Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 75
Текст из файла (страница 75)
3. Представляет интерес рассмотреть специальный пример оптического проникновения через барьер, показанного на рис. 34В. Показа«ель преломления флинта (сорт сыкта) для длины волны 6000 А (в воздухе) равен 1,75. Предположим, что на рис. 31В оптически более плотной средой является фтзнт, а менее плотной — воздух.
Пусть угол падения равен 45', а расстояние между пластинами равно 0,0! мм. Оценюе, какая часть света проникает через барьер. (Не нужно делать точных вычислений, достаточно оценок, основанных на пряближенном рассмотрении проникновения через барьер.) Заметьте, что интенсивность прошедшего света падает экспоненциально с увеличением толщины воздушного слоя между двумя стеклянными призмамк. Важным параметром является отношение толщины к длине полны.
Заметьте, что составляющая волнового вектора, пора»лез»нал плоскости раздела, одна и та же для стекла и для во»чуха. Почему? 4. Нас интересует, верен ли рис. 34В. Рассмотрим соотношение между лучами падающего и прошедщего света. Быть может, прошедший луч должен быть продолжением падающего и проходить не так, как показано на рисунке? Чтобы ответить иа этот вопрос, необходимы, пожалуй, некоторые опыты. Пусть толщина оптически менее плотной среды будет порядка длины волны падающего света. С помощью системы щелей создадим крайне узкий пучок падающего света, показанный штриховой линнея на нижней части рисунка справа. Тогда мы сможем исследовать прошедший пучок и выяснить, верен лн рисунок. Нет необходимости проделывать этот опыт в лаборатории; можно считать его мысленным экспериментом, так кан классическая электромагнитная теория описывает его полностью.
Обдумайте этот опыт н решите, верен ли рис. 34В. 6. Рассмотрим движение частицы в «произвольном» потенциале, например показанном на рисунке. При х, стремящемся к +со или — о», потенциал )з(х) падает до нуля. Пусть частица с энергией Е приходит слева. Волновая функция имеет вил йз(х)=ег""+Ае-гх" для очень больших отрицательных значений 'х и 1р(х)=Вегял для очень больших положительных значений х. Чтобы найти обе константы А и В, нужно К у Решить уравнение Шредингера для потенциала Р(х), показанного на рисунке.
Мы пнтерпретировалн,А; как коэффн. к яв в с з. доквжнте для пр ;в циент отражения барьера, а,'В! — как ко- вольного езрьсрв пока «нного типа. эффнциент пропускания. Если такая интер- 'по яо»ФФяп р «пр ! претация верна, то пускания, выраженные через выплвтуды волн, распространяющихся ) А Р+(В '»=1 ° явлено н овир»во, в сумме равны В, =1 ° (а) еднннпе Возникает следующий вопрос: выпочняется лн написанное соотношение для аагх потенциальных функпий )з(х]? Проверьте это соотношение в общем случае. Указание.
Рассмотрите функцию Р (х) =фв (х) ~ ( — ф (х) ~™ бх бх и покажите, что с(Рззс(х=0, если зр(х) удовлетворяет уравнению Шредингера. Из этого примера видно, что иногда можно вынснить свойства решения, не имея явно самого решения. В данном частном случае мы нашли важное общее свойство уравнения Шредингера н его решений. Если теория имеет смысл, уравнение (а) должно выполняться. 6.
Есть еще интересньзе вопросы, возникающие в связи с рисунком к предыдущей задаче. Например, одинакова ли прозрачность барьера в обоих напрзвленияхр Теорема. Коэффициент пропускания для частицы, падающей на барьер слева и справа, одинаков, если энергия частицы в обоих случаях одна и та же. Локажпте эту теорему. Указание. Заметим, что если рассмотренная в предыдущей задаче функция 1р(х) является решением уравнения Шредингера, то решением будет и сопряженная с ней функция фь(х), а также любая линейная комбинация функций зр(х) и фь (х). Рассмотрите подходящую линейн> ю комбинацию йз(х) и й Я (х).
7. Многие нестабильные ядра распадаются, испуская позитрон и нейтрнно. Энергия позитрона обычно лежит в интервале от 10 кэВ до нескольких мегаэлектрон-вольт. Как мы отмечали, причиной такого распада является слабое взаимодействие. Мы отмечали также, что причиной больших времен жизни ()-активных ядер является крайве малое слабое взаимодействие. Это не исключает возможности, что пропикновеяие через барьер играет важную роль. Исследуйтс этот вопрос на каком-нибудь примере. Оцените коэфяжццент пропускання для позитрона, проходящего через «типичный» потенциальный барьер.
Это позволит вам убедиться, что провикновение через барьер не играет заметной роли в р-распаде. 8. 3Е Мсйтвер и В. Ортман (Ез. 1. Ртз., 1930, ч. 60, р. !43) осуществили калориметрическне измерения энергии, освобозкдающейся при ()-распаде йаЕ (Это старое яазвание ядер ЯыВ1.) Опыт заключался в том, что источник ЕаЕ был помещен в калориметр и измерялась выделяемая в калориметре теплота.
Зная период полураспада РаЕ (5 суток) и количество препарата, они могли вычисли~ь число распадов в секунду, а тем самым и энершпо, выделяемую при одном распаде. Ее значение оказалось равным (0,337 — 0,020) МэВ на распад.
С другой стороны, было известно, что максимальная кинегическая энергии злектронов при 9-распаде йаЕ равна 1,170 МзВ, и, таким образом, возникло большое расхождение между двумя указанными значениями энергии, чрезвычайно тревожившее физиков. Если мы верим, что распад заключается в переходе между двумя уровнями с точно заданнол энергией каждого уровня, то должны считать, что при каждом распаде выделяетсн энергия, равная 1,170 МэВ, но часть этой энергии не улавливается калориметром или «исчезает» в ием. Этот результат так обескураживал, что некоторые физики, в их числе Бор, обсуждали возможность нарушения закона сохранения энергии в микрофнзике. 1О Звя.
122 297 Опираясь на известнь1е вам заковы ))-распада, дайте подробное объяснение результатов опыта Мейтнер и Ортмана. 9. Распространенности изотопов 235 и 238 в природном уране ссщззляют соответственно 0,71 и 98,2Юоа, а их периоды полураспада равны 7,1 !Оа и 4ЛО 10э лет. а) Такая распространенность наблюдается как в земных образцат ) рана, так н для урана нз метеоритон.
Какве выводы можно сделать нз этвх фактов.' б) Предположим для упрощения задачи, что на !альные распространенности обоих изотопов урана в Солнечной системе одинаковы. Какова прн этом предположении оценка возраста Солнечноп системы) 1О. а) Вычислите массу радия в траповой руде, которая содернщт ! т урана. Зависит ли эта масса от возраста руды, равного, например, ! миллиону плп 500 миллионам лет? б) Какую массу свинца можно обнаружить в руде, возраст которой равен оОО миллионов лету Дополнительная литература Шифф Л. Квантовая механвка.— Мл ИЛ, !957. Ляндау а7., з7ифшии, Е.
Квантовая механика.— Мл Наука, 1974. Бете Г., Л1оррисон Ф. Элементарная теория ядра.— Мл ИЛ, 1958. Де Бенеделнпи С. Ядерные взаимодействия.— Мл Лтомг!злат, 1968. Локк У. Ядерная физика частиц высоних энергий.— Мл ИЛ, 1962. Хойл Ф. Галактика, ндрз н квазары.— Мл Мир, 1968. Врд Дж. Метеориты и происхождение Солнечной системы.— Ыл 51ир, !971.
ГЛАВА 8 ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ Квантование как проблема собственных значений 1. Приведенный подзаголовок повторяет общее заглавие четырех знаменитых работ Шредингера ') о волновой механике, в которых показано, что существование в атоме дискретных уровней энергии можно понять, исходя из волновых представлений, в частности с помощью уравнения Шредингера.
Теории Шредингера предшествовала созданная в 1913 г. полу- классическая теория атома. Мы говорим «полуклассическая» потому, что она основана на планетарной модели атома, описываемой законами классической механики, и на дополнительном предположении, что не все классически разрешенные орбиты реализуются. Выбор развешенных орбит в теории Бора подчинен ряду квантовых условий существенно некпассического характера.
Вспомним, например, о требовании, чтобы полный момент импульса для орбитального движения электрона в атоме был кратен величине г». Во многих сл1чаях (хотя и не всегда) полная энергия при движении по разрешенным квантовыми условиями орбитам образует дискретный ряд значений. Целью теории Бора было объяснить дискретные уровни энергии в атоме, иными словами, произвести квантование движения в атоме. Таково историческое происхождение термина еквантованпе». 2.
Квантовые условия Бора являются догадкой, удовлетворительной далеко не во всех случаях. Ко времени появления работ Шредингера стало ясно, что теория Бора, объяснившая некоторые экспериз;ентальные факты, не в состоянии объяснить ряда атомных явленгг11. Таким образом, назрела необходимость в новых идеях. Великое открытие Шредингсра заключалось в том, что он показал, что если принять волновые представления о веществе, то получается естественный и общий способ квантования.
Шредингер заметил, что при определенных условиях решения его волнового уравнения представляют собой стоячие волны, н связал эти решения со стационарными состояниями атомов. Решения в виде стоячей волны зависят от времени благодаря множителю ехр ( — гв1), причем возможные значения частоты в образуют дискретный ряд в„ве.
в„..., и, таким образом, энергия и-го стационарного состояния ранна Е,=1~сап. В этой главе мы последуем за Шредингером и рассмотрим следствия этой идеи. *) 5сдгетлпкег Е. 17пап1Ь!египт аЬ Е18епяег1ргоыегп.— Апп. д. Рпуе., 1926, и. 79, р. 361; е. 79, р. 489; е. 80, р. 437; е. 81, р. 109. га» Зак. 1»7 299 3. В гл. 7 с помощью ряда правдоподобных рассуждений была получено уравнение Шредингера а) Р д — — »'Ч.(х, ()+р(х)Ч(х, ()=1Ь-уф(х,~), (За) котооое описывает поведение частицы с массой т в т.оле спл. опре. деляемых потенциальной функцией 1'(х). Мы отмечали, что урав.
пение Шредингера является лишь приближением: оно справедливо, когда рассматривается нерелятивистское движение и когда игно рируются все явления рождения и исчезновения частиц. Мти объяс нили, почему это уравнение оказалось столь плодотворным в атом ной и молекулярной физике и даже в некоторых задачах ядерной физики. В последнем случае мы достигли большого успеха, объяс нив с помощью квантовомеханического туннельного эффекта явле ние а-распада„в частности зависимость времени жизни а-излу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
