Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Эти преобразования аналогичны тем, которые были подробно рассмотрены при выводе уравнения диффузии. После их выполнения для потока получается ,1 Зптзг Используя определение коэффициента диффузии и подвижности, можем написать (73.8) ) = — О пгад и+ тг т „„и. Из (73.8) видно, что поток частиц в диффузионном приближении определяется двумя кинетическими явлениями (температура постоянна): диффузией, которой соответствует диффузный поток 1о= — 77 вагаб и, зависящий от градиента концентрации, и дрейфом с потоком .)ч= Чг пропорциональным приложенной силе. Сравнение уравнения диффузии с уравнением непрерывности (67.6) показывает, что уравнение диффузии допускает следующую физическую интерпретацию: изменение числа частиц в единице объема в единицу времени равно превышению втекающего потока над вьгтекающим, причем поток имеет две составляющие — дрейфовую и диффузионную.
Если к газу заряженных частиц приложено электрическое поле Е, то возникает дрейфовый поток ) =г)'пеЕ или, если использовать определение подвижности, 1 =цпЕ. Для плотности тока, связанного с движением заряженных частиц, можно написать (73.9) 1=е1= — еОдгас1п+ез)п Е. Имеется плотность диффузионного тока го= — ей Дтаг(п и плотность дрейфового тока гч=ецп Е. 210 Когда среда однородна и концентрация постоянна, диффузионный ток равен нулю. Плотность тока определяется только дрейфом и пропорциональна напряженности электрического поля: 1 =ецп Е. Последняя запись представляет собой не что иное, как з а к о н Ома в дифференциальной форме, который обычно приводят в форме 1=я Е, где о — проводимость.
Видно, что проводимость определяется через подвижность соотношением аь впт1. (73.10) $74. Основные уравнения диффузионного приближения ~ т= — — = — (л — л,) р е на 1Ч~ (74.1) или сИч Е= — — (л — и,). аа0 211 Одной из главных задач при исследовании неравновесных состояний является вычисление величины возникающего в системе тока. Для этой цели необходимо знание функции распределения. Однако в диффузионном приближении классическая функция распределения неравновесного состояния определяется общим соотношением (73.6), с помощью которого плотность тока выражается через концентрацию заряженных частиц и напряженность электрического поля.
При этом подразумевается, что коэффициент диффузии и подвижность известны. Они могут быть определены экспериментально или рассчитаны теоретически, причем для теоретического расчета, как это видно из формул (72.12), (72.13), достаточно знать локально-равновесную функцию распределения (а. Таким образом, в диффузионном приближении для вычисления токов нет необходимости каждый раз обращаться к функции распределения, а необходимо лишь знать коэффициент диффузии и подвижность, а также концентрацию как функцию координат и времени. Последняя находится решением уравнения диффузии (72.11), которое по этой причине является основным уравнением диффузионного приближения. Следует, однако, иметь в виду важную особенность этого уравнения: в него входит напряженность электрического поля Е.
Электрическое поле определяется, с одной стороны, внешними источниками, но с другой — зависит от распределения заряженных частиц, дающих свой вклад в электрическое поле. Как было выяснено в $28, для определения Е можно использовать метод самосогласованного поля, приводящий к следующему уравнению [см. (28.2), (28.4)): Здесь и — концентрация отрицательно заряженных частиц (электронов), а и, — положительно заряженных. Подразумевается, что концентрация положительно заряженных частиц известна. Если это не так, то для определения и, следует дополнительно привлечь еще одно уравнение диффузии, но написанное для концентрации положительных частиц. Таким образом, решение большинства задач в диффузионном приближении сводится н решению системы основных для этого метода уравнений, а именно уравнений диффузии в совокупности с уравнением самосогласованного поля (74,1).
Эта система в математическом отношении довольно сложна, так как оказывается нелинейной (в уравнение диффузии входит член с произведением двух неизвестных величин: напряженности электрического поля Е и концентрации частиц и). Звдвчн н главе 12 1, Покажите, что в диффузионном приближении средняя энергия частицы такая жг, как и в равновесном состоянии. Р е ш е н н е. Средняя энергня вычисляется по формуле 1' Рз (г)= ) т дц, и г те где для ( следует использовать выраженне (71.2). Поскольку два последннк чле- на в (71.2) — нечетные функпнн р, р„, р„а энергия — четная, то онн дадут нулевой вклад. Таким образом, 1 Г рз ( )= ~ — уе~ц, что н требовалось показать, 2.
Напишите уравнение диффузии и уравнение самосогласованного поля для случая, когда все величины зависят только от одной координаты х (одномерная задача). Р е ш е н н е. Уравнение самосогласованного поля имеет внд дЕ е д)ч Е = — = — (и — пт). дх гев Для уравнения диффузии получаем дп дзп — = — дрч( — О Егад п — Ч Е и) = 1) — + Чип. дг дхз ГЛАВА 13 СТОЛКНОВЕНИЯ й 75. Учет взаимодействия столкновениями В предыдущих главах в уравнении Больцмана для члена, который учитывает взаимодействие рассматриваемых частиц с другими, находящимися в равновесии, использовалась форма с временем 212 релаксации, не имевшая строгого обоснования. Задача настоящей главы состоит в более последовательном рассмотрении взаимодействия между частицами и, в частности, в выяснении условий, при которых можно пользоваться представлением о времени релаксации, а также в подсчете его величины.
Для определенности будем рассматривать электроны, которые взаимодействуют с другими частицами (нейтральными молекулами, заряженными ионами и т. п.), представляющими термостат. Поскольку теория неравновесных состояний рассматривается нами для систем, представляющих собой достаточно разреженные среды, то взаимодействие с термостатом следует трактовать как поочередные столкновения электрона с другими частицами. В разреженной среде очень мало вероятно, что электрон столкнется сразу с несколькими другими частицами.
Подавляющее большинство столкновений носит, как говорят, парный характер, т. е. электрон взаимодействует лишь с одной частицей, около которой он в данный момент оказался, а все остальные в это время находятся далеко и их влиянием можно пренебречь. В конденсированных средах это предположение нарушается. При столкновении электрона с другой частицей у него меняются величина и направление скорости. Описание этого процесса представляет собой задачу механики, которую мы рассмотрим в этом параграфе более подробно. Для краткости будем называть частицу, с которой сталкивается электрон, молекулой и обозначать все величины, относящиеся к этой частице, индексом 2 в отличие от электрона, для которого будем использовать индекс 1.
Прежде всего остановимся на некоторых общих свойствах процесса столкновения, Классические уравнения движения для обеих взаимодействующих частиц можно записать в виде т,г,=Гги т,г,=-Гнь (75.1) В этих уравнениях, представляющих собой второй закон Ньютона, не учитываются внешние силы, которые очень малы по сравнению с силой взаимодействия Гы= — Г2ь возникающей при столкновении. При взаимодействии система электрон — молекула может считаться замкнутой. Напомним, что внешние силы, играющие существенную роль в промежутках между столкновениями, учтены в уравнении Вольцмана отдельным членом.
Рассмотрение процесса столкновения заметно упрощается, если ввести новые переменные, а именно радиус-вектор центра масс системы двух частиц (75.2) гс = (т1г1+ т2г2Ит!+ т2) и радиус-вектор относительного движения (75.3) Го — Г! Г2 Действительно, из механики известно, что центр масс замкнутой системы движется с постоянной скоростью, так что процесс столкно- вения не сказывается на этом движении. С другой стороны, если умножить первое уравнение (75.1) на пгг, а второе — на пг1 и вычесть второе из первого, то получится тгтг (г, — гг) =(п1Ä— тгГ12 =(т1+ тг) Гг,. Разделив обе части последнего равенста на т1+пгг и использовав (75,3), найдем тгтг г,= Геп т,+тг (75.4) Если принять, что сила Г21, с которой вторая частица действует па первую, центральная, т.
е. зависит от радиус-вектора г„ соединяк1щего вторую частицу с первой, то оказывается, что относительное движение происходит так, как будто частица с некоторой эффективной массой (75.5) т* = тгт2,,1(пг1 + тг) движется относительно неподвижного центра, действующего на нее с силой Г21. Задача сводится к задаче о рассеянии на неподвижном центре, т. е. к более простой.
Когда известны г, и г„исходные радиус-векторы г, и гг находятся по формулам тг т1Г1 + ГЛГГ2 ) тг (Г1 — Г2) гс+ О + =-Г„ т1+ т2 т1 + тг т1 + т2 (75.6) г тг т121 + т212 т1 (Г1 Г2) г,— Г2 тг+ тг т1+ тг т1+ тг Рассмотрим теперь рассеяние частицы на неподвнжном центре. На рис. 13.1 частица с эффективной массой, обладающая импуль- сом р, отлетает после столкно/ вения под углом 8 к направлению первоначального движения. Ограничимся только уп/ ругими столкновениями, прн „а у(=' 1,Л которых полная кинетическая энергия взаимодействую1цих а частиц до и после столкновео ния одинакова.
Поскольку рассеивающий центр неподвижен, то из закона сохранения энерРис. !3.! гни следует, что величина им- пульса эффективной частицы после столкновения равна его величине до столкновения. Меняется лишь направление движения. Угол отклонения О зависит от величины импульса, а также от параметра р, носящего название прицельного расстояния и равного расстоянию между первоначальным направлением движения и параллельной этому 2!4 направлению прямой, проходящей через рассеивающий центр (рис.
13.1). Пропллюстрируем связь угла рассеивания 0 и прицельного рас« стояния па простом примере взаимодействия точечной частицы с упругим шаром радиуса а,. Из рис. 13.1 видно, что угол падения в частицы, равный углу отражения р', связан с прицельным расстоянием соотношением азз!п р=р, Поскольку из того же рисунка следует, что О+2й=п, то Гп † а р=ао з(п ~=по з(п ~ )=ао сое —.
2 ) 2 (75.7) Таким образом, значение угла отклонения зависит от прицельного расстояния р. Естественно, что для другого закона взаимодействия эта зависимость р=р(0) окажется другой. Если изменить прицельное расстояние на др, то угол рассеяния изменится на ЙО, причем дифференцированием легко получить ар(в) бО па Так, в случае рассеяния на шаре получается бр= — — з(п — бО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
