Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Математическое рассмотрение такого уравнения намного проще урагнения в частных производных, возникающего для двух- пли трехмерного случая. В то же время существенные особенности явления сохраняются и в простой одномерной модели. 20. Рассйютрим одномерное уравнение Шредингера (!7а) дчя случая, когда энергия частицы Е)0: дьэ да — — д, фх, р) =-[Š— )г (х)[ф (х, !). (20 >) Зависимость волновой функции ф(л, <) от времени определяется множителем ехр( — <!ЕМ,), и можно написать т[ (х, !) =<р (х)ехр ( — р[Е!рь). (20!>) Зависящая только от координаты часть волновой функции <р(х) удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению (20а), т, е. — — —., <р (х) = [Š— Р' (х)1 р (х).
га (20с) Решив его относительно <р(х), получим с помощью (20[>) шредингеровск. ю волновтук> фупкцшо ф(х, г). 2!. Рассмотрим теперь ситуацию, приведенную на рис. 2!А, где жирной штриховой линией показана полная энергия Е, а сплошная линия соответствует потенциальной функции )г(х). В леlрвамал знеггая >г<х! вой части рисунка потенциал равен нулю, а в правой он имеет постоЯнное значение Ра)Е. Точка х„где кинетическая энергия юл>ь -гь"галеа>тагдг ~аа'кача~на равна нулю, называется точкой <<галам< -' магг>>а 1 ааа>р>га<аааад * > арайрага поворота. Согласно классиче- ской механике, частица, достиг- ! ,Гаага лава>гаага ха нув этой точки, остановится и рнс т<д с ю ве стар начнет движение в обратном цогенцналь»ой энергии р<я>, гкирная ютри.
НаираВЛЕНИИ. Обдаетв С«рана ОТ ховая линия — ноянон энергии В: точка я„в лотто<э Г<л> — В,— классическая точка Хо НЕдОСтуПНа дЛя КЛаССИЧЕСКОй поворота В инаитовои " к е частица ЧаСТИЦЫ. имеет конечную вероятность находиться а Классически эанрегценной области Мы должны решить уравнение (20с) для потенциала, показанного на рис. 2!А. Решением <р (х) должна быть непрерывная функция от х, имеющая непрерывную первую производную. И без явного реп;ения приведенного уравнения можно догадаться, что волновая функпия <р(х) не может сразу обращаться в нуль справа от х,.
270 22 г — —— ,,тз .лг р (х) =-(Š— ~'в)р (х), (23а) н мы без труда можем написать два линейно независимых решения: ехр ( — хд), ехр(+хд), где д=)'2пг(12,— Еу(22. (23Ь) Решение ехр(+хе)) растет экспонеициально с ростом х, то же происходит и с квадратом его модуля. Согласно нашей вероятностной интерпретаЦии волновой функции, такой рост означает, что плотность вероятности обнаружения частицы неограниченно растет с ростом координаты х. Это репгепис физически неприемлемо.
Здесь мы имеем другой пример граничных условий, которым должно удовлетворять решение волнового уравнения, имеющее физический смысл: решение, неограниченно возрастающее на бесконечности, должно быть отброшено. Таким образом, остается едпнствен- 27 а В соответствии с вероятностным истолкованием волновой функции, это означает отличную от нуля вероятность обнаружить частицу в области справа от х,. Таким образом, квантовая механика предсказывает, что частица может проникать в область, запрещеггнук» классической механикой. 22. Рассмотрим это явление более подробно. Чтобы еще больше упростить ситуацию, заменим потенциал на рис. 2!Л ступен- Р'.
ху лаолнал гиерона чатой функцией на рис. 22Л, а — — — -- — -- — — — — Г начало координат поместим в точку поворота, так что х,=О. В этом случае Клаееочеенирозре - ~ Клаееонгснс шеннон аалаеата злреигеннад (У (х) = О для х ( О, хо= оелаелто Тоиналоеоретаа Рнс. 22й. Чтобы упростить вычислении, нс. Пстенци„ч псказаиш.зй на п»еРывнып потенциал на Рнс. 2!л заменен ступенчатым рпс. 22А, можно считать предельным случаем потенциала, изображенного на рис. 21А.
Если этот потен пиал растет все более и более круто, то в пределе получается идеализированная ситуация, показанная на рис. 22А. Пока потенциал является непрерывной функцией, волновая функция остается непрерывной и имеет непрерывную первую производную. Это свойство сохраняется и в предельном случае ступенчатого потенциала. Однако в последнем случаевтораяпроизводная волновой фуш;ции может испытать «скачок».
Заметим, что все эти утверждения о поведении волновой функции и ее производных являются зткоггематическими утверждениями о свойствах дифференциальных уравнений, возникающих в теории Шредингера. 1(ак физики, мы должны считать ступенчатый потенциал идеализацией реального потенциала. При такой точке зрения не возникает сомнения в том, что физическая волновая функция должна удовлетворять перечисленным выше требованиям. 23.
Обратимся к области х)0. Здесь волновое уравнение имеет вид но возможное решение ехр( — гхд), и если мы обозначаем волновую функцию в ооласти х) 0 через тря(х), то гр „(х) = ехр ( — хг/) . (23с) 24. Рассмотрим область х(0. Здесь уравнение Шредингера имеет впд ло вм — — —, гр (х) .—. Егр (х). Два линейно независгихгых решения уравнения (24а) могут быть записаны в форме ехр (гх/г), ехр ( — гх/г), где /г=) 2пгЕ/йо (24Ь) они представляют собой осциллируюшие функции и ие возрастают при х, стремящемся к — оо. Оба решения физически приемлемы о), и, обозначая через грх(х) волновую функцию в области слева от х=О, имеем гре(х)=-А ехр(гхн)+В ехр( — /х/г), (24с) где А и  — постояггные, которые нам предстоит найти. Мы утверждали, что волновая функция и ее первая производная долвкны быть неггре/гывны.
Таким образом, функции гр„(х) п гре (х) должны быть подогнаны друг к другу так, чтобы р„(о) — р,(о), р„(о)= р,(о). (246) Действитечьно, обе этп функции представляют собой одну волновую функцию, заданнувз в двух различных областях, которые соединяются в точке поворота х=О. Два условия (240) дают два уравнения: А+В=1, й(А — В)= — д, (24е) решая которые можно определить постоянные А и В: (241) 25. 1!ам будет легче интерпретировать полученное решение, умножив волновую функцию иа коэффициент 1/А. Такое умножение возможно, ибо уравнение Шредингера — линейное уравнение. Итак, явное выражение для полученного решения имеет вид гр(х)=ел" + ' е г"а для х<0, (25а) 1+гу Ро/Š— 1 2е- лч гр(х)= . для х)0, 1+ г 1' Ро/Š— 1 (25Ь) где 2тЕ//г', г/= и 2т Я,— Е)/Ь. (25с) *) Если читатель удивлен атим утверждением, то советуем ему обратиться к и.
51 иастоявгеа главы. 272 Рассмотрим теперь выражение (25а), определяющее волновую функцию в области х О. Она образована суперпозпцней двух воли. Первое слагаемое ехр(рхФ) соответствует волне, распространяющейся вправо, а второе, пропорциональное ехр ( — (хй),— волне, бегущей влево.
Множитель перед экспонентой во втором счагаемом имеет модуль, равный единице: поэтому амп,йитуды обеих волн равны по модулю. Квадрат модуля амплитудь| пропорционален «потоку» частицы, и, таким образом, волновая функция (25а) описывает положение, характерное тем, Лаяяеягяяргля Е и~ Д~~ Рис. ЗВА. Волна пронинает в классичеснн аапрспсекную область. Область слева от барьера аайята стоячей волной,кспорая аб. разуется прн интерференции приколюцей волны и волны. отраженной от барьера. За. метьте, что в точке поворота волновая Фракция и ее производная непрерывны '~'адаещаяиотрамгв- дяр муугувя воняет ще», ";"яв что частица, пришедшая слева, отражается от скачка потенциала и уходит влево.
Такая интерпретация находится в согласии с классической картиной. Волновая функция для х..»0 [уравнение (25Ь)) описгйвает проникновение шредингеровской волны в область, запрещенную для классической частицы. Амплитуда такой волны экспоненциально уменьшается по мере проникновения в запрещенную область, и на больших расстояниях от барьера амплитуда практически равна нулю, в согласья« с классической картиной.
Рпс. 25Л иллюстрирует эти утверждения. 26. Интересно рассмотреть предельный случай, когда высота потенциального барьера стремится к бесконечности, т. е. когда )'е — т- +ао (энергия Е не меняется). Из выражений (25с) следует, что при неограниченном возрастании )Ео величина в также стремится к бесконечности, что означает бесконечно быстрое уменьшение амплитуды волновой функции по мере увеличения глубины проникновения (от классической точки поворота). По мере увеличения высоты барьера волновая функция все меньше и меньше проникает в запрещенную область. Из (25Ь) следует, что амплитуда прошедшей волны стремится к нулю, если Р, стремится к бесконечности.
В предельном случае бесконечно высокого барьера ч (х)=еу"й+е "" для х(0, (26а) ч (х) =0 для х)0. (26Ь) Итак, при бесконечно высоком потенциальном барьере волновая функция должна исчезать у барьера, т. е. при х=О, и справа от него, т. е. при х)0. !!а рпс. 26Л показано поведение квадрата модуля волновой функции, т, е. плотность вероятности обнаружения частицы. Заме- тим, что слева от барьера плотность вероятности испытывает осцилляцни, которые представляют собой квантовомеханический пн.
терференционный эффект, не имеющий аналога в классической меха- нике. Такое же явление, естественно, видно и на рнс. 25Л. +сш ггеаеаяекеа еыгакае Пс" а оаиергия еаапае пааенааапа Е а 2 — — — — -2г ~ 1" аг ' Рис. 2ЭД. Предельныа случай беско. ~~И~ печно большого скачка потенциальной энергии (ср. с рис йблк В точке по. ворота в нуль обрэшается волновая Г' ааьдчтдач а аатусаапге ЬсьтастГ.КОЕ функция, провэводная квадрата волновой Функции, во «е ° рснээодиая савой ,,ля гапке уаеггбг волновой Чэункцни 27. Мы столь подробно рассмотрели случай внезапного скачка потенциала, чтобы показать существование решения уравнения Шредингера и его физическую интерпретацию. Можно быть уве- ренным, что решение существует и в более общем случае разумно непрерывного или составленного из отдельных скачков потенциала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
