Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Эффективное сечение вблизи направления вазад 1т. е. для соз Е, близкого к — 1) показано справа в увеличенном масжтабе осн абсцисс. Приведенные данные относятся к положительным и отрюгвтельным пионам !Ргобел !Г. и. е! п1 Васциагб Е)аз))с зса1!еггпб о1 Н)ИЬ-Епег«у Р1опз Ьу Рго!опа.— РЬуз. Иет. ).е11, 1965, т. 1б, р. 313) ы — энергия *), С вЂ” нормировочная константа. Волна дифрагирует на частице В.
Можно догадаться, что волновая функция, описывающая дифрагировавшую волну на очень болг!лом расстоянии от начала координат, имеет вид ф,(х, !) жС)(9) х 'ехр(!хр — !Ь)1); здесь х — расстояние от начала координат; р — первичный импульс, так что х=!х~ и р=-~)в!1. Функция 1(9) зависит от угла 9 между направлениями вектора первичного импульса рг и вектора положения х (проведеиного от начала координат в «точку наблюдения»). ') )Ны пользуемся системой единиц, в которой $= 1, Рассмотрим некоторые свойства волновой функции ф„чтобы выяснить, при каких условиях она может соответствовать рассеянной волне.
Амплитуда рассеянной волны пропорциональна амплитуде С приходящей волны, и наша догадка согласуется с разумным предположением о линейности системы. Частота в рассеянной волны совпадает с частотой приходящей волны, что означает сохранение энергии частицы А. Этого и следует ожидать для упругого рассеяния, когда положение частицы В фиксировано. Множитель ехр (1хр — йо1), очевидно, описывает сферическую волну, распространяющуюся наружу. Фазовая скорость в любой точке направлена от начала координат вдоль радиус-вектора. Именно таким свойством н должна обладать волна, испущенная рассеивающим центром.
Множитель х ' в (11Ъ) описывает уменьшение амплитуды рассеянной волны с расстоянием. Интенсивность волны пропорциональна квадрату модуля волновой функции. Интенсивность рассеянной волны измеряет поток вероятности, выходящий из начала координат (или, если угодно, поток частиц в последовательности повторяющихся опытов), и эта величина должна меняться с расстоянием, как х '. Поэтому сама амплитуда должна быть пропорциональна х ', как мы и предположили. 12. Из простых физических соображений следует, что волновая функция, описывающая рассеянную волну, имеет внд (11Ь). Функция 1'(0) называется амплитудой рассеяния. Очевидно, что она описывает угловое распределение рассеянных частиц.
Мы хотим связать амплитуду рассеяния с дифференциальным эффективным сечением. Представим себе поверхность сферы радиусом х с центром в начале координат и рассмотрим небольшую часть йР этой поверхности, содержащую точку х. Вероятность йР того, что испытавшая рассеяние частица пройдет через площадку йР, пропорциональна произведению ЙР на квадрат модуля волновой функции ф,(х, 1). Таким образом, др-й(ф,(х, 1)( йр=й(СР ()(йи х-.-йР, (12а) где я — некоторый фиксированный коэффициент пропорциональности. Величина аР/х'=дй равна телесному углу, под которым малая поверхность йР видна из начала координат.
Поэтому йр А~С~ ~1(Е)~ йа; (12Ь) йр — вероятность рассеяния частицы в конус с малым пространс1- венным углом й(г. Рассмотрим теперь падающую волну (11а). Представим себе диск единичной поверхности, перпендикулярный к импульсу р; падающих частиц, центр которого находится в начале координат. Вероятность того, что первичная частица пройдет через этот диск, равна Р =й!ф !' = Й~СР, (12с) где я — та же постоянная, что и в (12а) и (12Ь) 352 Рассмотрим теперь последовательность повторяющихся опытов по рассеянию (где импульс частицы А в каждом опыте равен р;). Отношение числа частиц, рассеянных в конус, обнимающий телесный угол Л»1, к числу частиц, падающих на единичный диск, равно отношению вероятностей (12а) и (12с): «(Р1Р « = ) 1" (9) ~' «Ы.
(129) Вспоминая то, что было сказано в и. 7 о дифференциальном эффективном сечении, мы видим, что отношение «1Р~Р, равно произведению дифференциального эффективного сечения на телесный угол (11, и получаем, что дифференциальное эффективное сечение просто павно квадрату модуля амплитуды рассеяния: п,(9) = ~У (0)~ (12е) 13. Чтобы нанти теоретическое выражение для амплитуды рассеяния 1(9), иам следует, разумеется, иметь явное решение нашей дифракционной задачи. Это означает необходимость найти решение уравнения Шредингера или, возможно, другого уравнения, более подходящего к рассматриваемой задаче, В нашей модели мы должны найти решение уравнения Шредингера с потенциалом, действующим на частицу А вследствие присутствия частицы В.
Волновые уравнения квантовой механики имеют бесконечное число решений, и мы должны выбрать из них одно, описывающее опыт по рассеянию. Условия, налагаемые на искомое решение, заключаются в том, что на больших расстояниях от начала оно должно иметь вид ф(х, 1) жС ехр((х р,— 1и1)+С1(0) х 'ехр(1хр — и»1). (1За) Такая форма решения означает, что далеко от рассеивающего центра существуют плоская «падающая волна» и расходящаяся рассеянная волна. Мы не будем пытаться решать здесь эту задачу. Можно доказать для весьма общих условий, что при люоом заданном импульсе существует единствснное решение волнового уравнения, имеющее асичптотическую форму (13а).
Таким образом, для данного импульса и заданного взаимодействия (потенциала) амплитуда рассеяния однозначно определена. Она зависит от импульса Р, и'можно, следовательно, записать ее в виде 1(Р; 9). Если амплитуда рассеяния найдена, то известно и дифференциальное сечение рассеяния (12е). 14. Рассмотрим частный случай, имеющий большое значение. Пусть амплитуда рассеяния не зависит от угла рассеяния 9, т. е. 1(0) =1 =сопз1. В этом случае дифференциальное сечение рассеяния постоянно, п«(9)= — 1~Д«=сопз1, и угловое распределение рассеянных частиц сферически симметрично.
Такая ситуация характерна для рассеяния при малых энергиях. Нетрудно дать качественное объяснение этому явлению. Угловое распределение может быть быстро меняющейся функцией угла 0 в том случае, когда длина волны первичной частицы меньше размеров «объекта», на котором происходит дифракция. В дифракции принимают участие все «части» объекта, каждая из которых посылает свою дифрагировавшую 353 волну.
В зависимости от относительной фазы этих волн в определенных направлениях будет происходить конструктивная или деструктивная интерференция. Если длина волны меньше размеров объекта, то небольшое изменение направления рассеяния может оказать значительное влияние на относительные фазы, что приведет к быстрому изменению дифференциального эффективного сечения с углом О. Если же длина волны велика по сравнению с размерами объекта, «геометрические» интерференционные эффекты отсутствуют и амплитуда рассеяния лишь медленно меняется с углом.
В предельном случае малых энергий, когда длина волны много больше размеров рассеивающего объекта, амплитуда рассеяния от угла пе зависит и рассеяние сферически симметрично. 15. В случае )0)==1'=сопз1 рассеянная волна ф, (х, 1) =(С)!х) ехр(!хр — йог) (15а) связана с первичной волной только через параметр С, равньш амплитуде падающей волны.
В частности, амплитуда рассеянной волны не зависит от направления импульса р!. Этого и следует ожидать, если рассеиваю!ций объект много меньше длины волны. Заменим теперь плоскую волну (11а) ее средним, взятым по всем возможным направлениям р!. Мы рассматриваем, таким образом, новую задачу о рассеянии, в которой падающая волна имеет вид ф!«(х, 1) = — ) «(Й С'ехр (!х уг — !со(). 1 Г О Этот интеграл легко вычислить, если за угол О между векторама! х и р1 взять полярный угол вектора 1»,.
Получаем ! ф1„(л, 1) = — ) !1!0~ аОз(п О Сехр(!лрсозΠ— !То() = 4л,) о о = — (ехр (!хр) — ехр ( — !хр)1 ехр ! — !«ог). (1ос) с,,, . г 2!хл Если рассеянная волна не зависит от направления первичного импУльса, то пеРвичнаЯ волна фм обРазУет и!11 же самУю Рассевнную волну, что и плоская волна (11а). Мы можем считать волну л(о« сферически сил!л!е!причной частью падающей плоской волны. Лишь это часть падающей волны создает сфернчески симметричную рассеянную волну ф„определяемую формулой (15а). 16.
Сферически симметричная часть приходящей волны имеет интересную форму. Рассматривая выражение (!5с), замечаем, что оно является суммой рпсходян(ейся и сходящейся волн. Плоская волна «содержит» две такие волны, потому что опа описывает как движение частиц к началу координат, так и движение, направленное от начала. Амплитуды обеих волн равны. Так и должно быть, пбо в противном случае выходящий поток отличался бы от входящего. Мы рассматриваем упругое рассеяние (в котором число частиц А сохраняется), и оба эти потока частиц А должны быть равны. 354 Рассмотрим тепеРь среднее значение (по сфере) в кения (13а) для случая 7(О)=/=сои»(: ф„(х, /) = 1м(х, /)+ р, (х, /) = с 1(1-, 2//р) ехр (юхр) — схр( — »хр)1 ехр ( — !«в!).
(! 6а) Это выражение можно интерпретировать как асимптотическую форму волновой функции, описывающей рассеяние в условиях, когда сферическая волна !16«играет роль падающей волны. Из (16а) следует, что волна ф,(х, /) также состоит из сходящейся и расходяшейся волн. Если происходит упругое рассеяние, то модули амплитуд обеих волн должны быть равны, что приводит к важному ус- ловию !1-;2!р/! =- 1 (16Ь) для амплитуды рассеяния Об!цее решение уравнения (16Ь) удобно записать в форме = — (е" — 1), ! (! 6с) 2кр где б — некоторое веи!ееглвенное число. Величина б носит название 4»озового сдвига (в-волны). В общем случае б зависит от импульса р. 17.
Выясним, как велико может быть эффективное сечение для сфернчески симметричного упругого рассеяния. Дифференциальное эффективное сечение равно !/!», а полное эффективное сечение о, получается интегрированием дифференциального эффективного сечения по всем направлениям. Таким образом 1имея в виду (16с)1, получаем а =(и/р«) ) егм — 1!». (17а) При заданном р это выражение максимально, если б= (и+1/2)п, где п — любое целое число: (о,),„= 4п/р'. (17Ь) Эта формула написана в системе единиц, где Г»=1. «Восстановить» постоянную Планка очень просто.
Она должна быть возведена во вторую степень и стоять в числителе, так как эффективное сечение имеет размерность площади. В системе СГС или СИ (а,),„= 4п (Й/р) '-. (17с) Таким образом, максимальное значение эффективного сечения для упругого и сферически симметричного рассеяния равно произведению 1/и на квадрат длины волны де Бройля первичной частицы. При малых импульсах это эффективное сечение может быть весьма велико. На этой основе легко понять с точки зрения волновой картины рассеяния большие эффективные сечения, о которых мы упоминали в п. 6 и которые, возможно, поставили читателя перед рядом трудностей. 18. Как мы сказали, фазовый сдвиг б зависит от первичного импульса р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
