Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Для ямы, показанной на рнс. 198 этой главы, всегда существует по крайней мере одно связзнное состояние незавнснмо от глубины ямы. Руководствуясь этим примером, обьясните, почему каждое из написанных ниже условий благоприятствует образованию связанного состояния: а) болыпзя масса и>; б) болыиая глубина ямы; в) ннгрокая яма. Иллюстрируйте вап>и соображения (которые должны быть применимы к более общему типу потенциальной ямы, чем показанный на рисунке)соответствующими графикачн. Згот пример позволяет понять, почему два атома не всегда образуют стабильную молекулу.
несмотря на то, что прп определенных расстояниях между атомами действуют силы пр>ыяженяя. (Если силы прн всех — ир расстояниях созда>от а>италкиваиие, как это иногда бывает, связанные состояния, разумеется, не образуются.) Мы можем с штать потенциал, показанный на рисунке, идеализацией более реального молекулярного потенциала, приведенного на рис. 303. 5.
В качестве простой одномерной моде.ти дейтрона (представляющего собой связанное состояние протона п нейтрона) примем потенциал протон-нейтронного взаимодействия. показанный на рисунке. Пусть и†--1,85 !О-ы см и 8=41,6 МзВ, 1(айдите — — — Я энергию связи дейтрона в этой модели н сравните ее и с экспериментальным значением, которое равно 2,2! МэВ. Близкое согласие нельзя, разумеется, к езде>ем 4 и з.
в ыд;че е счвтать триумфом теории, так как для получения указанных значений а и В было использовано папростой модели ечетемм ере. блюденное значение энергии связи дейтрона и дру. тее — ееетрее. Ыееметре ие гнЕ эксперпмситалы.ыс данные. Хотя нспальзоаан- ный нами потенциал сильно идеализирован, он етее де>>треме и оеегеешюе>>> правильно воспроизводит неко>иорые особенности еретер-ее >трееаеге расее е протон-нейтронного взаимодействия. Задача нахож- дснчя э фекгивного потенциала иа основании неких стояние между ееатр, ие>> ч а>б~г>их прннципове ое решена.
Указание. Масса яре>очем т — идиэедгюеия масса системы протон — нейтрон: >и=-Мя>2. 6. При рассмотрении колебательного спектра хлористого водорода НС) обнаружено, что спектральные линни оказываются близко расположеннымн дублетами. Интенсивность коротковолнового члена дублета г>рнблизнтельно в трн раза превышает интенсивность длинноволнового. Для линий, расположенных в области спектрз, близкой к 5600 см-' (волновос число), разделение двух компонент согтзвляет 4 см-'.
Объясните это явление и получите расчетом расстояние между компонентами. Объясните также относительную интенсивность обеих компонент. 7. При язучении частот, связанных с вращательными переходами в молекулах, получены следующие значения частот (в мегагерцах): 1а>С) 6980, 27 336; !з'С1 6684, 26 18!. Для молекул, содержащих изотоп мС1, цифры указаны в верхней строке; содер>кащих изотоп мС1 — в нижней строке.
Йод представлен одним изотопом >ее',1 в обеих молекулах. а) Как получить частоты нижней строки, зная частоты верхней? б) Если образец, используемый для измерений, изготовлен из природного хлора, то наблюдают все четыре частоты. Можете ли вы предсказать отношение интенсивностей линий верхней строки к интенсивностям соотиетствующих линий нижней строки? в) Рассмотрим изотопический эффект для вращательных уровней двухатомной молекулы в общем случае.
Пусть нме>отея два типа молекул, у которых массы изотопических ядер равны М, и Мз для молекул первого типа и Мт н Мз для молекул второго типа. Соответствующие частоты переходов для эгих химически 338 идентичных молекул обозначим ыг н ы,". Можно связать ы, и ь»„даже не имея детальной теории молекул. Покажите, что отношение обеих частот е»,,' М»М, (Л1,+М.,) в", ',М»М»(М -)-М",)») и определите поназатель степени й. Сравните это выражение с выражением (37а), которое оппсывает изотопический эффект для колебательных уровней, 8, Рассмотрим «типичный» кристалл, построенный из атомов с атомной массой .4, который имеет форму куба с длиной стороны й.
Оцените порядок следующих величин: а) низшая резонансная частота коле- баши! кристалла; б) высшая резонансная частота. Запишите результат в такой форме, чтобы зависимость частот от фундаментальных констант а, В=тйз! и Р й.'п»с», а также от констант А и ?У Е!а«(ૠ— боровский радиус, М вЂ” масса Р протона) была ясно андна. в) Рассмотрите численныс примеры и получите для них частоту в мегагерцах. 9.
В п. 50 гл. 2 было указано, что в принципе отношение с«?с скорости звука в кристалле с» к скорости света с можно выразить через следующие четыре константы: постоянную тонкой струитуры с»=!!!37, отношение масс электрона и протона ()" т/Мд, атомную массу А и атомный номер Л атомов кристалла. Точное вычисление отношения с ?с — задача сложная, но порядок величины и характер зависимосги от констант а, )) и А оценить нетрудно. Выполните такую оценку и проверьте полученную формулу и случае меди (А=63,5; с» =4700 м?с). 10. а) Мы отмечалн, что для потенциала )7(г), показайного на рис.
303, расстояние между соседними уровннми уменьшается с увеличением каантового числа л. Дайте этому качественное объяснение. б) Начертите параболу, соответствующую потенциалу для строго гармонического осциллятора. На том же графике начертите две потенциальныс кривые, сн»~»«етричные по отношению к началу, отвечающие «почти гармоническам» колебаниям, причем радиус кривизны всех трех кривых в начале координат (где потенциал имеет минимум) должен быть одинаков.
Эти две кривые должны быть такими, чтобы для первой из них расстояние между соседними уровнями энергии созда«тало с ростом кпантоного шола п, а для второй 7»,пеньи»плесь. Как объяснить ?казанные свойства обеих кривых? 11. В и. 47 было показано, что уровни энергии дважды ионпзованного лития получаются простым изменением масштаба ) розней однокршно иопизовапного гелия, причем коэффищ~ент подобия близок к 0 4 Оба иона представляют собой нодородоподобныс одноэлектронные слетел«ы. Исходя из таких же соображений, автор хотел бы доказать, что уроннн энергии однократно иопизованного лития также можно получить изменением масштаба из уровней нейтрального гелия, ибо оба атома представляют собой днухэлектранную систему, отличающуюся лишь зарядом ядра.
Инымн словами, отношение длпп воли соотаетствующих спектральных линий должно быть постоянным, как в случае дважды ионизованного лития. Одаако опыт не подтверждает это предположение. Оба атома имеют несыта похожую схему уровней, которые не могут тем не лгенее быть совмещены изменением масштаба, Объясните, почему простые масштабные оображення, справедливые для одноэлектранных систем, перестают работать для двухэлектронных систем. 12. Среднее время жизни 2р состояния водорота равно 0,16 10-» с.
Чему равно это время для 2р-состояния однократно нонизованно о гелия? 13. Чему равно среднее время жизни 27-состоян. я мюонного атома, образованного при захвате отрицательного мюона ядром алюминия? 14. Вычислите длину волны фотона, испущенного пшенным атомолг алюминия при переходе из Зз- в 2д-состояние. 15. Найдите «боровский радиус» для: а) мюонного атома алюминия; б)мюонного атома свинца. Сравните эти величины с радиусами ядер. Если «боровский радиус» сравним с радиусом ядра, то последнее нельзя больше считать точечным зарядом и уровни энергии мкюнного атома не могут быть точно описаны формулой подобной (46»Ь).
Дейстннтельно, из эксперимента следует, что уровни энергии тяжелых мкюнных атомов сильно отклоняются от уровней, предсказываемых фор- 339 мулой (466) Систематическое изучение этих отклонений позволило сделать определенные выводы о распределении заряда в ядрах и об нх размерах. )6 *). Попытайтесь доказать теорему Эренфеста, упомянутую в п. 56, следуя намеченному там ходу рассуждений (см, также п. 50 гл. 7). )7 '). а) Примените теорему Эренфеста к гармоническому осциллятору, для которого потенциал имеет вид У(х) .=-(К!2) х"-, и получите два дифференциальных уравнения, которым удовлетворяют Ач [х(Г)] и Ач [р(0].
Решите эти уравнения и выразите Ач [х(Г)] через Ач [х(0)] и Ач [р(0)]. Сравните полученные решения с решениями соответствующей классической задачи. б) Для стационарного состояния Ач [х(г)]=0, но для нестационарного состояния Ах [х(г)] в общем случае представляет собой осциллнрующую функцию времени. Имея в виду рассуждения п. 27 и результаты части а) этой задачи, приведите доводы в пользу того, что расстояние между соссднимн уровнями энергви гармонического осцнллятора постоянно и равна /»)г К7гп. Заметим, чта из рассуждения п. 27 следует, что зто расстояние должно быть приблизительно постоянно, но в действительности оно строго постоянно и равно й У' )(/ш.
(8. Рассмотрим двухатомную молекулу в виде «гантели». Вращательное возбуждение такой молекулы было рассмотрено в п. 38 — 40. Предположим, что центр зарядов молекулы не совпадает с ее центром масс. Молекула будет иметь электрический дипольный момент, который будет вращаться. Классически следует ожидать испускания электромагнитного излучения, частота которого равна классической круговой частоте ы«. Квантовая механика дает для нашей молекулы уровни энергии, выражаемые формулой (39с). Разумно предположить, что квантовое число /меняется на единицу, когда молекула испускает илн поглощает квант дипольного излучения.
Выразите частоту испускаемого излучения через квантовое число /момента импульса начальнога состояния молекулы и сравните полученный результат с классической формулой. Мы ожидаем, что при больших значениях / будет достигнут «классический предел». Верно ли это) Дополнительная литература Кроме книг, пркведенпых в библиографии к гл.
7, укажем следующие: Ферми Э. Молекулы н кристаллы.— М.. ИЛ, )960. Борн М. Атомная физика.— Мл ИЛ, !960. *) Эти задачи относятся к дополнительной теме. ГЛАВА З ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ И ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Процессы столкновения и волновая картина 1. В последней главе книги мы рассмотрим некоторые аспекты той области современной физики, которая имеет дело с элементарными частицами и их взаимодействиями. Эта часть физики фундаментальна по своему значению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
