Вихман Э. Квантовая физика (1185110), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Ь' чплсксными числами А , В , С обозначены амплитуды пере. ж' язл' ж хода мсжпу нылямн. Все интересующие иас в ровтиостн выражаются через зти амплитупы с — -а — -л // С с' ум Р; =1А, 1я, Р; = 1 А, ~, Р„= ~ вуз р, Р„=1В„Р, Читателю следует тщательно обдумать, как можно измерить эти вероятности со счетчиками, закрывая, если это необходимо, некото- рые щели. 245 42. Пусть А, — амплитуда волны в щели 1', когда амплитуда волны в щели 5 равна единице. Аналогично, А, — амплитуда волны в щели 2' при том же условии. Пусть „— амплитуда волны в щели 1", когда амплитуда в щели 1' равна единице, но азяплиупуда в щели 2' равна нулю.
Аналогично, „— амплитуда волны в щели 1", когда амплитуда в щели 1' равна нулю, но амплитуда в щели 2' равна единице. Через Сз обозначим амплитуду в щели экрана .О, когда амплитуда в щели 1" равна единице, а амплитуда в щели 2" равна нулю. Остальные амплитуды определены аналогичным образом. Назовеул их ал4плип4удами перехода, потому что они описывают распространение волн через щели слева направо. Эти переходы обозначены на рис. 41А штриховыми линиями.
С каждой такой линией связана своя амплитуда перехода. Амплитуды перехода являются комплексными числами. Квадрат их модуля определяет вероя1пноспуе перехода следующим образом: Р;= )А, ~-' равно вероятности того, что частица, прошедшая через щель в 5, будет зарегистрирована непосредственно за щелью 1', Р;=-1А,Р равно вероятности регистрации частицы, прошедшей через щель в 5, за щелью 2', Р„= 1„Рравно вероятности того, что частица, прошедшая через щель 1', пройдет и через щель 2".
В в1пол4 случае и1ель 2' должна бать закрыпуа, чтобы быть уверенным в том, что частица действительно прошла через щель 1'. Квадрат модуля остальных амплитуд перехода имеет аналогичный смысл. Перечислим все вероятности перехода, соответствующие восьми амплитудам: 43. Зададим теперь следующий вопрос: пусть все щели открыты; чему в этом случае равна вероятность Р того, что частица, пройдя через щель в 5, пройдет через щель в 1?? Без долгих размышлений скажем: так как нам известны вероятности перехода через щели, то найдем Р, например, комбинируя эти вероятности по правилам теории вероятностей, Вероятность того, что частица пройдет через щель 1", была бы равна сумме вероятностей ее прохождения от щелей 1' и 2' к щели 1".
Ииымн словами, она равна Р,'Р„+Р;Р«о Такой способ рассуждения привел бы нас к неверному результату: .~ е»,*эи'»«7ж~ »? м ~~~ (43а) Теперь напишем верный ответ: Р = ~ (А,В„+ А»В»»)С,-~- (Л,В„+ 4»В»»)С1й*. Он, разумеется, отличается от выражения (43а). В каждой щели следует складывать амплитуды приходящих к щели волн, так как волны интерферируют. Выражение (43Ь) — это верный ответ, согласующийся с квантовой механикой, тогда как выражение (43а)— лишь предсказание, следующее из классической теории.
44. Вопрос: как найти Р, если нам известны лишь вероятности, а не амплитуды переходов? Ответ: это вообще невозможно сделать. Чтобы найти Р, нужно знать как фазы, так и абсолютные значения комплексных амплитуд перехода, но вероятности перехода дают нам лишь абсолютные значения амплитуд. Обсудим более подробно, в чем ошибка предположсния о «сложении вероятностей», которое привело к неверному результату (43а). Рассмотрим величину Р;Рьо Что она дает? Очевидца, вероятность того, что частица, прошедшая через щель в 5, проходит через щель 1', когда щель 2' закрыгпа.
Аналогично, Р;Р„соответствует вероятности, что частица, прошедшая через щель в 5, пройдет через щель 1", когда закрыта щель 1'. Если обе щели !' н 2' открыты, то вероятность того, что частица, прошедшая через щель в 5, прой...ет через щель 1", не равна сумме Р;Р„+Р;Р«о Волны, приходящие к щели 1" от щелей 1' и 2', когерентны, и мы должны складывать амплитлды, а ие интенсивности. 43. Рассмотрим немного измененный опыт (рис. 43А).
Он отличается от рис. 4! А тем, что в плечо, соединяющее щель в 5 с щелью 1', вставлено устройство, задерживающее фазу волны. В остальном оба прибора одинаковы. Единственным следствием задержки фазы будет замена амплитуды А, амплитудой Л,егв. Таким образом, фаза меняется на величину 6, но амплитуда волны не меняется. Если опыт производится со светом, для изменения фазы можно использовать стеклянные пластины. Обозначим через Р (0) вероятность того, что частица, прошедшая через щель в 5, пройдет через щель в 0 (все остальные щели откры- 2«6 ты).
В соответствии с (43Ь) Р (9) = ( А,ейй (В„С, + В„С,) + А, (В„С,-1- В„С,) (з = =) А,(В„С,+ВМСЦв-(-)А,(В„С,.+В„С,)(в+Усозй-(-)Уз)пО,(45а) где 11 = А„(В„С,+ В„С,) А;(В;,С;+ В;,С;) 1 + А;(В11С1+ В;,С;) А, (В„С, + В„С,), (45Ь) Ах (В Сх+ В хС ) Ав(В С +В С )1 (45с) В справедливости этих формул читатель может убедиться сам. Выражение для Р (9) можно записать в виде Р(9)= — (Р (О)+Р (и))+ 2 (Р (О) — Р (я)) сов О+ + 2 ( 2Р (2 ~ — Р (О) — Р (п)1 51п 9, (454() откуда следует, что величина Р(0) как функция О однозначно определяется своими значениями для трех углов 9=-0, я12 и и. ~ гг 7 л' ож Рис. 4оА.
Модификация опыта, изображенвого иа рис. 41Л Между истслвиком 3 и щелью и установлен прибор, вызывающий запаздывание фазм. Он изменяет комплексную амплитуду волны в осели И ка множитель е'б. Из теории опыта, поназаннога на ркс. 41А, следует, что в данном случае амплитуду я, нужно заменить амплит>дой я,есй Рис. 44А. Модификация опыта рисунка 41Л с двуми двойными щелями Щелв 1 и У освещаются двумя независимыми ясточиикамн равной интенсивности. Валим ат двух этих источников некогерентны. и для каждой щели интенсивность равна сумме интенсивностей. создаваемых в отдельности каждым источником. Между атим опытом и опытом, изображенвым на рис. 45Л, имеется интересная связь. Интенсивность, измеренная в данном опыте, является средним (по фазовому углу 61 значением соответствующей интенсивности, нзмереиаой в опыте на рнс. 45Л.
Об этом факте часто говорят, что иекагерентиые источники испускают вопим со случай. вой разностью фаз 46. Теперь рассмотрим «прибор», показанный на рис. 46А. Мы имеем два отдельных источника 1 и 2, освещающих щели 1' и 2' соответственно. Во всем остальном «прибор> такой же, как на рис. 4)А. Пусть интенсивность обоих источников одинакова.
Какова вероятность Р; того, что частица, прошедшая через экран В, пройдет через щель в 02 Очевидно, что Рй — — 2 (Ах(В„С,+В„Св))'+ 2 )Ах(В„С1+ВвхСа)!х. (46а) 247 В этом случае, чтобы найти интенсивность, созданную на шелн Р при работе обоих источников, мы складываем интенсивноопи, созданные каждым источником в отдельности. Выражение [А,(ВмС,+ +В„С,) [' представляет собой вероятность того, что частица от источника 1 пройдет через щель в О; выражение [А»(ВмС,+В»»С») [»вЂ” вероятность частице из источника 2 пройти через щель в 1?. Йля каждой частицы, проходящей через щель в О, вероятность прийти от источника 1 или 2 одна и та же; это объясняет появление коэффициента 1?2 в выражении (46а). 47. Обсудим дополнительные вопросы, возникающие в связи с рис.
45А и 46А. Будем считать экран Я' со всем, что расположено от него слева, источником. В этом случае рис, 45А и 46А показывают один и тот же опыт, выполненный с двумя различными источниками. Возникает вопрос: какова вероятность Р'(О) того (рис. 45А), что частица, пришедшая от экрана Я', пройдет через щель в Р? Поскольку каждая частица, прошедшая через щель в1?, должна проити через экран Я', то вероятность Р'(О) должнабытьравнаотношению вероятности Р(О), следующей из формулы (45а), к вероятности того, что частица, вышедшая из щели в В, пройдет через экран В'. Последняя вероятность равна [[А„['+ [А,['!, и мы получаем Р; (О) = [[ А, (В„С, + В „С ) [~+ [ А, (В„С, -[- В„С ) [~+ + [1 сов О+)гз[пО] [[А, [»+ [ А, [»[-', (47а) что можно записать также в виде Р (О)= — [Р (О)+Р (и))+ ~ [Р (О) — Р (л)[созО[- + — [2Р ( — ) — Р'(О) — Р'(п)~ з[пО.
(47[») Аналогичный вопрос можно поставить и для рис. 46А. Какова вероятность Р; того, что частица, прошедшая через 3', пройдет через щель в В? Легко видеть, что Р[=[[А (В».С»+ВмС»)[*+[А (В С»+В» С»)[*ЩА ['+[А [') ' (47с) Сравнивая выражения (47с) и (47а), замечаем интересную особенность: если Р'(О) усреднить по всем углам О от 0 до 2л, то получим Р;: 2к Р;- ' ~ [ОР (О). (470) о В действительности даже нет необходимости в таком усреднении, так как 1'к— - —,[Р ()+ ( П (47е) Таким образом, можно считать статистический ансамбль, определяемый источником, показанным на рис. 46А (этим источником 248 является экран 5' и все расположенное от него слева), некогерентной суперпозицией двух или бесконечного числа статистических ансамблей, каждый из которых определяется источником, показанным на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
