Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Дальнейшие преобразования имеют своей целью представить правую часть этого интегрального уравнения в более простой форме. Оказывается, что, используя условие малости передаваемой электронами при соудареннн с молекулами энергии, удается привести это уравнение к относительно простому дифференциальному уравнению.
Чтобы сократить вычисления, целесообразно проинтегрировать обе части (80.8) от е1-0 до аь имея, таким образом, дело не с изменением числа частиц, энергия которых заключена в интервале бв,, а с изменением числа частиц, обла.дающих энергией, меньшей аь Левая часть, определяющая изменение, обуслов.ленное подогревом в электрическом поле, оказывается равной менных интегрирования несущественно и не меняет значения самого интеграла..
В связи с этим можно написать в, в, — Евв вв ! К(в) !1е= ~ — ~ = ~ ~ ус!уз!У1 — Уз! д зо!1 $22~(е!) 11е!. й — ! ! в).то! ! о Е О вв ев, (80.11)- Для продолжения выкладок необходимо подробнее рассмотреть величину беь характеризующую изменение энергии электрона в процессе удара: 2 '2 т!О! Ш!п! Ье,= —— 2 (80.12л С помощью соотношений (75.15) и (75.16) легко получить 2 2Ш2 е!1 = нс + во + Усто (тг+ тз)2 тг+ т2 тз 2 2 2 2 2л12 ос + оо + Чека' (тг+ тз)2 те+ тт так что после подстановки этих выражений в (80.!2) находим Ш!т2 Ьег= 1'с (Уа чо) ' тг+ тз Выразив скорость центра масс и относительные скорости через абсолеотные, придем к следующему удобному для дальнейшего анализа выражению: гл!тт тгч1+ тзчз т! + тз Вега (У! — Чс — У1+ Чс) = т! + тз тг+ тз тз тв тгта 1 Чх(тг — Ч!) + Уг(Ч! — Ч,).
т1+ тз тг+ тз (80.13) Скорость молекулы се в г' ты та раз меньше, чем скорость электрона а,„ поэтому первый член имеет порядок тета гп! 2 У2(У! — У!) са Ш! Ч2Ч1 т Ш1 ~тв В1 те+та Ш2 т. е. в 3~'шз(ш ! раз больше, чем второй, имеющий порядок (т!!Ше) т!и!е. Однако при оценке величины первого члена необходимо учитывать, что направление скорости уе относительно ч! может быть любым. Хотя и имеется некоторое влвяние скорости молекулы на направление скорости электрона после удара ч,', но это влияние мало; в основном направление скорости после удара зависит от прицельного расстояния и остается почти таким же, как и при рассеянии нв неподвижной молекуле. При произвольности направления Уе это означает, что после усреднения первый член обращается в ноль.
Среднее значение ба, определяется, таким образом, вторым членом и может быть представлено следующим выражением: 2 1 Ш2 ! о Ьв! = У,(У! — У',) = — (О! — Ч1Ч,) т вп! + Л12 Ш2 2 2 Ш! П1 Ш! = — (1 — соз В) = 2 — вг (1 — соз В), Ш2 тз (80.14) где е, — энергия электрона до столкновения, а 0 — угол, близкий к углу рассеяния, поскольку скорости ч, и и,' близки к ч, н т,'. Рассмотрим теперь квадрат бен I т!т2 Ва! — — '( (чх(ч,— ч,)12 т т! +т2 2 тгтэ 2тг 2 +2 чх (чг — ч1) — аг(! — соз В) + 4 — 2 а! (1 — соз В)2. (80.15) т1+ т2 гн2 тэ Средний член в силу произвольности направлений та при усреднении дает ноль, н его можно ие учитывать. Последний член в т,/та раз меньше (80.14), так как равен квадрату этой малой величины. Первый член оказывается того же порядка по т1(лаа, что и (80.14).
Действительно, (, ) тгтт )2 2 2 (то (чг — и! )]2 — т! О21 (У1 — ч1)2 т>+ тх! <о > < ВТтэ. 2 Далее, (ч1 — ч1)2 = о1+ о1 — 2чгч, = 2о1 — 2т>ч', = 2о, (1 — соз В). 2 Поэтому среднее значение первого члена в (80.15) равно 2 тг 2 гл1 — ЛТ2о1(1 — сг з В) = — 4 — ВТа1(1 — соз В), тх Оа 2 т. е. того же порядка по малой селичинс ан,/аиа, что и (80.14). Таким образом, < Ва > =- 4 — ВТа1(1 — саз В) т1 ал2 (80.16) и, следовательно, средние по направлениям скоростей молекул значения бва и бе,' — величины одного порядка по параметру падть Это оказывается очень важным для дальнейших приближенных вычислений, так как показывает необходимость одновременного учета членов бе~ и бе~а.
Вернемся теперь к уравнению (80.8). Из (80.13) видно, что бе, зависит от ч, и от угла рассеяния, так как им определяется скорость ч,'. В связи с этим целесообразно сначала выполнить интегрирование по еь а затем уже по остальным переменным: аа а 0 ) 8('1) д'1 = ~ Уэ д 02 ~ д зоуао(а1)] ч1 — чэ/8(а1) да1. (8017) ' /дУ>о ) дг В аа — а, Интеграл Е б зог'1о(а1) !ч1 — ъз (8 (а,) д а, (80.18) можно вычислить приближенно, используя то обстоятельство, что интервал интегрирования бе, мал по сравнению со средней энергией электрона е~ (в та<та раз меньше). Пренебрежем также та в )ч,— ча], Функцию распределения электронов 236 где оаг — проекция ч на направление ч, — и,'.
Среднее значение квадрата про- екции скорости молекулы в соответствии с распределением Максвелла есть 7,«(«1') следует разложить в ряд по отклонению энергии от е~ и ограничиться двумя членами; «>7!О У«О(«!) = ЛО («1) + («1 — а1) (80.19) а;, ' Действительно, следующие члены разложения после интегрирования по е,' дадут величины порядка бе,' и выше, которыми можно пренебречь по сравнению с членами, пропорциональными бе~ и бе~а. Итак, подставляя (80.19) в (80.18), получим е~ а 87!о бзо71о(«1)о18(«1) б«, + ~ дза (а,— «,)оыг(а,) да,= б«1 е,— Ма аа — а», г = бзо71о(«1)о18(«1) Ь«1 — б во о18( 1)— б 71о б«1 2 где берется некоторое среднее для интервала бе, значение величины бзсо~д(еб).
Поскольку интервал интегрирования бе~ мал по сравнению со средней энергией, то это применение теоремы о среднем при преобразовании интеграла мало сказывается на окончательном результате. Теперь исходный интеграл (80.11) принимает следующий вид: аа 7 дно 1 ( — ) а(«1) б«1= Уга( ) Е(«1) О ~ З«1бааугбаг— ст — А'(«1) о1 В«1 басах б!)г 871о ! г ба, 2 (80.20) гнг 2тг З«1 б зонг б()г = 2 лга1 ~ (1 — соз 8) бзо = — лг ( ао > «1 тг тг а.,баОУгб(гг=4 — дт«1~(! -.В)бас= — л,<„>ду„ .г тг 4тг тг тг Здесь были использованы равенства (80.14] и (80.16), а также определение эффективного сечения рассеяния (75.!4). <зс) означает сечение рассеяния среднее для интервала беь Оно практически не отличается от зс.
Этим завершается вычисление интеграла (80.17). Прираввивая вычисленный интеграл выражению (80.9), получаем уравнение для функции (ы: 4 )г'2 лт 11 — «1Л т — 1г 2 з 8710 егЕг— 3 ' д«1 = 4 )~2 лт1в «1' лг < зо > о1«1 — 1(71о — дТ ). — зл 1г 2тг 7 буао 1 б„) После сокрашения на общие множители и учета того, что л«(за)о,=1/т, получается дифференпиальное уравнение 71о =- (хо 7 + — тлег Ег) —, > 87!о Зтг ) б«1 ' (80.21) 237 Интегрирование по бйа соответствует усреднению по всем направлениям та и вычислению средних значений функции от оь умножаемых, кроме того, на число молекул.
Таким образом, которое просто решается методом разделения переменных. Прямой подстапоокой легко убедиться, что искомая функция распределения имеет аид ее~ атаги ГпРу1 ы е (аЗ о узо= Се (80.22) Постоянная С, как всегда, определяется услоаием нормировки Узы (М) бн = лы где и, — концентрация электронов. Таким образом, при учете разогрева электронов постоянным электрическим полем функция распределения электронов по скоростям имеет вид Л=у'зо+~ЛЛ где )1Π— так называемая изотропная часть функции распределения, определяемая вечражением (80.22), а Л)~ — поправка к ней, которая может быть взята в форме (80.4), причем в качестве ~~о подставляется изотропная функция (80.22) .
Если та ттезЕО тт ЛтезЕО а т1 3 т1 бег (80.23) то из (80.22) получается функция распределения Максвелла — ( еигятз T,о.— — С е б = С е — 'дат> Поскольку в этом случае средняя энергия электронов равна ацяТ, то из (80.23) следует, что разогрев электронного газа начинается при электрических полях, удовлетворяющих условию тз ЛзезЕ2 тг 9ят или ЛеЕ 1~ — ~ = ЗАТ. $ т, (80.24) В газах, где длина свободного пробега может быть большой, а из-за относительно малой проводимости напряженность электрического поля тоже велика, условие разогрева довольно легко выполняется.
В металлах проводимость очень высока и достичь напряженности электрического поля, при которой средняя энергия электронов заметно зависит от поля, практически невозможно. В полупроводниках при надлежащих условиях случай разогрева электронов возможен. Если электрическое поле очень сильное, так что выполняется неравенство, обратное по отношению к (80.23), то, пренебрегая членом йТ, можно получить -Х бт ~т Пые Ечбед У'2С= С Е Вид функции распределения зависит от характера зависимости длины свободного пробега от энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
