Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 70

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 70)

Разумеется, не всегда легко найти явный вид решения, но возни- кающие трудности имеют чисто математический, вычислительный характер. Даже не имея точного решения, часто можно сказать очень много о его свойствах и получить, таким образом, сведения о поведении физической системы. Так, например, изучение свойств волновой функции привело нас к выводу, что шредипгеровская волна может проникать в области, запрещенные для частицы клас- сической механикой. 28. Чтобы расширить наше понимание уравнения Шредингера, рассмотрим рпс.

28Л, где показан внезапный скачок потенциала. Мы хот»м изучить движение частицы с энергией Е= Ъ'в в таком поле.(1!одробное изучение этой ситуацгш мы оставляем для задачи 1 в конце главы.) Читатель заметит, что в области слева от скачка потенциала су- ществуют два возможных решения и столько же решений имеется для области справа от скачка. Но как узнать, какое из решений сле- дует избрать? Это зависит от исследуемой физической ситуации. До- пустим, что частица падает на барьер, двигаясь слева направо.

Вол- на частично отразится от барьера, но часть будет продолжать рас- пространяться в прежнем направлении. Это означает, что правиль- ная волновая функция нашей задачи должна соответствовать час- тице, движущейся направо в область х)0, т. е. должна иметь там вид ехр(гхй'). В области слева от скачка потенциала волновая функция будет иметь вид А ехр (!хй)+В ехр ( — 1хй), где первое и второе слагаемые отвечают соответственно волнам, бегущим слева направо и справа налево.

Второе слагаемое соот- ветствует отраженной волне, а первое — проходящей. Как найти коэффициенты А и В? Для этого следует использовать два условия: непрерывность волновой функции и ее производных во всех точках, в том числе и в точке х — О. Таким образом получаем два уравнения для двух неизвестных А и В. Найдя амплитуды А и В, будем знать интенсивности падающей, отраженной и прошедшей волн, а тем самым и коэффициент отражения рассматриваемого «барьера». Рис. 2«Л.

Энергия Е частииы больше высоты потенниального барьера. В классической теории частииа проходит такой барьер ие отражаясь. В нвантовой механике часть падающей волны проходит, другая часть отра- жается барьером Допустим, что имеет место другая ситуация: частица движется справа налево. В таком случае волновая функция слева от барьера будет иметь вид ехр( — гхгг), так как в этой области мы имеем лишь волну, распространяющуюся влево.

Справа от барьера волновая функция имеет вид А'ехр(гх/г')-',-В'ехр( — гхн'). Снова найдем коэффициенты А ' и В' из условий непрерывности волновой функции Рнс. 2ОЛ. Для решения этой задачи следует рассмотреть многократные отражения н прохождения волны в точнах раз. рыва непрерывности «=О и «=е. Волос простой способ — найти общее решение уравнения !предннгера и удовлетворить грани шыи условиям.

Прн этом отпадает необходимость рассматривать мно~о- иратьыс отражения и ее производной в точке х=О. Таким образом, при заданной форме потенциала выбор волновой функции зависит от рассматриваемой задачи. Отметим главный вывод из рассмотрения движения частицы в потенциальном поле, показанном на рис. 28А: в месте разрыва непрерывности потенциала происходит частичное отражение падающей волны и частичное ее проникновение в область за разрывом. 29. Обратимся теперь к случаю, показанному на рис. 29А. Разрыв непрерывности потенциала происходит в двух точках: х=О и х=а. Из рассуждений предыдущего пункта следует, что в данном случае будет происходить частичное отражение и частичное прохождение волны в обеих точках.

Предположим, что мы хотим рассмотреть случай, когда частица падает на барьер слева. Читатель поймет, что это сложная ситуация. Рассмотрим волну, падающую слева, и обнаружим, что в точке х=О часть волны отразится, а другая часть пройдет. Прошедшая волна натолкнется на второй разрыв потенциала вточкех=а и здесь частично отразится, а частично пройдет. Отраженная волна вернется в точку х=О, и снова произойдет частичное отражение и прохождение. Чтобы найти волну, распространяющуюся направо 275 от барьера, мы должны рассмотреть бесконечное число отражений в точках л =-0 и х=-а и сложить амплитуды всех волн, распространяющихся направо от точки х= — а. Можем ли мы решить эту задачу? Да, можем ггметодом многократных отражений», но есть н значительно более простой способ ее решения.

Для э-зого следует лишь найти такое решение уравнения Шредингера, которое всюду было бы непрерывно вместе со своей г;ау Рис. ЗОД. с!астана (волиа1 отражаетсн барьером, так как энергия Е меньше предслызозгз зна. чеаия потенциала справа. Отражение пооискоднт а области излзенения потенциальной энер. гни Рис, зов. Потенциал на рис. збд заменен потегзцналом, кз зеня:ошкмся скачками. Р каждой то~не разрыва непрерывности волна частично прокодит н частично отражается.

Решеаие уравнения Шредингера учитывает все «мнозократные отражения» первой производной и имело бы вид ехр(сх/г) для х)а. Последнее условие, в соответствии с рассматриваемой физической ситуацией, означает, что часть падающей волчы, прошедшая сквозь барьер, распространяется от точки х=а направо, Таким образом, для х а волновая функция имеет впд ехр(/хй). Для а)х)0 волновая функция имеет вид А ехр (рхй')+В ехр ( — /х/г').

Чтобы найти коэффициенты Л и В, нужно воспользоваться условием непрерывности волновой функцпп и ее первой производной в точке х=а. В области 0)х волновая функция имеет вид А 'ех р (Ох/с) + В 'ехр ( — /х/г), и для определения А' н В нужно использовать те же условия непрерывности, но в точке х=0. Таким способом мы найдем полное решение уравнения Шредингера (20с), отвечающее условиям рис. 29А, и найденное решение будет сдинствеьнь«м (с точностью до постоянного множителя). Таким образом, нашу задачу можно решить без больших усилий. ЗО. Важно понять, что решение барьерной задачи рассмотренного типа сводится к получению решения уравнения Шредингера (20с), пригодного во всем пространстве и удовлетворяющего граиичнь1»1 условиям, определяемым физической ситуацией, например условию, что справа от барьера волна должна иметь вид ехр(рхй).

Такой способ получения решения автоматически учитывает «многократные отражения», о которых мы рассуждали, основываясь на физической интуиции. Нашу задачу можно попытаться решить, 276 рассматривая многократные отражения, но го)»авдо проц1е непосредственно найти общее решение уравнения Шредингера. Рассмотрим потенциальный барьер, показаннып на рис. ЗОА.

Где должно произойти отражение частицы? Оно «происходит» во всей области пространства, в которой меняется потенциал. При желании непрерывно меняющийся потенциал )т(х) можно аппроксимировать функцией с большим числом малых скачков, как показано на рис. ЗОВ. На каждом скачке потенциала волна частично проходит и частично отражается, и мы снова можем считать, что имеем дело с «задачей о многократном отражении». Уравнение Шредингера (20с) описывает все эти многократные отражения, и его решение можно при желании интерпретировать таким образом; найдя общее решение уравнения Шредингера (20с), мы сразу учтем все бесконечное число локальных отражений и прохождений.

31. Рассмотрим теперь другую задачу, которая следует из предыдущей. «1то происходит, если потенциал имеет вид, показанный на рис. 3!А, а шясота барьера (Уо больше полной энергии Е? т7дс:г„,щвдт«р рнс. ЗтА. В слассическо«тсарнн частица прншекшан слсьв. не мон.ет пронтн через барьер. В квантово» меканике у частицы нмсетсн венечная еераятность просачвться через раршрз.

Это явление называется «туннельным эффектом б1 ! Ууг х=в Ответ легко угадать: волна, падающая слева, частично отразится, а ча,тлшно сможет пропри через барьер в область!П. С классической точки зрения частица, находившаяся в области 1, отразится в точке х=-0 и ие сможет пройти в области П и 111. Согласно квантовой механике, частица может «просочиться через барьер», абсолютно непрозрачный с классической точки зрения; это одна из наиболее замечательных особенностей квантовой механики.

Рассматриваемое яьление называется тдниельныл зфсректо,я. Чтобы получить решение уравнения Шредингера для ситуации, показанной на рис. 31А, можно поступить так, как рекомендовалось в и. 28 — ЗО. Найдем обиднее рсшсиис для каждой из трех областей 1, П и П1, а затем используем условия непрерывности волновой функции и ее первой производной во всем пространстве и, в частности, в точках х=--0 и х=а.

Таким образом, барьерная задача, показанная иа рис. 31А, в принципе нетрудна, но требует некоторых трудоемких вычислений. К счастью, можно постичь ее существенные особенности и без таких вычислений. (С ними можно познакомиться в более подробном курсе или выполнить эту задачу в качестве домашнего задания, см.

также задачу 2.) 32. Рассмотрим решение для частного случая, когда частица падает на барьер слева. Она частично отражается барьером, час- тично «просачивается» через него. Это означает, что в области !!! решение имеет вид ехр (1хй), соответствующий частице, движущейся направо. В области ! мы имеем обязательно две волны: одна распространяется влево, другая направо.

Первая из них является отраженной волной, а вторая — падающей. Таким образом, волновая функция в области ! имеет вид «р (х) еы»+ Ае-»«" где /г = Р 2п«Е!л». (32а) здесь А — постоянная, определяющая амплитуду отраженной волны. Модуль А меньше единицы, так как часть падающей волны проникает через барьер. Внутри барьера волновая функция имеет вид экспоненты р(х) жВехр ( — хд), д= «' 2л»(*«'» — Е)1л', (32Ь) здесь  — постоянная. Эта волновая функция является лишь приближением, которое, однако, справедливо для не слишком низкого барьера. Допустим, что ад велико по сравнению с единицей. В таком случае отношение «р(а)1~р(0)-ехр( — о»7) для волновой функции (32Ь) будет малым числом. Вспомнив процесс согласования двух решений в точке поворота, рассмотренный в п. 24, мы поймем, что модуль отношения амплитуд в областях 111 и ! должен быть близок к отношению ~р(а)1~р(0)=ехр( — п4).

Характеристики

Список файлов книги