Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 71
Текст из файла (страница 71)
В действительности это отношение не исчерпывается простым экспоненциальным множителем, но если ад~~1, т. е. если барьер высок и широк, то экспоненциальный множитель является определяющим. ЗЗ.Мы считали, что амплитуда падающей волны равна единице. В области !1! амплитуда волны гораздо меньше. Ве величина (точнее — порядок величины) приближенно равна ехр( — ад). Квадрат Т модуля амплитуды имеет простую физическую интерпретацию. Он равен вероятности того, что падающая на барьер частица пройдет через него: (ЗЗа) Т= — )ср (а) !» ехр ( — 2ад), или, имея в виду второе выражение (32Ь), Т- ехр( — 2а в» (ЗЗЬ) Величина '! называется коэффициенпшм иропускания барьера. Наша грубая оценка этого коэффициента (формула (ЗЗЬ)) основана на весьма простом факте, а именно на приблизительно экспонен- циальном уменьшении амплитуды волны справа в обласши барьера.
Нас интересовал прежде всего случай большого ад, т. е. малого коэффициента пропускапия Т. Можно, разумеется, вычислить точ- ное значение Т; тогда в выражении (ЗЗЬ) появляется дополнитель- ный множитель. Порядок величины Т определяется, однако, экс- понентой, и для наших целей выражения (ЗЗЬ) совершенно доста- точно.
278 На рпс. ЗЗА схематически показан барьерный эффект. В верхней части рисунка приведен потенциал, а в нижней — модуль квадрата волновой функции. Прошедшая волна оказывается бегущей вправо волной с комплексной амплитудой. Модуль амплитуды есть величина постоянная, что и показано на рисунке. Рис. 33Л. Схема, иллюстрирующая туа. нельаый эффект. Обратите внимание на прошедшую волну и на ее акспонендиальное з,.тухаиие в пределах барьера.
С» а от барьера мы имеем несовершенную стоячую волну. Амплвтуда огра. жеииой волны меньше амплитуды падающей, и сумиарная амплитуда нигде не сбрыпается в нуль ашедшая ванна яая ванны 34. Прежде чем перейти к физическим приложениям рассмотренной теории квантовомеханического туннельного эффекта, следует указать на его аналогию в классической электромагнитной теории. Речь идет об отражении плоской электромагнитной волны от плоской поверхности раздела двух сред с различными показателями преломления.
Опоирегни менее аяавуная суу еда Рис. 34А. Потише отражение плоской элентромагнитной волны на поверхности раздела двух сред с рвали~ными показателями лркюмления. Падающий и отраженный лучи показаны штриховыии линиями Рис. 34 В, Клоссическая электромагнитная теория предсказывает, что нелла, падаюгная на тонкий слой под углом, большим критического угла полного отражения, частично проходит и частично отрав естся.
Это явление аналогично квантовомеханическому туннельному эффекту, падающий, прошедший н отрагкенныгг лучи показаны штриховыми линияии Рассмотрим плоскую волну, падающую на границу, разделяющую две среды с различной оптической плотностью. Пусть волна (рис. 34А) падает из оптически более плотной среды в среду менее плотную, т.
е. в среду с меньшим показателем преломления. Предположим, что угол падения больше угла полного отражения и что менее плотная среда простирается до бесконечности влево от поверхности раздела. В этом случае происходит полное отражение волны, схематически показанное на рис. 34А, где штриховой линией показан «луч», т. е. нормаль к плоскому фронту волны.
Несмотря па то, что волна не может проникнуть в менее плотную среду, элек- трическое поле вблизи от поверхности раздела не равно нулю: поле в эту среду проникает, но по мере перехода влево от поверхности раздела амплитуда поля экспоненциально уменьшается. Ситуация полностью аналогична квантовомеханической задаче, рассмотренной в п. 22 — 25. Обратимся теперь к рис. 34В. Здесь оптически менее плотная среда представляет собой тонкий слой между двумя более плотными средами.
В этом случае волна, падающая на границу справа, частично отражается, но малая доля волны все же проникает через чзапрещенную область» и распространяется в более плотной среде в виде бегущей влево волны. Ситуация аналогична квантовомеханическому проникновению через барьер. Заметим, что мы не нарисовали «лучей» в запрентевной области.
Действительно, здесь алучевая оптика» неприменима: волновой вектор имеет комплексное значение. Рассмотренное явление полностью объясняется классической электромагнитной теорией. В ситуации, показанной на рпс. 34В, коэффициент прохождения очень мал, если толщина оптически менее плотной среды намного больше длины волны падающего излучения.
Прн уменьшении толщины коэффициент прохождения возрастает, достигая значения, равного единице, при толщине, стремящейся к нулю. л'~У'4 ~к'„ Рнс. 33А. Как получить выраженке для коэффициента прапускания такого барьерау Рис. 33 В. К вмводу прнблвжеиного выражения для коэффициента пропускания барьера (рис. 36Д). Заменим непрерывно меняющийся потенциал приближением иэ ряда ступенчатых барьеров.
эуолпый коэффициент провусиания равен пронээсдению коэффициентов пропуска. нви для всех ступенчатых барьеров. Отметим приближенный характер этого метода — не учтены многократные отражения 35. Обобщим наши рассуждения о квантовомеханическом туннельном эффекте. Вместо показанного на рис. 3!А прямоугольного потенциального барьера рассмотрим барьер произвольной формы (рис. 35А). Пусть слева на барьер падает волна с энергией Е. Волна частично отразится, частично пройдет через барьер. Нас интересует прежде всего полный коэффициент пропускания барьера, и, чтобы найти его точное значение, нужно решить уравнение Шредингера для потенциала )г(х). Воспользовавшись методом, рассмотренным в п.
32 и 33, можно, однако, получить приближенное выражение для Т. Такое приближение тем лучше, чем меньше длина волны по сравнению с шириной барьера. Чтобы получить приближенное значение величины Т, вообразим, что область потенциального барьера разделена на несколько малых областей, как показано на рис. 35В.
Заменим в каждой ма- 280 лой области реальный потенциал Р(х) постоянным потенциалом. Мы уже вычисляли коэффициент пропускания прямоугольного барьера. Пусть коэффициенты пропускания пяти прямоугольных барьеров, показанных на рис. 35В, равны Т;, Т„..„Т,. Полный коэффициент пропускания приблизительно равен произведению коэффициентов пропускания малых областей: 7 717«7«747« (35а) или 1пТ=1пТ,+1пТ,+1пТ,+1пТ,+1пТ,, 36.
Вернемся к выражению (ЗЗЬ). Пусть дх„— толщина одного прямоугольного барьера, а $'(х„) — его высота. Коэффициент пропускания такого барьера равен 1п Т„ж — 2У 2т (Р (х„) — Е)/й' Зх„. (36а) Из формулы (35Ь) следует, что логарифм коэффициента пропускания всего барьера получается суммированием по всем областям. Переходя к бесконечному пределу и заменяя сумму интегралом, получаем к 1п Т = — 2 ~ лх э ' ~~~1~ (~) ь« (36Ь) Не следует забывать, что это выражение для коэффициента пропускания является приолиж«ниым. Тем не менее приведенная формула очень полезна, так как дает правильное качественное описание явлений проникновения через барьер. Заметим, что пределами для написанного интеграла являются классические точки поворота х' и к".
Рассмотрим зависимость коэффициента пропусканпя от параметров, входящих в выражение (36Ь). Если остальные параметры фиксированы, то коэффициент пропускания тем меньше. чем больше масса частицы. Коэффициент пропускания Т возрастает с увеличением полной энергии Е, и для этого есть две причины. Во-первых, уменьшается подынтегральное выражение, которое всегда положительно, а во-вторых, область интегрирования по мере сближения точек поворота становится меньше.
Разумеется, коэффициент пропускания возрастает при уменьшении ширины барьера. Теория альфа-радиоактивности 281 37. Попытаемся теперь применить теорию проникновения через барьер к реальному физическому явлению. В задаче 3 гл. 2 мы отмечали, что период полураспада ядер радия '«««Йа, испускающих а-частицы, оказывается «неестественно большимм Он равен 1622 годам, что совершенно несовместимо ни с какой разумной ядерной шкалой времени.
В качестве характеристического времени для ядерных процессов можно принять время, необходимое свету, чтобы пройти через ядро, т. е. время поряд- ка 10 " с. Пзризд полураспадз радия равен 5 !0»' с, чго в 10" рав больше <характеристического ядерного времени». Таким образом, мы оказываемся перед необходимостью объяснить возникновение «ненормально большого» числа 10". Разумеется, «характеристическое ядерное время» есть довольно свободное понятие, но наша задача не станет проще даже в том случае, если мы увеличим это время в 1000 раз, Следует указать на такой экспериментальный факт: некоторые сх-радиоактивные ядра имен)т совсем небольшой период полураспада. Например, у и-радиоактивного кзотопа полония ",„Яро период полураспада равен 3 10 с. В качестве противоположной крайности отметим такой а-излучатель, как изотоп урана "",.",11. Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
