Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 84
Текст из файла (страница 84)
(52Ь) и Совершенно аналогично формулам (49с) — (49е) найдем неопределенность Лр значения импульса: Лр =- ~/ Ач (р — р)'-', (52с) (Лр)' = Ач [(р — р)'1 = Лч (р') — [Ау (р)]', (523) где р--Л~ (р). Заметим, что те же соображения, которые привели нас к определению среднего значения импульса [формула (51с)), применимы и к определению среднего значення р» (формула (52Ь)). 53. Рассматривая выражения (49а), (49Ь), (491), (51с) и (52Ь), мы замечаем, что их структура одинакова: среднее значение квантовомеханической переменной Я определяется выражением » Ач(«Е)=(ф1«Е1ф>= ~ дхф'(х) Я»('(х); (53а) ф здесь «е — либо дифференциальный оператор, действующий па расположенную справа от него волновую функцию, либо переменная х или х', либо некоторая функция от х.
Формула (53а) выражает общую схему, с помощью которой определяется квантовомеханическая переменная в теории Шредингера. Среднее значение переменной Я равно интегралу в правой части (53а), где Я вЂ” некоторый линейный оператор, действующий на расположенную справа от него волновую функцию. (Для переменной координаты линейный оператор представляет собой «умножение на х».) Далее, среднее значение Я» получается заменой в интеграле оператора Я оператором «е-'. При этом 1е»ф(х) представляет собой результат повторного действия оператором Я на функцию ф(х).
54. Рассмотрим новые примеры, иллюстрирующие эту идею. Кинетическая энергия Е„частицы с массой т описывается дифференциальным оператором 2т 2 и дх»' (54а) Нолиой энергии частицы отвечает оператор Н, представляющий собой сумму операторов кинетической и потенциальной энергий. В теории Шредингера оператор энергии имеет вид Н = — +1'(х) = — — —, +)г(х), в согласии с рассуждениями п. 10 этой главы. 55. Читатель мог заметить, что до п. 51 у нас не было ясного понимания смысла импульса в теории Шредингера. Пока мы имели дело с волновой функцией вида ехр()хрМ), было ясно, что р в экспоненте представляет собой импульс.
Мы должны были, однако, 334 определить импульс р для обгцего случая любая 1нор ровацнои) волновой функции Шредингера, и именно это было сделано соотношениями (5!с) и (51г(). Возникает вопрос: можно ли определить понятие импульса иначе? Тщательное исследование проблемы показало, что наше определение является единственным. Лишь оно удовлетворяет тому требованию, чтобы квантовомеханпческая переменная импульса имела физическую интерпретацию, находящуюся в соответствии с понятием об импульсе в классической физике.
56. Разумный характер определения (51с) среднего значения импульса может быть подтвержден следующей теоремой, принадлежащей Г1. Зренфссту, Мгя приведем ее без доказательства ч). Средние значения квантовопеханических персменныхддовленворяют те еке уравненияледвижения, что и соответствующие классические пере.т'нные. В частности, из этой теоремы следует — нйт (х) = — Лч (р), И, . 1 (56а) — Ат (р) = — -1»ч д, /В)/(х) ') (56Ь) о1 е)х если только волновая функция Шредингера ф(х, 1), для которой вычисляются указанные выц~е средние, удовлетворяет уравнению Шредингера Р!ф ( 1) . 1!1 вф (» ') (56с) где !! — дифференциальный оператор (54Ь). Шредпнгеровская волновая функция ф(х, 1) зависит от времени 1, и эта зависимость описывается уравнением Шредингера (56с).
Отсюда средние значения х и р также зависят от времени, и нетрудно доказать, что эта зависимость удовлетворяет уравнениям (56а) и (56Ь). Действительно, нужно произвести дифференцирование под знаком интеграла, определяющего интересующце нас средние. Затем следует исключить производные по времени от ф и ф* с помощью уравнения Шредингера (56с) н сопряженного ему уравнения. После интегрирования по частям и группировки членов получаем результаты (56а) и (56Ь). Мы не приводим этих вычислений, так как опп несколько утомительны, по вполне доступны для самостоятельной работы * *).
57. Рассмотренная теорема, которую легко обобщить на случай трех измерений, имеет большое значение для понимания основных концепций квантовой механики. Опа объясняет, в частности, почему классическая механика представляет собой предельный случай квантовой механики: обе теории эквивалентны, если можно *) ЕПгеп(е»1 Р. Вегпег)еннд йЬег Ше апеепаьег1е бй)1)я)ее)1 Вег",й)азз)»сьев Месьвнри )нпегьз!Ь оег Якзн1ентесьан1й.— Хз. 1. Рьуз., 1927, ч. 45, р.
455. **) Читатель найдет доказательство в книге: Шифф,7. Квантовая механикз.— Мл ИЛ, 1957. пренебречь неопределенностью переменных, т. е. их статистическим разбросом. Нам необходимо существование такого соответствия между классической и квантовой механикой, чтобы считать последнюю верной теорией, и теорема Эренфеста подтверждает наш выбор переменной импульса. Идея о том, что классическую механику следует считать предельным случаем квантовой механики, является содержанием так называемого пйинйипа соответствия Бора. Этот принцип имеет болыпое значение, ибо если квантовая механика претендует на полное описание явлений, то она должна описывать все физические явления, включая и те, которые имеют классическое объяснение.
Исторически принцип соответствия был ведущим принципом на ранней стадии развития квантовой механики. Он накладывал ограничения на возможные новые теории, хотя, конечно, для однозначного выбора верной теории его недостаточно. В частности, принцип соответствия позволил с самого начала скептически отнестись к правилам «квантования», которые представляли собой предписания того, как нужно перейти от классического описания к квантовомеханическому.
Очевидно бессмысленно указание следующего типа: «Чтобы найти верные (квантовомеханические) уравнения, будем исходить из неверных (классических) уравнений, снабдив их неким магическим правилом квантования». Более верный путь к истинным уравнениям физики заключается в основанной на экспериментальных фактах догадке, которая в свою очередь подвергается экспериментальной проверке. 58.
Для каждой квантовомсханической переменной Я величина ЛЯ««) Ач(Я») — (Ач Я)1', (58а) вычисленная для данной волновой функции, есть мера точности, с которой эта переменная Я известна в состоянии, описываемом волновой функцией. Переменная Я имеет в данном состоянии точное значение лишь в том случае, если ЛЯ=О. В качестве примера рассмотрим переменную энергии Н. Ее значение точно задана для каждого стационарного состояния и равно Š— энергии этого состояния. Для нестационарных состояний ЛУ)0. Прцнцпп неопределенностей накладывает ограничение на точность, с которой одновременно могут быть известны две различные переменные, Он имеет форму неравенства, связывающего ЛЯ' и ЛЯ" для двух переменных 0' и Я".
Равенства (49е) и (52«() дают нам определение величии Лх и Лр соответственно. С их помощью можно проверить, что соотношение Лхе Лр Ь!2 (58Ь) действительно выполняется для всех волновых функций и что существуют волновые функции, для которых соотношение (58Ь) имеет вид равенства. Мы не будем производить этих вычислений, так как и без них приобрели достаточно ясное качественное понимание смысла соотношения (58Ь). 336 Задачи 1.
а) Вернемся к задаче а частице в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (рис. 4А). Рассмотрим волновые функции (выражение (бЬ)) для л'=17 и л"=18. Начертите график плотности вероятности [выражение (бс)), вычислив ее для моментов времени 1=0, /=1»Г4, /=/»/2, /=3/»/4 и /=Г», где /»=4гпа«/35яп'. Этот график демонстрирует периодическое движение частицы между стенками. Период движения равен 1». б) Рассмотрите движение классической частицы с массой т и энергией Е»= =-(1/2)(Е»,+Е,») в той же потенпиальной яме и сравните период движения с периодол« /». в) Волновой пакет в части а) задачи не слишком концентрирован. Фактически ои занимает около 1/2 размера ямы.
Чтобы образовать хорошо локализованный в пространстве волновой пакет, лучше представляющий свойства классической частицы, необходима суперпозиция большого числа собственных функций. При этом, чем точнее определено положение частицы, тем менее точно известны ее импульс и энергия. Заметим, что энергия л-го уровня пропорциональна л', тогда как разность энергий соседних уровней приблизительно пропорциональна п.
Волновой пакет с высокой средней энергией может поэтому быть суперпозицией большого числа собственных функций, обеспечивающей как локализацию частицы, так и небольшой относительный разброс энергии. Мы встречаемся здесь с другим примером перехода к нлассическому пределу. Волновой пакет а потенциальной яме может вести себя подобно классической частице, если его средняя энергия высока по сравнению с энергией основного состояния. Мы не станем рассматривать здесь в подробностях условия перехода к классическому пределу.
Остановимся, однако, на одной стороне проблемы. Пусть п'=п и и'=л+1. Найдите период движения пакета, соответствующий суперпозиции (6Ь), и сравннте его с периодом для классической частицы, э»:ергия Е которой такова, что Еа+»~Е.~Е„. Перейдите, в частности, к пределу л- о«. 2. Обдумайте, справедливы ли приведенные ниже рассуждения автора (они похожи на некоторые попытки «объяснения» квантовой механики, встречающиеся в популярной литературе). Плотность вероятности Р(х)=)ф(х, Г))»для сшакионпрного состояния, представленного волновой функцией «р(х, Г), может быть понята как среднее по времени от плотности вероятности для классической частицы, движущейся в там же потенциальном поле с энергией, равной энергии стационарного состояния. Иными словами, частица движется по классическим законам, но если усредннть это движение по времени, которое велико по сравнению с периодом движения, то получим плотность вероятности Р (х).
В случае трехмерного движения частицы, например для электрона в атоме водорода, мо>кно дать аналогичную интерпретацию квадрата модуля волновой функции стационарного состояния. Частица движется класси ~есин, но наши измерительные приборы слишком грубы, чтобы уследить за подробностями этого движения, поэтому мы наблюдаем распределение вероятностей для электрона в атоме, которое может быть понято как результат усреднения классического движения по большому интервалу времени. Читатель заметит, что это утверждение, понятое буквально, может быть немедленно отвергнуто. Поэтому автор немного отступит назад: он скажет, что данная нм интерпретация квадрата модуля волновой функции не является строго корректной, но тем не менее она дает удобный способ размышления о квантовомеханнческой природе частицы и позволяет проникнуть в происходящее.
Оба эти утверждения, наивное первое и измененное второе, должны быть безусловно отвергнуты, и читатель должен объяснить, почему. При этом следует еще раз обдумать рассуждения, приведенные в начале этой главы, а также «опыт с двовной щелью», рассмотренный в гл. 4 и 5. 3. Интеграл (22а) вычислен в пределах от — а до +а. Предпотожим, что мы интегрируем от †«о до +«о. Как такой интеграл зависит от времени 1 и чему он равен при 1=0? 4. Мы должны убедиться в том, что потенциал притяжения не обязательно приноднт к связанному состоянию. Для этого обратимся к рисунку. Пусть В— глубина ямы, а — ее ширина, ш — масса частицы. Покажите, что если величина 6=а»Вт/я»меньше определенной величины 6», то связанное состояние отсутствует, а если 6>6», то будет по меньшей мере одно связанное состояние. Найдите велн- 337 чину бе. Заметьте, что это рассчждеппе относится к яме, одна стенка которой бесконечно высока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
