Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 79
Текст из файла (страница 79)
е. от — а до +а. 22. Если попытаться решить ту же задачу для ситуации, показанной на рис. 20А, при тех же начальных условиях (21а), то окажется, что решение не будет иметь вида (21Ь), хотя оно к нему близко. Действительно, получив зависящую от времени волновую функцию ф(х, 1) для задачи па рис. 20А, мы нашли бы, что вероятность Р(1) не остается постоянной, а имеет вместо (2!с) следующую приближенную зависимость от времени: «а Р (1) = ~ йх1ф'(х,'1) ~«ж Р (О) ехр ( — 1(Т), (22а) — < где Т вЂ” положительная постоянная, имеющая размерность времени. Подчеркиваем приближенный характер формулы (22а): она пригодна для не «слишком больших» времен Е Доказательство приведенного результата завело бы нас слишком далеко.
Ограничимся поэтому лишь тем, что покажем его правдоподобность. Результат (22а) можно интерпретировать следующим образом. Если частица в момент 1=0 находится в <яме» и ее энергия близка к Е„то она может покинуть яму. Если Т велико (случай большой ширины ямы Ь), то частица будет долго находиться в яме и мы имеем приближенно стационарное состояние. Время Т есть среднее время жизни состояния. При Ь, стремящемся к бесконечности, Т также стремится к бесконечности и состояние становится строго 312 21. Рассмотрим, как зависит в обоих случаях шредингеровская волновая функция ф(х, 1) от времени. Предположим, что в момент 1=0 эта функция идентична четвертой собственной функции, показанной на рис. 19А. Ей соответствует собственная энергия четвертого уровня Е;=0,16В.
Иными словами, ф(х, 0)=~р«(х), (2!а) где волновая функция «с«(х) — та волновая функция, которая показана на уровне Е, на рис. 19А и повторена на рис. 20А, Заметим, что за пределами ямы эта функция быстро стремится к нулю. Легко получить решение задачи на рис. 19А для зависящего от времени уравнения Шредингера (ЗЬ) при начальных условиях (21а). Поскольку функция «р«(х) является собственной функцией дифференциального оператора Шредингера, то сразу же имеем ф'(х, 1) = ~р,(х) ехр ( —;ЙЕ,!Й), (21Ь) так как состояние ~1~(х, 1) стационарное.
Теперь можно написать выражение для вероятности Р (1) того, что частица находится внупгри ямы: Ю, Люъ. «реву)вега 313 стационарным (рис. !ЙА). Если Ь стремится к а, то время Т уменьшается и в пределе Ь=а «состояние» с энергией Е, теряет свой смысл квазистационарного состояния. Полученный результат объясняет, почему на рис. 2ОА уровень с энергией Е, находится внутри непрерывного спектра: он соответствует приближенно стационарному состоянию. Такие уровни часто называют виртуальный(и уровнями энергии. Качественно результат (22а) можно понять как следствие проникновения через барьер, рассмотренного в гл.
7. Частица с энергией Е„помещенная в яму, осталась бы в ней согласно -угу4 л' 'х вхвхвх,:,т °,' -у4)уб классической механике намеханики дело обстоит ипаче: частица может выйти с одной или другой стороны ямы. Чем шире барьер, тем уввввлулвй а. дольше он удерживает частицу и тем больше время Т. При очень больших Т час ица многократно удар~~~ бли ениого Вкб-.гесиода. Чтобы най~и (л((ре Ся О СТЕНКИ яМЫ И ЕЕ ПО- состояние (т. е, л-е всабуждениое состояяие). подбираем такое знаеенве эвергии, чтобы меж. ВЕДЕНИЕ ПРИбЛИжЕННО ОПИСЫ ду классияескими точками поворота уместнвается О " ,Ь - лось л-(-Ч, «полуволи». Местная (локальиая) фу длина вовйы определяется полной энергией и стационарного состояния.
потеюгиалом в данной точке. Волновая фуяк- Иия ф(х) (меэкду тсякамн поворота) показана 23. До сих пор задача для шестого возбужденного состояивя: яяд тояИНХОЖТЕНИя СТЯНИОНарНЫХ ками поворота и тояками прохождения валко- | р иоп функции через нуль указаны фазм, |(х). СОСтОяНИЙ Каждый раэ сво- з данном слуяае полное изменение фазы'меж- ду тояквми поворота удовлетворяет )словим дилась к подгонке осцил- Д) (л-~-Ч»)п=(б+С,)п лирующей волновой функции в двух классических точках поворота. Волновая функция основного состояния имеет один экстремум и ни одного нуля. Волновая функция следующего состояния обладает двумя экстремумами н однажды проходит через нуль.
В общем случае волновая функция т-го состояния имеет т экстремумов и т — ! нулей. Для обозначения квантового состояния будем пользоваться квантовьв| числом и, равным числу нулей волновой функции. Таким образом, квантовое число основного состояния будет н» О и и-евозбужденноесостояние имеет квантовое число п.
Волновая функция, Отвечающая квантовому".числу п, имеет л+ 1 экстремумов.с( Опишем теперь приближенный метод определения уровней энергии частицы в потенциальной «яме», показанной на рис. 23А сплошной кривой, Штриховой прямой показана энергия Е„ шестого возбужденного состояния, а осциллирующая штриховая кривая соответствует волновой функции этого состояния.
Волновая функция вычерчена лишь для области между точками поворота х, и х, [которые определены условиями 7(хз)= )г(х,)=Е,). За пределами этого интервала волновая функция асимптотическн приближается к оси х. 21. Предположим, что мы пытаемся представить волновую функцшо. показанную штрнховои кривой на рис. 23А, в виде гг(х)=-А (х) зпт')(х); (24а) здесь А ~х) — положительная амплитуда; ~(х) — фаза, вюнотонно растушая при увеличении х.
Каждый раз, когда значение фазы ~(х) ста.-" вптся равным Йп (где й — целое число), волновая функция проходит через нуль. Рассмотрим изменение фазы Лг' волновой функцш. между точками поворота Л( =-)' (х,) — ~ (х,). (24Ь) Из рпс. 23А следует, что изменение фазы волновой фупкппп глизко к (бл-', 1п. Это наводит нас на мысль, что для гслнстой и" нкции п-го с".т;янпя изменение фазы ~(х) между точказ:и по~ с-о(а бздет блн.-ко Л)„(п+',,'') и, (24с) Лы выбралн выражение (24с) для удобства, чгсбгп и.
сть п(сетую форм л;. Более корректно было бы наш:сгт, ь";.:::.: ~п,со для рази ... *. фаз: (и-В1) п)Л~„)пп, (244) в спрзгедлпвости которого читатель легко убедится. Обождаясь к рпс. 4й, а, мы видим, что в данном случае реализуется вор пгпй прелат: еравенства (24б), с(ля третьего возбужденного состоян..я на рпс. 19А мы оказываемся близки к нижнему пределу. Выражение (24с) является, таким образом, некоторым приближением. 25. Пзстараемся теперь получить приближенное выражение для изменения фазы волновой функции в зависимости от энергии Е. Рагсиотрпм сначала 'область, где потенциал постоянен и(равен В зтом случае, если Е- 7, волновая функция имеет внд <р (х) =А'з1п [(х — х,) рай); (25а) здесь Л и х, — постоянные, а импульс р = 1' 2ог (Š— К) .
(25)и Сравнивая (25а) и (24а), находим 1 (~) = (х — х,) (р~л). (25с) При смещении вправо на расстояние"пх изменение фазы оказывается равным 4 = (р~Б) дх = й ' 1' 2т (Š— )г) дх. (25с~) Предположим, что выражение (254) дает приближенное значение изменения фазы и в том случае, когда потенциал р (х) не постоянен и зависит от координаты х. Такое приближение выполняется тем лучше, чем медленнее меняется потенциал 1г(х).
В таком прибли- 314 женин полное изменение фазы между точками поворота х, и х, равно х, Л) = ~ — „йх ж гь ' ~ ((х 'ьг 2т ~ Š— г' (х)). (25е) х, Применим полученный результат к случаю (и+1)-го стационарного состояния с энергией Е=Е.. Полное изменение фазы тоже приближенно равно (и+(лв)п (см. (24с)), и, приравнивая выражения (25е) и (24с), получаем ~ (сх)ь 2т1Е,— )г(х)1 (ьь+1(2) п1ь. (25() л, 26.
С помощью уравнения (251) можно определить энергию Ех для (и+1)-го стационарного состояния. Прежде всего необходимо найти точки поворота х, и х, в зависимости от энергии Е; решив для этого уравнения )г(х,) =)л(х,) =Е, х,. х,. (26а) Обозначим",соответствующие решения" через'х,(Е) и хе(Е). Затем вычислим интеграл хл (е( д(Е)= ~ йх) 2т(Š— -р(х)1, (26Ь) л; (ЕЬ который даст нам функцию д(Е). Наконец, чтобы получить энергию Е„решим уравнение д(Е) =- (и+ глг)гсй, (26с) *) По имени его авторов" Вентц«ля, Крамерса н Брюллннна (см., например: Кгалнгг» Н.
А. 'йьеИепп(есь(нпй нп(1 Ьв!кваш(де ((нап(1«(егнпе.— 2». 1. Раув., 1926, и. 39, р. 828). 818 где п=О, 1, 2, Игак, мы рассмотрели приближенный метод определения уровней энергии частицы в «потенцнальной яме», пример которой показан на рис. 23А. Он известен под названием БКБ-л(етода ') и во многих случаях позволяет получить весьма точные результаты. Он заведомо пригоден, если нам достаточно грубого определения уровней энергии. Рассмотренный метод основан на той же идее, что н приближение, использованное при выводе формулы (36Ь) гл. 7 для прозрачности потенциального барьера. В обоих случаях возникают интегралы одного типа.
Интересно отметить, что уравнение (251), полученное нами на основе волновых представлений, идентично так называемым квантовым условиям Бора — Зоммерфельда в старой теории Бора. Таким образом, теперь можно понять, почему эта теория столь хорошо работает в некоторых случаях и терпит неудачу в других: уравнение (251) не является строгим, оно приближенное. Гармонический осциллятор. Колебательное и вращательное возбуждения молекул 27. Применим теперь паш приближенный метод к одной из наиболее важных задач о собственных значениях, а именно к задаче об уровнях энергии одномерного гармонического осциллятора.
В данном случае потенциал Г(х) = (К12) х', (27 а) где К вЂ”. »жесткость пружины». Если ьч — — масса частицы, то круговая частота колебанпй со,, согласно классической теории, равна а»,=.1 К~т. ("7Ь; Для грименения описанного в и. 26 приближенного мстода необходим» начать с определения координат точек поворота. Онн расположены симметрично по отношению к началу координат.
и мы обозначим их через х,=- — х, и х»=х,. В согласии с (26а), имеем х„(Е) = 1 2Е~К, Е = (К72) х»Е (27 ) Теперь найдем определяемую формулой (26Ь) функцию д(Е): к, -г»„ а (Е) = 1 дх Р 2пЄŠ— $'(х)) = (,!хУ Кт (х„'— л"'). (27о) », — х, Переходя к новой переменной 0 с помощью подстановки х=х, яп О, получаем ю» д (Е) = 2 г' Кт х» ) г(0 соз» 8 = пЕ ) ' гп/К, (27е) о где х, исключено с помощью равенства (27с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
