая переменная не может быть выражена численным значением: она определяется лишь той операцией, которую нужно совершить над волновой функцией, чтобы получить среднее значение, Переменная координаты х является в теории Шредингера особенно простой переменной. В этом случае значение основного принципа, заключающегося в том, что квантовомехаиическая переменная определяется через свое среднее (для всех состояний), оказывается несколько замаскированным.
Символ х присутствует в качестве независимой переменной в волновой функции, и поэтому глубокий смысл определения (49а) не проявляется с достаточной ясностью. Рассмотрим, однако, такую квантовомеханнческую переменную, как импульс (ооозначим ее через р). Символ р отсутствует в волновой функции, поэтому позволено усомниться в существовании такой переменной. Чтобы решить этот вопрос, определил квантовомеханическую переменную импульса р, дав определенное предписание, как вычислить среднее значение ихшульса р для любого данно~ о состояния. Реальная проблема сводится к тому, можем ли мы определить среднее значение импульса физически разумным способом. 51. Качнем с частного случая нормированной к единице волновой функции, которая в большом интервале имеет вид ф(х)=- =С ехр(!лр'(й).
Вне этого интервала волновая функция быстро падает до нуля. Для такой волны средний импульс очень близок к р', и можно написать Лч(р)=р'. В рассматриваемом интервале — '5,д ф( ) =р'р() (5! а) и поскольку волновая функция нормирована к единице, то 1 дхф*(х) ~ — (сс — 1ф(х). (51Ь) Мы предполагаем здесь, что основной вклад в интеграл возникает от области, где выполняется равенство (51а).
Лля рассматриваемой волновой функции специальной формы можно найти средний импульс, вычислив интеграл (51Ь). Предположим теперь, что этот интеграл дает точно среднее значение для всех нормированных функций. Таким образом, постулируесм О Л з (р) =: ф ~ р / фу = ~ дх ф* (х) ( — Й вЂ”. ) ф (х) (5! с) д для любой иормиров. иной шредпнгеровской волновой функции ф(х), Наш постулат означает, что в теории Шредингера переменной импульса р отвечает дифференциальный олератор, действуюигни на волновую функцию, расположенную справа от него в интеграле (51с). Иными словамп, .с д дх' 52. Переменной квадрата импульса соответствует альный оператор дс ,о' = — л'— дхм (515) дифференцн- (52а) и среднее значение квадрата импульса поэтому равно О Лч(р')= «ф/р'/ф>= ) е(хф»(х) [ — Ь' —,)ф(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
