Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Как мы указывали, оптический показатель преломления в большой степени аналогичен потенциалу в теории Шредингера, и такая аналогия помогает понять теорию. Вспомним, однако, что описание электрол!агиитных свойств твердого тела с помощью показателя преломления имеет свои ограничения. Аналогично, в некоторых физических ситуациях взаимодействия между элементарными частицами не могут быть полностью описаны потенциальной функцией. Такая функция имеет смысл лишь в тех случаях, когда выполнены два основных допущения теории Шредингера. 15.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеются две ограниченные области пространства 1 и 11, причем потенциальная энергия частицы в области 1 равна )//, а в области 11 равна )///. Предположим, что за границами этих областей потенциалы быстро спада- 266 ют до нуля. Обозначим остальную часть пространства, не входящую в области 1 н П, индексом П1. Тогда Рт=О. Такая ситуация схематически изображена иа рнс.
15А, где показана зависимость потенциала от координаты. Допустим теперь, что в таком потенциальном поле сил движется частица с энергией Е (мы рассматриваем полностью нерелятивистский случай). Полная энергия Е будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий частицы (энергия покоя тс' в выражение для энергии не включается). Согласно классической механике, кинетическая энергия частицы равна Š— Ца в области И/, Š— 1', в области 1 и Š— $'а в области П. Кинетическая энергия связана с импульсом частицы следуюптим образом: Е„=р'-';2т. (15а) Полная энергия показана на рис.
15А жирной штриховой линией. Начнем с предположения, что полная энергия всюду больше потенциальной. 16. Рассмотрим теперь поведение шредингеровской волны, связанной с частицей. У такой волны частота ы пропорциональна энергии: Е=йы, п волновая функция зависит от времени 1 толькоблагодаря множителю ехр( — 1!Е/Ф). Поэтому шредингеровская волна для частицы с определенной энергией Е удовлетворяет уравнению А т ф (х, 1) =- Еф (х, $). (1ба) Пространственная зависимость волны определяется импульсом частицы: импульс и длина волны связаны соотношением де Бройля !.=6/р.
Рассмотрим волну в области П! при энергии, равной Е. Волна может быть представлена в виде суперпознции плоских волн. Пространственная зависимость этих плоских волн задается экспоненцпальным множителем ехр(/х р/й), где импульс р определяется энергией Е рг/2т (16Ь) Таким образом, шредингеровская волна, отвечающая частице с энергией Е, находящейся в области Ш, удовлетворяет дифференциальному уравнению (1бс). Рассмотрим теперь волну в области 1.
Будем по-прежнему считать ее суперпозицней плоских волн типа ехр(/х р4). В согласии с (15а) импульс р теперь определяется соотношением р",2т = Еа — — Š— 1' . (1Ы) 267 з з.. пт Отсюда следует, что каждая из плоских волн удовлетворяет уравнению Ф вЂ” зю Г'Ф(х, /)=Еф(х, 1). (16с) Отсюда следует, что шредингеровская волна в области ! удовлетворяет уравнению д — ~,„у'Ф (», !) =- (Š— )',М (», !) . (1бе) Аналогично, уравнение для волновой функции в области П имеет вид — ««Ф(», 1) =(Š— 1,)~р(», !). й' (161) 17.
Ловоды, которые привели нас к уравнениям (16с), (16е) и (161) для волновых функций в областях !, П и П1, кажутся правдоподобными. Заманчиво объединить этп три уравнения в одно: — -,— „у ф(», !) = (Š— ) (»)) р(», !); д (17а) здесь 1!(») — потенпиальная функция, принимающая значении Р~п '«'и и Г,гг=б в трех областях. Заметим, однако, чго мы ие привели никаких соображений в пользу справедливости уравнения (17а) в переходных областях, где потенциал быстро меняется. Заранее не очевидно, что уравнение (17а) здесь выполняется.
Автор должен сознаться, что он умышленно вел рассуждения и рисовал кривые на рис. 16А так, чтобы привести читателя к убеждению в справедливости, например, уравнения (16е). В таких рассуждениях есть слабое место. До тех пор, пока область П очень велика по сравнению с длиной волны де Бройля, можно не сомневаться в справедливости уравнения (16е).
Поведение волны з дг нног! глочке области не будет зависеть от потенциала в любых других точках, и связь между длиной волны и кинетической энергией будет именно такой, какую мы предполагали. Ситуация, однако, меняется, если область П мала по сравнению с длиной волны, т. е, если потенциал г' (х) заметно меняется па длине волны. В этом случае неясно, какова должна быть пространственная зависимость волновой функции.
Лействительно, «длина волныз в точке», определяемая соотношением де Бройля через кинетическую энергию Š— )г(»), оказывается функцией положения. Поэтому совершенно не очевидно, что уравнение (17а) окажется справедливым для любой точки пространства и для любой потенциальной функции )'(»). Тем не менее мы предполагаем, следуя Шредингеру, что уравнение (17а) верно. Оно, по крайней мере, является разумным уравнением, описывающим свойства шредингеровских волн, и мы подвергаем его большому числу испытаний.
Заметим, однако, что до сих пор наши рассуждения отнюдь не оыли проверкой справедливости уравнения (17а). Они содержали лишь правдоподобные доводы в его пользу. В действительности возможно нечто лучшее. Можно исходить из квантовой электродинамики. В этом случае удается показать, что уравнение (17а), которое применяется к нерелятнвистским задачам для атомов и молекул, является приближением, следующим из теории поля. Другой воз- 288 можиый подход заключается в систематическом изучении различных волновых уравнений, допускающих разумную физическую интерпретацию, включая вероятностную интерпретацию, рассмотренную в и. 8.
Мы хотим сохранить эту интерпретацию волновой функции для частицы, находящейся под действием сил. Можно показать, что уравнение (17а) в определенном смысле является простейшим волновым уравнением для квантовомеханических задач, которые «соответствуют» классическим задачам для частицы, движущейся в потенциальном поле «'(х). Подробное исследование этих проблем увело бы слишком далеко, и нам следует поэ«ому принять уравнение (17а) как рабочую гипотезу, основа«шую па высказанных выше соображениях. 18.
Уравнение (17а) относится к волне, имеюьдей определенную энергию Е. Для такой волны справедливо уравнение (!ба), и (17а) можно переписать в виде й' д — »'ф(х, !)+Р(х)ф(х, 1) =Й вЂ” ф(х,1); (18а) здесь Е отсутствует, и, таким образом, (18а) справедливо для л«абай энергии и, следовательно, для любой волны Шредингера.
Уравнения (17а) и (18а) представляют собой знаменитые уравнения Шредингера. Уравнение (18а) известно как зависли!ее ап« врглена уравнение Шредингера, а уравнение (17а) — уравнение й!редингера, не зависящее ат времени. Следует иметь в виду, что уравнение (18а) справедливо для всех волн Шредингера, тогда как (!7а) выполняется только для волн, описывающих частицу с заданной энергией Е. Наилучшим подтверждением справедливости уравнений (17а) и (18а) является совпадение предсказаний, основанных иа этих уравнениях, с опытом. Вскоре после великого открытия Шредингера его уравнения были с замечательным успехом применены ко многим областям атомной и молекулярной физики. Сам Шредингер принимал активное участие в этих исследованиях.
В следующей главе мы познакомимся с тем, как ои объяснял квазистабильные состояния атомов. Нельзя не восхищаться интуицией Шредингера, которая привела к уравнению (18а). Оно справедливо в пределах допущений, на которых основано. В нашу задачу не входит рассмотрение общей теории пешения уравнения (18а); мы ограничимся несколькими весьма простыми примерами, которые помогут понять, как это уравнение «работает». Некоторые простые «барьерные» задачи 19. Предположив, что' уравнения Шредингера (17а) и (18а) справедливыдля любои потенциальной функции У(х),мы при «выводе» уравнения (17а) имели, однако, дело со случаем, когда потенциал Г(х) везде меньше полной энергии Е.
Посмотрим теперь, чтб происходит в тех областях пространства, где потенциал Г(х) больше полной энергии Е. Согласно классической механике, такие области 26Я недоступны для частицы, но, как мы увидим, в квантовоЙ механике возникает иная ситуация. Для простоты ограничим наши рассуждения одномерным случаем: частица перемещается вдоль прямой, и ее положение определяется координатой х. Одномерная модель имеет то преимущество, что сводит не зависящее от времени уравнен«е Шредингера к обыч«ому дифференциальному уравнению с одной независимой переменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
