Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 82
Текст из файла (страница 82)
ПОСтОяииая Вл дЛя НЕКОтОрЫХ дяуХаГОЫНЫХ ЫОЛтвуц г, А; Молекула ° . А Мг. ехтла в,, мгц В, М|ц 1, 76 ! ыС|ао 2,79 '' ОН 2,94:~ )»О Вгр КС» КВг 10 700 5 600 2 400 57900 566 000 51 100 1,15 О 917 1, !5 Постоя: ьая В (рис. 39А) выражена через соетветствуюигую частоту В =Его=а)вя*г в е мегагерцах. В третьем столбце приведено расстояние между ядрамя г 324 Найдем щютсмг,цпт ищг;льса молекулы по отношеншо и о.п вра- щения: Введя соответству>ощую частоту оэ„, л(ожна написать (39а) в виде оу =~ гэп $12Т, (39Ь) Согласно (380) момент импульса l 1«оо, а поскольку мы предположили, что У-Й, то «5,-1И. Таким образом, частота м„п характеристическая частота вращения оз„, определенная из (39Ь), оказались одного порядка, Этого и следовало ожидать, исходя из классической модели.
Полная кв птовомехаинческая теория молекулы в виде гантели приводит к весьма простой формуле для уровней энергии. Каждое вращательное состоян те характеризуется неотрицательным целым значением кван(нового чпва( 1, определя(ои(его л(от;ен(п пгпп(((ьец. Энергия этоГо состоя(!555( 15авпа Е, =1'(1+1)(ьв/2Т, (зос) (Вэг-(э(а ПФ" т. (40Ь ЗДЕСЬ «5, — «тнПИЧНаЯ» ЧаСтОта ЭЛЕКТРОННЫХ ПЕРЕХО "ОВ; ййо И м, — «типичные» частоты колебательных и вращательных гереходов соответственно.
й(ы видим, что частоты вращательных переходов гораздо меныпе как электронных, так и колебательных частот. Они лежат в далекой инфракрасной (микроволновой) области. 41. Теперь можно объяснить природу очень сложных оптических полосатых спектров, испускаемых молекулами. Основная идея 32$ где('=О, 1, 2..... Хотя мы пе даем вывода этой важной формулы, все же целесообразно привести ее здесь. 40. Расстояние:,:ежду ядр ми в любой молекуле имеет порядок боровского радиуса п(а Поэтому в качестве опенки момента инерции следует взять 1 Ма',.
Подставляя эту оценку в(39Ь), имеем '(й, — Ь/2Ма,'. (40а) Поучительно выразить" эту 'оценку, через характеристическую частоту электронных переходов гае=авп(сэ(П. Так как боровский радиус ав--а тй(тс, то (40а) принимает вид (В такой оценке численный множитель, равный 2, не имеет значения.) Сравним теперь характеристические частоты вращений и колебаний.
Сравнивая выражения (35е) и (40Ъ), получаем аэ,:в,»н(„1(()уг .~М):(т/М)а (40с) рие. ЗВА. С-еэ э первых ьогьми враже. тельнмэ урооюндвух. атомной мале:.улы (в предположении, ито ее можно еиит т. жесткой «гантелью»(. Са. элаено равенетву (Хйс( эиерги, Е еоетоянэж е :оментом нмпэльса/ Рванину —— = Вт(т-'г(5, где В= =йпу( — «. гтанта, хараитерэжужьэая арап(ение э олекулм. Стрелками гокаванм алектрияегкне дипольнме переходы. грискотормх, нениетея на единим заключается в том, что каждая молекула имеет три различных типа возбуждения: электронное, колебательное и вращательное.
Им соответствуют характеристические частоты бя„бз, и яо„, Сильно упрощая ситуацию, можно сказать, что мы имеем три системы энерпш соответственно трем различным тяпай! возбуждений. Энергия стационарно~о состояния молекулы является поэтому ч зУРРЖЮ7УГ - !'::: ' гурту сн ЛУЗЫ рис. я!А, Упрощенная схема устройства для микроволновой спектроскопии. Газ нз исследуемых молекул заполняет часть волновода.Микроволновое излучение проходит через воляовод, и помещенный на его выходе детектор измеряет интенсивность пропущенного газом излучения. На резонансных частотах молекул газ поглощает излучение, н измеренная зависимость ннтевсивностн от частоты определяет положение резонансных частот. Под «микроволвоной областью спектра ионвмаыт излучение с длиной волны отй=! милой — — ! м Он нсюл нннкамрироварн .ОрнаНЗННЗО НЗСтатзг Водородоподобные системы! 42.
Обратимся теперь к трехмерной задаче определения уровней энерпяи атома водорода. у"яы ее не решил, но рассмотрение некоторых ее аспектов будет весьма поучительно. Рассмотрим более общую задачу. Пусть частица с массой ая и зарядом — е',"движется в электростатическом поле, образованном 326 суммси трех энергий — электронной, колебательной и вращательной. Совершая переходы между различными возможными уровнями энергии, молекула испускает или поглощает фотоны. При оптическом переходе меняется электронное состояние (конфигурация) молекулы, и обычно прп этом происходит также изменение ее вращательного и колебательного состояний.
Поэтому число возможных частот оказывается огромным и спектр представляет собой полосы, состояцяпе из крайне большого числа очень близких линий (см., например, рис. 6В гл. 3). Кслебательные и вращательняые спектры можно изучать отдельно, исследуя переходы, при которых электронное состояние молекулы не меняется. После второй мировой войны были развиты новые методы наблюдения таких переходов, позволившие создать ляикрово.!новую спектроскопию — новую ветвь спектроскопии, чрез вычайно расширившую',наше понимание строения атомов и молекул- ядром с зарядол! +Ее.
Предположим, что ядро неподвиисгго н дится в начале координат. В действительности это возл4ожгго л«шь при бесконечно большой массе ядра. Однако если отношение массы ~И ядра к массе и «электрона» очень велико, наше предполо.кение годится в качестве первого приближения. !а,агг/6~ * т /ч луелаыда уа 0руааггзмзглз ! - ф- ' ' з;:й зуг агаалгадксюазж г. 'Фа " чг з' ~.уа .', 'г:,..-'г',, у, уг гг уг- Рис. 4 ! в. микроволновые спектры трсхатомной аголскулы "зс! 'гс ыя грн ннз„оп а з=,соком раарешении, на которых ввдны переходы из состояния г=-.! в состояние.г=.".
Мпкроаолно. взя «линия» пропускания обнаруживает тонкую структуру: она состоит нз н:скольких близко расположенных компонент. Частота центрального пима равна 88 88Л 89 МГ! Кривые показывают реально измеряемую величину — поглощение микроволнового нзнучення в зависимости от частоты.
Нижний спектр служит хорошил! примером аысокшо рззосшенин, которого можно достичь в микроволновой спектроснопни. Обратите вникание яз хорошее согласие с предсказаниями теории !Горне Ч., Шпелев гь Радиоспектросног.нн — М ! ИЛ, !989, с. !64!. Не зависящее от времени уравнение Шредингера нашей задачи имеет Вид 6в евЛ вЂ” — гагр (х) — гр(х) =- Егр (х), (42а) где х=)х(.
43. Введем новую независимую переменную у: е' х= — У, где, а=— гдйс»Я (43а) новый '«параметр энергии» А: (43Ь) 327 В=(~г) "7., и волновую функцию ((у): р(х) =у(у). (43с) Перепишем волновое уравнение в новых переменных: а 1 — 2 Р~((У) — 1(У) =)1(У) Д (434) где 7«1 — дифференциальный оператор Лапласа для переменной у. о:равнение (43г)) представляет собой «безразмерную форму> уравнения Шредингера (42а). Оно безразмерно в смысле отсутствия физических констант т, е, 6, с и Л.
Решив уравненгие (431)), можно перейтп к старым переменным с помощью равенств (43а) — (43с). Уравнегтия (43г)) и (42а), очевидно, эквивалентны. 44. 11так, перед нами чисто математическая задача решения уравнения (4311). Й(ы не станем решать его, а лишь приведем некоторые результаты решения а); !) Уравнение Шредингера (43«)) имеет квадратично интегрируемое решение лишь в том случае, если параметр Х„= — 112пт; (44а) здесь н — любое положительное целое число. Оно называется глаенььа квинтовым числолг водородоподобпого атома.
(Не следует смешивать его с квантовым числом гг, которое мы ввели для квантовомехаиического осциллятора.) 2) Неп)аерывный спектр начинается при а=О. Отсюда следует согласно (43Ь), что ионизация атома происходит при энергии Е=-0. 3) Для любого и при ).=-Х, дифференциальное уравнение (4311) имеет и' линейно независкмых решений. Их можно классифицировать с помощью квантового числа 1, которое характеризует пространственную симметршо волновой функции. Например, все решения, для которых 1==-О, сферически симметричны.
Квантовое число ! при данном н может принимать значения от нуля до и — 1, и для каждой пары квантовых чисел (и, 1) уравнение имеет 2!+1 линейно независимых регпений, отвечающих различной ориентации атома. Физическая интерпретация квантового числа ! заключается в том, что оио измеряет момент импульса атома. Поэтому его называют квантоеылг числолг србитальноео .ггомента импульси аа), 45.
Из приведенных выше математических свойств решения уравнения (430) следует, что возможные значения энергии атома (в непонпзованном состоянии) равны Е„= — — (с«7)' лтс' —,. (45а) Чтобы удовлетворить любознательность читателя, приведем в явном аиде решение уравнения Шредингера (42а) для основного состояния. В этом частном случае и=! и соответственно 1=О, что ") Решение задачи атома водорода приведено во многих курсах квантовой механики. Впервые оно было дано Ц1редингером в первой статье иа серии статей «1Епап11«1егнпй ам Е1депшеггргоыегпа (Апп. б.
Рйуа., 1928, т. 79, р. 361). «*) См. для сравнения обсуждение в п. 30, 31 и 34 гл. 3. 328 озна"ает сферическую сибтметрию волновой функции, котор вид !Рта(Х) = 2 —, ЕХР( у лае и у' !45Ь) где п,=ангдтс. Читатель может убедиться, что В Волновая функция е р,г ~=77 ь'=! ! =с 4=у 7 Яр 77- Джб— л=б— р=о' Ржу !Ц;:.;;.34ЫМЕЫжМХЯ4РРРЕ4 л, '. уи Оааа лиеденерееаам ниае мне» ) 77 -434 л= 4 тф~У ,т а -УР7 нее Е"рия ' . го!урона ', ~''р(((; — 74Р В 77=,7, Оение:оееоел ояние г Ю Рис. 43А. Схема уровней атома водорода. С очень хорошим приближеннеи энергия Е уровня и с главным квантовым числом л равна Е .— — — ЛН(дз, где яи=-и+там ! гл =43.б276 эВ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
