Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Это время н представляет собой опенку возраста нашей Солнечной системы. 48. Заманчиво продолжить наши рассуждения. Каков возраст Вселенной? Как образовались химические элементы? Мы не в состоянии рассмотреть здесь идеи, которые дают возможность опенить возраст Вселенной. Весьма правдоподобно, что он близок к 1О 10' лет, что по порядку величины близко к возрасту Солнечной системы. Вероятно, химические элементы образовались из водорода в ядерных реакциях, происходивших в звездах. На рис.
48А при- «) Первая оценка возраста Землю, основанная на явлении радноаггтианости, была сделана Резерфордом !йи!де~/огг) Е. Тне Маза апб Че1ос!!у о1!не гх-Ра»1!с!ез Ехренеб !гоги йажпгп апб Аснпыт.— Рнд1. Мах., 1906, ч. 12, р.
348). Резерфорд оценивает возраст исследованных им минералов в 400 миллионов лет. **) Нерво!г)з ч'. Уб Ве1еггп1паноп о1 Ше Аде о1 Ше В!евген!з: — Ркуз. йеч. 1.ем., !960, ч. 4, р. 8; см. также: Оо!гепгмгп С. М., Роуезе)г Е. А., йеупоыз у. Н., Хепоп-1обше Вампрд Зпагр 1»оспгоп)зпг !п СЬопбг!!ез.— З«1епсе, 1967, ч.
166, р. 202. В этих работах показано, что времена могут оказаться заметно меньшими. 291 ведены оценки распространенности химических элементов в Солнечной системе. Точки, соответствующие конкретным химическим элементам, получены в результате усреднения различных оценок.
основанных на спектроскопическом определении относительной распространенности в солнечной атмосфере, определении относительной распространенности в метеоритах и на оценках химического состава оболочки Земли. Заметьте, что водород и в нашу цп 70 й 77 ;70 0 мф ы й 0 0 70 Л7 30 40 0 7 00 07 00 00 дтдомнмо номер и Р ис. Е8А. Отвосвтельные распространенности элементов в Солнечной свстеме(ЛПггд и, т Ье АЬппйапсе о1 !Ье Ыешепьв — ЬЬ у и 1881).
По оси ординат отложен десятичный логарифм распространенности, т. с. относительного числа атомов. Тачии, иаображашщие элементы. соединены линиями. чтобы облегчить чтение графика. Приведенные здесь данные основаны на измереннлх, весьма различных по характеру, и на определенных теоретических нпеак. Данные для легких элементов получены главнмм образом из спектроскопа ~соках исследова. ний излучения Солнца. длт оценки распростра~ енгости тяжел х .ле ентов использованы данные о составе метеаризан.
Следует иметь н воду предварительный н неопределенный характер некоторых оценок Разумно считать, что рз пространенвость злементов в [видимою Вселенной мало атлпчаетсн от их распространенности в Солнечной системе. Распространен. ностьз лемептов в нашем непосредственном окружении 1см. табл. 48А) зат етно отлнчаетси от «носмичесиой распростоаненностн эпоху является наиболее распространенным элементом. Обратите также внимание иа то, что максимумы кривой распространенности отвечают особенно стабильным элементам. Мы видим, чго элементы с четным атомным номером, как правило, имеют ббльшую распространенность, нежели соседние элементы с нечетным атомным номером.
Эта закономерность является отражением того факта, что ядра с четным числом протонов и четным числом нейтронов более стабильны, чем остальные ядра. Объяснение деталей кривой распространенности тесно связано с пониманием ранней истории Солнечной системы. В настоящее 292 Табл и ц а 48Л.
Восемь наиболее распространенных элементов земной коры Ч слз Чнсло Элемент а~омов, '~, ( Элемент атомов, Чясло аталгав, Эломент зйагипй Калий Кислород Кремний Ллюмииий б2,б ', Натрий 21,2 ! Кальци 1,84 2,64 1.94 1,92 й б,б ~ 7Кедезо тяцчззца дает оценку состава 10.кнламстрового слоя зезпгай ьгрм савчсст а с океаном н атзгосферай. Перечнслегнме восемь эл з нтов сас валяют ола айи нссн гасам земной коры Гравитационное поле Земля не мажгт »держать легкпе злсмо;мм — водород н гелий. Этим объясняется нх малая.
по срачнечню с «космнчсской», распрострз ~в~ ность ч земной каре Можно думать, чта распространенность элементов в Земле совпадает с космнческой. Однако химические процессы в Земле прннелн к простра стаею аму разделению ччемвнтов н двьчме для земной коры не хврнктернзуют ряспрастряненьость мтезгентов для Земли в целом. время, по-видимому, нам ясны лишь основные особенности этой кривой. Что касается первоначального происхождения водорода, то автору абсолютно нечего сказать по этому вопросу. Дополнительная тема: нормировка волновой функции") 49. Рассмотрим шредингеровскую волновую функцию, ограничившись для простоты одномерным случаем, когда волновая функция»(з(х, 1) зависит только от одной координаты и врецени. Мы утверждали, что квадрат модуля волновой функции пропорционален плотности вероятности.
Эго означает, что вероятность обнаружить частицу в момент времени 1 в интервале ха)х)хз равна х, Р(х„х,) = Ч ~ 11х,1 Ф(х, 1) !', (49а). где гззу — некоторая постоянная, не зависящая от х, 1(ак она опреде- ляется? Из очевидного условия, что вероятность обнаружггь частицу где-то должна быть равна единице: 1 = »г' ) дд 1' ф (Х, 1),з, (49Ь) *] Пргг первом чтении можно пропустить. 298з Может случиться, однако, что интеграл в (49Ь) не сходится, В этом случае постоянная гУ равна нулю, и из (49а) следует, что вероятность обнаружить частицу в любом конечном интервале значений х также равна нулю.
Такой результат не имеет физического смысла, и мы приходим к важному выводу, что шредингеровская волновая функция ф(х, 1) должна для всех значений 1 иметь интегрируемый квадрат модуля. Это означает сходимость интеграла (49Ь). Допустим теперь, что волновая функция ф(х, 1) удовлетворяет условию «квадратичной интегрируемостим Тогда новую волновую функцию «(1«(х, 1) можно определить из условия („(х 1) = р')уф(х. 1).
(49с) где Ж определено из выражения (49Ь). Такая волновая функция обладает следующим свойством: 3« ~ дх),ф„(х,1)!»=1, Р (х„х,) =) дх)ф„(,.т., 1) ~«. (490) Х « Для функции «р„(х, 1) плотность вероятности равна квадрату ее абсолютного значения. Волновая функция, удовлетворяющая первому условию в (490), называется нормированной волновой функцией, или функцией, нормированной к единице,.
С такой функцией удобно работать, так как квадрат ее абсолютного значения непосредственно дает плотность вероятности. 50. Теперь мы должны выяснить, может ли постоянная йг, определяемая равенством (49Ь), зависеть от времени 1? й(ы предполагали, что 1~ (х, 1) является решением уравнения Шредингера 6' д — — ††, ф (х, 1) + 0'(х) ф (х, 1) = Й вЂ” ф (х, 1).
(50а) Новая волновая функция «Р«(х, 1) также будет решением (50а), если постоянная т' не зависит от времени. Докажем следующую теорему: если «р(х, 1) удовлетворяет уравнению (50а) и .р(х, 1) «достаточно быстро» стремится к нулю при стремлении х к +ос илп — сс, то — г(х ) ф (х, 1) )» = О. Требование «достаточной быстроты», в частности, означает, что функция ф1х, 1) должна иметь интегрируемый квадрат абсолютного значения. Для доказательства этой теоремы произведем дифференцирование под знаком интеграла: д1 (ф(х, 1),"=- д, 4'(х, 1) ф(л,1) =ф'(л,1) д1' + дг ' ф(х,1). (50с) Уравнение (50а) дает нам выражение для производной по времени дф(х, 1)1д1. Чтобы получить аналогичное выражение для производной комплексно сопряженной волновой функции, произведем комплексное сопряжение уравнения (50а): Й -.Тл(*(х, 1)=- 9 д, ф" (х, г) — р(х)ф'(х, 1).
(500) д, й««д« 294 Мы считаем г' (х) вещественной функцией. Действительно, потенциал в теории Шредингера соответствует потенциалу аналогичной классической задачи. Вещественность потенциала существенна для наших рассуждений, и это предположение характерно для теории Шредингера. Исключая с помощью (50а) и (504) производные по времени из (50с), получаем >ь г . д Р д Р*~ >й д Г,, д~: д4* ~ — ) ф (.' 1) Г = — ~ Ф' —. — 'Ф вЂ”.— ) = ' — —. ( ф ' — —. — ф —.
». дЕ "' 2ла ~ д»» дх»,) 2ю дх(,г дх дх (50е» Таким образом, — ') с»х ~ ф (х, 1) à — ( "-' — г ф (х 1), > --- —... ) Ф* — —. — >» — —. » дГ ' '' ' 2с> ~ дх дх) (501) Однако если производные волновой функции по х ограничены, то выражение в скобках в формуле (501) обращается в нуль, так как волновая функция исчезает на бесконечности.
Таким образом, равенство (50Ь) доказано, и из (49Ь) немедленно следует, что Л' есть постоянная, ис зависящая от времени й Поэтому функция >1» (х, 1) также являезся решением уравнения Шредингера (50а). Из двиной волновой функции лич всегда ложе я обризсвать нор»и>ровинную волновую ф1>нкцию, в частности волновую срункцию, ног ш>роввнную к единице. Эти важные выводы сохраняются и в трехмерном случае. Мы не доказали этого, но соответствующее доказательство совершенно аналогично одномерному слу:аю. 51.
Читатель может усомниться в нашем утверждении, что каждая волновая функция, имеющая физический смысл, должна быть квадратично интегрируемой в смысле (49а). Поводом для сомнения является плоская монохроматическая волна ехр(1хр>й- — 11р-'!2тй). Ясно, что эта функция нс обладает таким свойством н, с,ледовательно, не может быть нормирована к единице. Нам пришлось сделать вывод, что волна с тото заданным значением импульса р, зависимость которой о- координаты х имеет вид ехр ((хр, >)>), не отвечает физически реализуемому состоянию движения частицы. С друтой стороны, ничто ие мешает нам рассматривать волну, которая в очень большол> интервале значений х зависит от х по закону ехр((хр4) и стремится к нулю при .к, стремящемся к +оо или — со.
Поэтому возникшую трудность можно разрешить, согласившись, что под «волной с точно определенным импульсом» мы не будем подразумевать волну, которая при любых х имеет вид ехр (ихр>н). Мы предполагаем, что волна должна исчезнуть на бесконечности, но она имеет вид ехр(1хр>й) в достаточно большом интервале значений х, включающем и интересующую нас область. Та29Ь ким образом, под «монохроматической волной» мы понимаем «почти монохроматическую волну». При таком понимании можно продолжать говорить о волнах, которые зависят от координат по закону ехр(ьхр Ть) илн ехр((х р!Ь), как обычно пишут почти во всех книгах по квантовой механике.
Ненормированную волну можно считать предельным случаем нормированной волны и при желании называть волновые функции первого типа «неообетвеннымн» волновзгми функциями (1тргорег угауе (цпс(!опз). Этот термин должен также умиротворить математиков. Их чувства часто страдают от того, что физики говорят о <плоских волнах» как о настоящих шредингеровских волновых функциях.
Задачи 1. Рассмотрим барьер, показанный на рис. 28А этой главы для случая, когда Е) («». а) Сначала рассмотрим случай, когда частица падает на барьер слева. Волновой паяет, соответствующий частице, частично отражается, частично проходит в область скачка потенциала, Для рассмотрения этого случая нам нужно такое решение, которое в области справа от скачка представляло бы волну, бегущую вправо. Найдите зто решение для всего пространства и получите выражение для коэффициента отражеющ??, т, е. для вероятности отражения частицы. Козффиггиент пропуск»пня Т (вероятность прохождения частицы) будет равен 1 — )?. б) Рассмотрни случай, когда чзстица падает справа. Теперь решение уравнения Шреди««гера должно соответствовать волне, бегущей в левой части рисунка влево.
Нзйдитс р:-п«зное дтя всей области и получите выражение для коэффициентов отражсгшя (?' и поопускзння Т'=-! — )?'. Заметии, что классическая частица в случае, и жазан ьш на рнс, 23А, не отражается от барьера. 2. !!олу ппе точное выражение для коэффициента пропускаиия в случае потенциального барьера, показанного нз рис, 3! А. и сравните полученное выражение с приближенной формулой (ЗЗЬ). Удобнее сравнить не сами вы ажения для Т, а их логаряфшь Р!зиближеннзя формула является предельным случаем «высокого и широкого» барьера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
