Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Эти поправки малы, так как мала постоянная а. 7. Перейдем теперь к изложению теории Шредингера для очень простой физической ситуации, а именно для движения частицы, например электрона, во внешнем силовом поле. Теория Шредингера в действительности способна на значительно большее. Она в состоянии описать движение любого числа взаимодействующих между собой частиц. Но чтобы понять основные принципы, начнем е еще более простой ситуации. Рассмотрим, скажем, движение частипы в отсутствие внешнего поля, т. е. движение свободной частицы.
Теория Шредингера основана на волновом уравнении, известном под названием уравнения Шредингера. Его решением является волна де Бройля, «связанная» с частицей. В и. 37 гл. 5 мы имели уже дело с одним из волновых уравнений, а именно с уравнением Клейна — Гордона. Это уравнение обладает релятивистской инвариантностью и применимо при любой скорости движения частицы. Мы хотим изменить уравнение Клейна — Гордона таким образом, чтобы оно согласовалось с приближениями, на которых основана теория Шредингера, иными словами, мы хотим получить его нерелятивистское приближение. Затем мы дадим физическое истолкование волновой функции»р(х, 1), описывающей волну де Бройля.
8. В гл. 5 мы дали грубую интерпретацию волновой функции: «частицу легче найти в тех областях пространства, где амплитуда ф(х, 1) велика». Здесь мы сделаем специальное предположение, которое придаст этой идее количественный характер. Шредингеровская волновая функция ф(х, г), т. е.
амплитуда волны де Бройля, в теории Шредингера определяет вероятность нахождения частицы в данной точке пространства и времени. Если мы пытаемся установить положение частицы в данный момент времени 1, то вероятность обнаружить частицу в малой части объема г(а (х), содержащей точку х, пропорциональна )ф(х, 1)1» г(а (х). Таким образом, плотность вероятноспш пропорциональна квадрату модуля волновой функции.
Это характерное и основное предположение теории Шредингера. Чтобы иметь возможность делать точные вычисления, мы, естественно, должны иметь какую-то интерпретацию волновой функции, и сформулированная выше вероятностная интерпретация и удобна, и физически прозрачна, и плодотворна. Эта глубокая н важная идея впервые высказана была Максом Барном "). 0. Шредингеровская волновая функция зависит от положения н времени и является комплексной величиной, удовлетворяющей (линейному) уравнению Шредингера (которое мы вскоре напишем). Определенная волновая функция соответствует некоторому определенному состоянию движения частицы. Заметим, что если Ф(х, 1) — возможная для данного состояния волновая функция, то функция еагф(х, 1)=тр,(х„1) также возможна, если 0 — вещественная постоянная.
Очень важно, что плотности вероятности, определяемые функциями Ф и тр„совпадают. Это означает, что обе волновые функции ф(х, г) н гр,(х, г) описывают одно и то же состояние движения частицы. Мы можем утверждать, что каждой волновой функции соответствует определенное состояние движения частицы. Обратное утверждение неверно: данное состояние движения частицы определяет шредингеровскую волновую функцию с точностью до постоянного комплексного коэффициента с модулем, равным единице. Две волновые функции, отличающиеся таким множителем, соответствуют одному и тому оке физическому состоянию.
1О. Обозначим массу частицы через т и рассмотрим плоскую волну с импульсом р. Энергия частицы **) Е = )I теса+ сара, (10а) Перейдем теперь к нерелятивистскому приближению, когда скорость частицы много меныне скорости света. Такое предположение означает, что в выражении (10а) слагаемое с'р' много меньше слагаемого т'с'. Разлагая выражение под корнем (1Оа) по степеням р' и удерживая два первых члена, получим Еж т с'-1- ра)2т. (1ОЬ) *) Бога йт'. Яоапгепгпесвап)1)г бег Ыоаэвогхапяе.— оэ. 1, Рву»., !926, т.
38, р. 803. '*) В этой главе мы польауемся системами единиц СИ или СГС, 263 Первое слагаемое в (!ОЬ) дает энергию покоя частицы, а второе— нерелятивистское выражение для ее кинетической энергии. Соответствующая волновая функция де Бройля, которую мы обозначим через «рэ(к, 1), приближенно равна ~:а(х,Г) = ехр ~ — — ) ехр ~ — — ). ~с» р цр» т г цтс»х э 2т$) ~ л (10с) Ее можно записать в виде произведения двух множителей. Первый из них обозначим через ~уз (х, 1): фз (х,1) = ехр (— 7 с« р цр« (103) й 2тз) Тогда писем фа (х, 1) = фз (х, Г) ехр ( — Дгпс«~ й), (10е) при этом ~ Ь ( 1) Г = !.ф. ( , 1) !'.
(101) Из равенства (101) следует, что обе волновые функции фэ и «ра отличаются комплексным множителем с модулем, равным единице, который и зависит от состояния движения частицы, т. е. от импульса р, Квадраты абсолютных значений обеих волновых функций совпадают в любой точке пространства для всего времени. Для описания распределения вероятности волновая функция «ра так же хороша, как и «правильная» волновая функция де Бройля «рл. Именно такая операция над волновой функцией и производится в теории Шредингера.
Функция ~уз, определенная равенством (106), является шредингсровской волновой функцией, описывающей свободную частицу, движущуюся с малым импульсом р. Произведенный выбор волновой функции является вопросом удобства; зачем вводить в вычисления множитель ехр ( — ДтсЧЙ), если заранее известно, что за ним нс скрывается никакого «физического смысла»? 11. В общем случае волновая функция Шредингера может быть представлена суперпозицией плоских волн, имеющих вид (10б). Чтобы найти волновое уравнение, которому удовлетворяет любая волновая функция Шредингера, повторим рассуждения, приведенные в и.
37 гл. 5. Итак, мы хотим иметь простейшее линейное волновое уравнение, которому удовлетворяет любая плоская волна. Выкладки полностью аналогичны произведенным в гл. 5, и мы полу- чаем д й И, — ф (х, 1) = — — у"-ф (х, 1). ' дГ ' 2т (11а) В этом уравнении индекс 5 у волновой функции опущен.
В дальнейшем мы будем иметь дело только со шредингеровской волновой функцией, и в индексе нет необходимости. Уравнение (11а) является волновым уравнением Шредингера для свободной частицы. Оно описывает движение такой частицы в нерелятивистском приближении. Сравнивая (11а) с релятивист-ским уравнением (37е) гл. 5, замечаем, что уравнение (11а) содер- :264 жит лишь первую производную по времени. Кроме того, в согласии с нерелятивистской природой уравнения Шредингера, в нем нет места для скорости света. 12. Рассмотрим решение уравнения Шредингера (11а) в виде плоской волны (10б). Фавовая скорость о7 такой волны равна с~=ь7у7=р)2т, где 97=р)2тЬ, я=р)Ь.
(12а) С другой стороны, фазовая скорость иг волны де Бройля (в не- релятивистском приближении) согласно (10с) равна (12Ь) Обе фазовые скорости ое и п~ не равны друг другу, хотя две волны фв И 7Рв ДОЛЖНЫ, ПО НаШИМ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯМ, СООтВЕтСтВОВатЬ ОДНОЙ и той же физической ситуации. У нас нет, однако, оснований для тревоги: фазовая скорость — это совсем не то, что скорость частицы, и фазовой скорости не отвечает нечто наблюдаемое.
С другой стороны, групповая скорость с для волны Шредингера равна 1/и = йй~'й97 = т,( р, (12с) и эта скорость действительно равна скорости частицы, как и должно быть. Мы уже отмечали в гл. 5, что групповая скорость волны де Бройля равна скорости частицы. Таким образом, оба типа волн распространяются с одинаковой групповой скоростью. 13. Попытаемся сейчас продвинуться на шаг дальше и рассмотреть движение частицы под действием внешних сил, имеющих потенциал.
Обозначим потенциальную энергию, или потенциал, частицы через )7(х): потенциал зависит от координат, но не от времени. У читателя могут возникнуть сомнения в связи с появлением в квантовой механике потенциала, определяющего силу. Силы, испытываемые частицей, вызваны, разумеется, присутствием других частиц, и согласованная теория требует квантовомеханического описания всей системы частиц. Все частицы в данной физической ситуации должны быть описаны волнами де Бройля, и фундаментальная теория взаимодействия частиц должна быть теорией, рассматривающей взаимодействие между этими волнами.
Именно такое фундаментальное описание взаимодействия характерно для квантовой пгеории поля. Согласно этой теории, волна де Бройля, описывающая, например, электрон в атоме водорода, взаимодействует с квантованным электромагнитным полем, которое в свою очередь может взаимодействовать с волной де Бройля, описывающей протон. В такой теории взаимодействие электрона с протоном не является прямым процессом; оно осуществляется квантованным электромагнитным полем. Мы говорим, что взаимодействие происходит благодаря обмену фотонами. В данной главе, однако, мы останемся в рамках приближений, характерных для теории Шредингера, и будем работать не с фундаментальной, а с феноменологической теорией. Нас интересует 9 389.
197 2бб лишь движение единственной частицы, и действие всех других частиц разумно описать с помощью эффективного потенциала )/(х). В выборе такого потенциала путеводной нитью будет аналогия с классической физикой. Идея о введении потенциальной функции становится особенно ясной, если рассмотреть движение заряженной частицы в,иакрогкопическом электрическом поле, созданном проводящими телами, подключенными к батареям. В этом случае движение э.цектрона с высокой степенью точности описывается классической теоРией и траектория частицы определяется электростатическим потенциалом, созданным системой проводников. На языке квантовой теоРии поля электрон обмещшается фотонами со всейш заряу жеиными частицами в про- водниках.
Инту;!т!(вно, Одна- 17 ,УŠ— 3' -гу ко, ясно, что конечный эффект Р У Ю' // %' ' такого «обмена фотонами» моРис. (бд, К выводу уравнения Шрсдннгсра жЕТ ОЫТЬ ОПИСНН ЧЕРЕЗ ЭЛЕКТ- Премде всего находим уравнения, которыи РОСТНТНЧЕСКИЙ ПОТЕНцнад, удовлетворяют волны в областях /, // и ///, где потенциал у ностоянсн. Обобщая уравнения «Ощтщаей1ый» ЭГЕКТРОНОМ В (1бс!, ((бе! и Пбо, снраведлш/ые для этих об. ластеа, приходим к единственному уравнению Кажлой ТОЧКЕ ПРОСТРНПСТВН. (1та(.
которое является уравнеии и Шредннгс. 14. Идея об эффективном ра. На графикс цозенциалькая энергяя У' паказацв сплошной лнняей, Полная энергия /' в ПОтЕНЦИаЛЕ В тЕОРПИ ШРЕ данном слуше больше любого знакеная потенциальной нергии. Она наказана марной штри дингера во мнОГих Отноховой линней, проходящей выше кривой цаген. ШЕНННХ а!ШЛОГПЧИЗ ИДЕЕ цнальной энергии о показателе преломленим в классической оптикс. Хорошо известно, что в микроскопическом масштабе стекло, которое состоит из атомов, ие является однородной средой. Описывая расг:Ространение в стекле световой волны (фотона) в рамках фр/ц)(!»(ентальнсй теории, мы должны были бы рассмотреть взаимодействие волны со всеми атомами стекла.
Если, однако, можно ограничиться феноменологическим описанием Распространения света через стекло (которое может быть, например, частью оптической систе!лы), то суммарный эффект элементарных взаимодействий можно заменить некоторыл! эффективным показателем преломления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
