Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Она частично отражается обратно и частично проходит вправо. Аналогично, частица может приходить справа. 16. Теперь рассмотрим случай У,)Е)У , При этом для правой части рисунка Š— У(х)(0, а для левой части Š— У(х) )О. Такого рода задача была рассмотрена в п.
21 — 25 гл. 7. В этом случае для правой области физически приемлемо лишь одно из двух линейно независимых решений, а именно то, которое стремится к нулю при х, стремящемся к +оо (см. правый сегмент на рис. 12А, в). Продолженное влево, такое решение приобретает характер осцилляций в области, где Š— У(х))0. (Разумеется, волновая функция и ее первая производная должны быть всюду непрерывны, иначе решение не будет оби!им решением уравнения Шредингера.) Итак, если энергия Е такова, что У,)Е:- У, мы имеем одну («несобственную») волновую функцию, которая описывает отраже- 308 ! ,,унерееомое- ноеоошвем~ овеуем своев»оп ~ налгу еаемоеном 'ме уорнг ' говна' ловаронуа наворояо Рис.
!8Д. Схема, пэкааывающая, как всдутйсебя решения уразиеиия Шредиагера, есимптетически стремящиеся к кулю при к ю. Три кривые отвечают решениям при трех различных эиачеииях энергии. Решения при к-г+ е рас. хэпятся. стремясь к -~-ю или — и, пеке зкергия ис примет «точно определеиипе» зиачеиие. Нееграввчеякые решевия диффереипиальввго уравиекия физически неприемлемы: ови ке дают решения проблемы Шредингера «Точно определенному» значению зяергив отвечает кривая б; она асимптотически приблвисается к кулю ори к + с и представлвет собой волковую фуякпкю свяэааного состояния *) «Соглвсоввниез выполняется, конечно, автоматически, если мы находим полное решение волнового уравнения. 309 ние приходящей слева частицы от потенциального «горба».
Такая задача была рассмотрена в гл. 7. 17. Обратимся теперь к случаю )У = Е:-.)Уэ. Он соответствует энергии Еа на рис. 1!А, когда справа и слева имеются области, для которых Š— )г (х) ( О, а для области в середине Š— 1у (х) ) О. Две граничные точки, отделяющие эти области друг от друга, являются классическими гпочкпжа поворота.
Обозначим их х, и х,. Слева от х, волновая функция асимнтотическп приближается к оси х, как показано палевом сегменте на рис. 12А, в. (У волновой функции может быть другой знак, но это не имеет значения.) Другой Ьаласлго, в невзоров" ВОЗМОжНОСтЬЮ ДЛЯ ВОЛНОВОЙ ФУНК- Ег«)Г(Х1 ~Е. РАНГУ ~Е<УУау ции является монотонное возрастание при х, стремящемся к — со. Но постоянно возрастающая вол- аэ Янереоо малы новая функция не будет физически приемлемым рептениеьг. Поведение ! волновой функции справа от ха передается правым сегментом па рис.
12А, в. В области, лежащей между точками х, и х,„волновая у функция осциллирует, и здесь мы гс имеем два линейно независимых и физически приемлемых решения, Задача заключается в «согласо- 1 ванин» различных типов решений Унереон с тем, чтобы получить физически ,у вижн? приемлемую волновую функцию, всюду непрерывную вместе со своей первой производной *). Зпто яс может быть сделано для п1юизвольного значения энергии Е.
Физически приемлемые решения (они должнря быть квадритично интегрируелы) существуют лишь для определенных дискретных значений энергии Е, Каждой такой энергии отвечает связанное стационарное сссгпояяив систеьгы. 18. Сказанное поможет нам понять рис. 18А. Возьмем для энергии Е некоторое значение )У )Е ))У,. Чтобы удовлетворить физическим условиям «слева», мы должны выбрать в качестве решения волновую функцию, асимптотически приближающуюся к оси х при х, стремящемся к — со.
В точке поворота х, решение «слева» должно быть «согласоваио» с осциллирующим решением для области(х„ха).Требование непрерывности самой волновой функции и ее первой производной приводит к единственности решения в этой области. Полученное решение опять должно быть согласовано с решением для области «справа» от х„которое в свою очередь единственно. Это последнее решение, если значение энергии Е выбрано верно, должно вести себя так, как кривая на правом сегменте рис. 12А, в, т.
е. волновая функция справа от х, должна асимптотически приближаться к оси х. При неверном выборе энергии Е волновая функция будет удаляться от оси х, что означает физически неприемлемое решение. Требование асимптотического приближения волновой функции к оси х слева и справа от точек поворота в общем случае невыполнимо. Оно удовлетворяется лишь для некоторых дискретных значений Е, которые должны быть больше 1Уо. Мы уже бРЛг отмечали, что при Е =)г, не Р= — д~~~р ' существует физически прием- ~"'Рвул я~~~'.
Р' чемых решений УМ Ф~~~~' Р Для потенциала, показан.. ° гч -РуР ного на рис. 11Л, схема -РР уровней состоит пз дискретного ряда уровней (в нем может ие быть ни одного Р' РР7 -Ртт. -РР уровня), расположенных меж— — — — РР ду )у, и )г, и непрерыв- -ыРРХ ' ной последовательности уров- -тР ией при энергиях, ббльРие. 19А. Частица в потенциальпов ялге глубиной э слева показан потенциал, епрзва — 19.
На рис. 19Л покауранни знергин. Имеются четыре связанных ео. стояния <четыре дискретных уровня знергинр ЗаНН Проетая ОдНОМЕрНая ЗаСоответетвуюигие волненью Функцав показаны слева. Ови говмещеиы с графиком потенциала. Область непрерывного спектра примыкает к Задаяаи раССМатриваЕМОГО верху ямы и за~нтриховаяа выше типа. В этом случае возможно сравнительно простое аналитическое решение. На рис. 19А )г„=-)У и потенциал в интервале ( — а, а) постоянен. Справа на рисунке показана схема уровней, которых всего четыре. Они расположены ниже области непрерывного спектра. В левой части рисунка показаны волновые функции четырех связанных состояний.
Заметим, что первая волновая функция имеет один экстремум (и ни одного нуля), вторая — - два экстремума (и один нуль), а четвертая волновая функция, соответствующая наиболее высокому дискретному уровню энергии, имеет четыре экстремума и три нуля. Для более глубокой потенциальной ямы мы имели бы большее число связанных состояний, и в предельном случае ямы с бесконечно высокими стенками (эта задача обсуждалась в п. 4) число связанных состояний бесконечно велико.
Сравнив рис. 4А, б и 19А, читатель увидит, что для обоих случаев положение уровней четырех первых связанных состояний аналогично, хотя и не совпадает полностью. рекомендуем читателю найти четыре связанных состояния для задачи на рис. 19А. Теперь мы понимаем, почему с точки зрения теории Шредингера квантовомеханпческая система имеет связанные состояния и почему выше определенного преде.льного значения энергии возникает непрерывный спектр состояний. Его начало соответствует энергии, при которой система диссоциирует.
В нашем простом случае такая диссоцпаш(я означает, что частица ведет себя как «волновой пакет>, распространяющийся далеко от «центральной области». 20. Поговорим теперь о том, как понять рассмотренное в и. 38 гл. 3 яьленпс, которое заключается в том, что уровни энсрп(н распо..ож пы вьппс нижней гран(шы непрерывного спек..
(с,!. схему уровна 1(т((с. ' '" й о (померпу(о за"ач . О н( о!. Нчается от задачи,"(: . 19А тем, что за 1У(«РУ предо!сии! пмы потенциал не (юсг(лысн. а уменьшает- 1 Е— -.у -г. — +- 7 -я и! н .! г,'г Я'(и!. ПРСДполо- Рис. тод, маднрикшцгя с, тац:и, гшишанаоц на Рнс пк! ((отсггцггтл идсатн-сп с пото. цналои при- жим, чтг, г осле скачка по- ...,',;, „'„, Ри,у„с.';„...,ги,р и.= (--а,— га(,' ТСН(ц(а ! СОХраНПСТ ПОСТО. '' с' о пргдсламн н гссг постояинос аначсггис — Э <Р, Оичысть и прсры попа синатра начи «.ется при ЯННГ!с ПаЧС(ПЮ вЂ” В .
— Э, и супа:ста,ог лишь трп стациогарнык со. стояг пя. Одггако соти Ь очанг, нслнка (т с голи В СОСПВСТСТШ(И С Наций б. Рьср очень шш ок(, то сугцастауст чстнсртос потеорпе,! Пепрерьщный чтгг стацггонс рнос «гпоянит соотгнгтттитчоплп пггр- туалшгыр уршгснь обот. а гап гитгао:, ти С,. Он спектРначннаетсн НРнэпеР- гтасчаст чггн:оточу стационар шмт урояшо на Рнс. (Рд гии — В., как показано на рис. 20А.
Прп не слишком малых Ь с" шествуют три связанных состояния. Отвечающие им уровни энергш! Е„Е„Еа весьма близки к трем первым уровням энергии на рпс. 19Л. пока постоянная Ь велики, т. е. пока оба барьера, показанные иа рпс. 20Л, достаточно широки. Ограничимся случаем широкого барьера 1Ь достаточно велико). Если Ь бесконечно велико, задача на рис. 20Л переходит в задачу на рнс. 19Л. Область непрерывного спектра начинается при нулевой энергии, и существует четвертое связанное состояние с энергиен Е,.
Для любого конечного значения Ь мы имеем лишь три связанных состояния и непрерывный спектр, начинающийся при энергии, равной — В„. Предположим, однако, что ширина ямы, в которой находится, например, электрон, имеет типичные атомные размеры, что ее глубина порядка 1О эВ, а величина Ь превосходит 1 км. В этих условиях трудно понять, чем отличаются ситуации, показанные на рис. 20Л н 19А. Здравый смысл подсказывает, что в обоих случаях поведение частицы вблизи ямы должно быть одним и тем же, и мы ожидаем поэтому, что четвертый уровень из схемы уровней рис.
19А будет существовать и в задаче на рис. 20А. Тщательное математическое исследование задачи, которое мы не можем здесь выполнить, подтверждает сказанное. Мы пригедем лишь общий ход доказательства. 311 Р (1) = 5.х(ф(х, 1) >~=Р(0). — а (21с) Эта вероятность не зависит от времени, что опять отражает стационарный характер волновой функции ф(х, (). Заметим, что интеграл в (2!с) берется только в пределах ямы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
