Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 76
Текст из файла (страница 76)
чателей от энергии с»- ~астиц. Для ясности мы начнем, следуя методу, использованному т гл. 7, с особенно простых задач, которые допускают применение одномерного" уравнения Шредингера д» дт, . д — — —, ф (х, 1> + 1' (л) Ч; (х, 1) = Л вЂ” Ч (х, 1), (ЗЬ) $ (х, () = тр (х) ехр ( — 1(Е/7»), (4а) т. е. что волновая функция ф(х, 1) зависит от времени через экспоненциальный множитель ехр( — ИЕ!7»). Подставляя это решение в ') В атой главе мм работаем с системами единиц СГС или СИ.
й!атематически это уравнение гораздо проще трехмерного уравне. ния (За), а существенные особенности интересующих нас явлений сохраняются и в одномерной задаче (ЗЬ). Следует также иметь в виду, что это уравнение отнюдь не нефизично, как может пока. заться на первый взгляд: многие проблемы трехмерного движения действительно могут быть сведены к одномерному движению. 4.
Начнем с весьма простой задачи. Рассмотрим движение частицы в «ящике» длиной а с бесконечно высокими стенками. Сплопь ной кривой па рис. 4Л,а показана потенциальная энергия для этой задачи. Потенциал равен нулю для х в интервале (О, а) и обращает. ся в +о за его пределами. В п. 26 гл. 7 было рассмотрено движение частицы при наличии одной' «стенки» с бесконечно большим потенциалом. Мы нашли решение в виде моиохроматической стоячей волны. Оно описывала отражение от стенки частицы, которая могла иметь любое положительное значение энергии Е. Новым моментом в рассматриваемой ситуации является то, что движение частицы ограничено двумя бесконечно высокими <стенками» потенциала, 1)опытаемся найти решение уравнения Шредингера (ЗЬ), предположив, что оно имеет вид (ЗЬ), получаем не зависящее от времени уравнение Шредингера йз — — —,— „, р (х)= (Š— )д(хЯ гр(х). (4Ь) В п.
26 гл. 7 было показано, что в области с бесконечно большим значением потенциала и на ее браницах волновая функция обращается в нуль. В нашей задаче волновая функция равна нулю в точках х=О и х=--а и за пределами интервала (О, а). -- тс) )г(л,) н) Рнг. «д.
задача о заставе з одномерном ишаке кюкется мало реалышй физически тем не менее она является очень простой иллюстрапиеь сути шредингерозскоп тсорка ставь, ь. Рных состояний. На рис. о) показан готевниал, принимаюшнй бесконечно большое значснас з точ. ках х =-П и х=н. З этих точках волновая ф) нкпвя стапионарвого состояния долзкна Х) л тать. ся а нуль.
Это возможно лишь э том случае, если )полная) энергии птвннзп,ет ою с и' значений, покааапных па рнс. б). где ззрпт едена схема ) ! саней )покгааны лгп ь пер! ь с п, с з! оввеп) Р!а рвс. е) показаны соотастста)кшве нолногьс функпвн )сспстгшмьж 4 ь!,!.нг) для пергь;х шести стзпион Гпых состояний Внутри одномерного «ящика» общее решение уравнеш:я (4Ь) имеет вид ~: (х) =-. А ехр ()хй) + В ехР ( — )хй) (4с) где lг=) 2п)ЕАз (гЫ) а множители А и  — постоянные.
Из условия, что волновая, функция,'равна нулю прп х=-0, следует, что решение запишется в виде тр(х)=С з)п(хй), (4е) где С вЂ” не равная нулю постоянная. Волновая функция должна обратиться в нуль в точке х=а, что приводит к условию С з)п(ая)=0, или ая=-пя. (4!) Это условие определяет возможные значения )), а следовательно, и энергии Е. Принимая во внимание связь между Е и )«(см.(44))1, 301 )г=. т и сер - — ' б' ц а=а )г= Х 'л - = Ртзс гр й )а=я ),т=,г l получаем к оп«фь,,'а)е 2т (4д) где л -- целое аолохгительное число.
Только такие значения энергии Е физически приемлемы в полученном решении. Случай п=-О следует отбросить, так как при этом волновая функция всюду равна нулю, что лишено физического смысла, 5. 11так, для нашей задачи о частице в «ящикен уравнение Шредингера (Зо) имеет стационарные решения, которые экспоненциально зависят от времени, т, е.
реше+ ьа и-оо ния типа ф(х, 1) = гр(х)ехр ( — 11Е/ак).Такие решения возможны лиигь тогда, когда энергия принимает одно из дискретных я л значений Е,, Еь .„, Е„, „., равное к«як (й/а) е Ен= здесь и — положительное целое число. Нормированная *) волновая функция г(г„(х, 1) для л-го возможного значения энергии Е„ имеет вид 2 . ннх / гиЕнт (х, 1) = 1 — з1п — ехр ( — — "71 (5Ь) в интервале (О, а) и обращается в нуль за его пределами. (Легко проверить, что эта волновая функция нормирована к единице: интеграл от 1ер„(х, 1) ~ « =(2/а) з)не (апх/а) л=/ 302 Рпс.,'Х, П нын" ыыс н! Нос, В Првдсяак От Нуля ДО а Раваи ЕДИНИЦе. пы и епнн т нпг(! ы/оп« пынн На схеме уровней, изображенной на рис.
4А, б, указаны первые шесть возгнп К..сп., и: огпс нннен ос попрек, г: с,:гг о: ю г ггс)п МОЖНЫХ Зиангиий ЭНЕРГИИ Ео ° На рИС. 4А, в приведены соответствующие волновые функции гр„(х), которые равны волновыц функциям фн (х, 1) при 1=О. На рнс, 5А оба рисунка совмещены. 6. Обратимся теперь к вопросу о различии лежду стационарными и несгацпзнарными решениями уравнения Шредингера (ЗЬ). Рассмотрим сначала и-е стационарное решение, определяемое волиово."1 )!ункцией (5Ь). Она нормирована к единице, поэтому квадраг ее модуля дзет плотность вероятности Р,(х) обнаружить частицу вблизи точки х. Находим Рн (х) = ~ф„(х, 1) 1«=(2 а))з1п'(пах/а) (ба) *) О норнкровке нерецннгеронскнк волновых функцнй см, н.
49 гл. 7. внднгри интервала (О, а) и Р„(х) =-О вне еео. Из выражения (Оа) следует, что для стационарного решения плотность вероятности не зависит от времени. Рассмотрим теперь нестационарное решение, Поскольку уравнение Шредингера (ЗЬ) является линейным дифференп«альным уравнением, то линейная комбинация любой пары его решений будет новым решением. Это новое решение удовлетворяет тем же граничным. условиям ф(О, г) —.г( (а, г) — О, есл«им удовлетворяют ооа исходных решения. Таким образом, можно сделать вывод, что, в согласии с принпипом суперпозпции, любая .гинейная ко»гбггнацггя стапионарньгх решен«й (5Ь) дает новое физически прие«немое решение.
с1тобы понять, как ведет себя такая линейная комбинаш;я решегггггг. рассмотрим следующий частный случай: ф (х, 1) = ~' 1(2 ~г1:,« (х, () « ф,,„ (х, (Я, (6Ь) где, разуьгсегся, и'чьн". Заметим, что написанное решение уравнения Шредингера также нормировано к единице (для всех значений 1). Действительно, плотность вероятности Р (х, г), соотзетсгвующая решению (6Ь), равна Р (х 1) =- ~ г(: (х 1) г' = — ) зги' ( —"- ) + з(п«( — ) + +2з1«( — ) з(п'( — )соз — — "' — —" —" ~.
(6с) Интегрируя зто выражение от нуля до а, читатель легко убедится, что волновая функция (6Ь) действительно нормирована к ед«нице. Мы видим, что плотггость вероятности Р (х, 1гг зависит от времени: последний член в выражении (бс) соответствует осц«лляцням, частота которых равна вг„ие = (Егн — Е„„у(Й. (66) ф(х, 1) =~с,,ф„(х, г), (7а) где с„— постоянные. Теперь возможно доказать следующую теоре»ил каждое физически приемлемое решение уравнения Шредингера для «частицы в ящике» может быть однозначно представлено рядом (7а), который является разложением по стационарным решениям (5Ь) задачи. 303 7. Очевидно, что плотность вероятности осц«ллирует в тех случаях, когда решение является суперпозицией сгацпс«ариых решений (5Ь). Прн атом любым двум стационарным рсшегшям ф„, и ф„„, входящим в суперпозицию (в ней может быть любое, даже бесконечно большое число стационарных решений), отвечает осцпллирующий с частотой аг„,„.
член в выражении для плотности вероятности. Осцилляции появляются от «перекрестных» членов ф„',р„„и ф,',лр«„входящих в выражение для квадрага модуля волновой функции Мы не станем доказывать эту теорему, а примем ее, как весьма правдоподобную. Математически она эквивалентна теореме о разложении в ряд Фурье, и из нее следует, что стационарными решения»ш урзвненпя Шредингера будут лишь те решения, которым соответствует не зависящая от времени плотность вероятности.
8. Итак, мы рассмотрели сущность шредингеровской теории стационарных состояний и смысл уровней энергии квантовомеханичешшй системы. Стационарные состояния отвечают стационарным решениям уравнения Шредингера. Для этих решений плотность вероягностй от времени не зависит. Для нестациопарных состояний плотнзсть вероятности осцпллирует со временем, и частота осцилляцпа о|рецеляется, как это следует из (бй), разностью энергий разл иных стационарных уравнен.
Эгп частоты представляют собой харакгери гнче кис частоты системы, для которых можно ожидать излучения илп погтощения энергии: на таких частотах система резонируег. Частоты переходов «>„,„,. в свою очередь определяют уровнп»л ргнз, с точность:о до аддптивной постоянной, которая може, б ~гь задана, если энергии основного состояния приписать опредетепное значение. (В нашем понмере за уровень нулевой энергии принимается «дно потенциальной ямы».) Тепеоь перед нами возникает грандиозная программа-максимум; решп и> уравнение Шредингера (соответствующим образо 1 обобщен.
ное дзя =нсте1 из многих чз тиц) для всех физически интересных случаев, когда теория Шредингера является хоро1цим приближение ь В ",стнзсти, особенно интересны нормированные к единиц-. стацпонарные ре.пения: они описыва.от стационарные состояния и дают пх уровни энергии. Нет необходимости говорить, что столь обширная программа дачека от осуществления; ограниченность матезгагчческпх возможносгей не позволяет получить для сложных систем точные решения уравнения Шредингера, Они известны лишь ..я неко»орых особенно простых систем. 9. Пгш рас потрепан указанной выше програ»гяы может, однако, возникнуть вопрос, дейсгвптельно ли это то, к чему мы стремимсч. Подробное обсуждение проблемы «стационарных» состояний в гл.
8 показало, что при более строгом рассмотрении они вовсе не сгзцпонарны. С другой стороны, для частицы в «ящике» теория дает нап строго стационарные состояния. Намеченная программа также привела бы к строго стационарным состояниям, в противоречии г известными экспериментальными фактами. Мы здесь сталкивае ~ся с очевидной ограниченностью уравнения Шредингера: оно не. описывает радиационных переходов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
