Васильев А.М. Введение в статистическую физику (1185109), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Строго говоря, метод Больцмана подразумевает, что должно быть детально исследовано взаимодействие идеального газа с частицами, составляющими термастат, на основе конкретной модели строения частиц. Выражение (69.2) может быть оправдано только если точный анализ приводит к соотношению такого вида. Хотя в некоторых случаях это действительно имеет место (см. гл. 13), но часто оказывается и не так, Таким образом, приближенное уравнение Больцмана, учитывающее взаимодействие с гермосгатом членом с временем релаксации, имеет вид Аналогичные соотношения неопределенности справедливы и для других осей: ьрзау лл, ьр,ьх лй. (70.1) В какой-то мере можно пояснить соотношения (70.1], используя метод квантования, примененный в гл. 7. Предположим, что координата х фиксируется с некоторой точностью Ьх. Можно считать, что для этого частица помещается в потенциальный ящик, размер которого вдоль оси х равен Ьх. Состояние частицы определяется в этом случае стоячей волной, и значение длины волны, т.
е. импульса, дискретно. Стоячая волна предстанляет собой сумму днух бегущих навстречу волн с одинаковыми амплитудами. Это означает, что в лгобом из возможных состояний одинаково вероятна как положительное, так и отрицательное значение импульса. Для среднеквадратичного разброса импульса имеем < рх>=((рх — <рх>)2>=<р,> так как 1 1 < р, > = — р + — ( — рх) = 0. 2 2 Вычисление среднего значения квадрата импульса очень просто, а именно: ( ра >= — р„+ — ( — рк)2= рхл т.
е. среднеквадратичное отклонение равно квадрату импульса. Поскольку по формуле (46.1) тли рх= Ьхв= х то для величины тгг((ьхт> гзг (ьр > получается — т р тип )Гг<ЬХ2> )Г (Ьрз > = ЬХ =- тпй. ьх Минимальное нагла п~=1, и =)l'< ьр'„> значение неопределенности координаты и импульса имеет место, тогда действительно видно, что при ах= )г (хз > и Ьр„= ьхьр„> па. Таким образом, в квантовой механике полол(ение и импульс частицы не могут быть одновременно точно известны, а тогда, естественно, отпадает возможность описывать систему с помощью функции распределения, предполагающей знание как радиус-вектора, так и импульса частицы. В связи со сказанным следует обратить 197 ципом неопределенности квантовой механики, по которому частица не может одновременно иметь точное положение (координату) и точное значение импульса.
По принципу неопределенности если положение частицы на оси х устанавливается с точностью порядка Лх, то ее импульс может быть известен лишь с точностьн Лрю причем имеет место соотношение ЬРедх > лл, (70. 1) внимание на то, что квантовые функции распределения Ферми— Дирака и Бозе — Эйнштейна в этом отношении отличаются от классических.
Хотя они и дают среднее число частиц в данном состоянии, но квантовомеханическое задание состояния не подразумевает одновременного указания импульса и координаты. Можно все же использовать классическое представление о функции распределения и при учете квантовых эффектов, если ограничиться так называемым кв аз и кл а с с ич ески м, т.
е. почти классическим, приближением в квантовой механике. В этом приближении состояние частицы описывается и импульсом, и координатой, но только в той мере, в какой это допускается принципом неопределенности. Так, в случае одномерного движения вдоль оси х частице приписывается импульс с точностью Лр, где Лр~ — некоторая величина, много меньшая, чем среднее значение модуля импульса частиц системы. По принципу неопределенности координата не может быть известна с точностью более высокой, чем ал' ах —— ль Однако если в данной задаче такая точность задания координаты достаточна, то можно говорить и о координате х. В частности, такой подход возможен, если частица находится в силовом поле, потенциальная энергия которого настолько медленно меняется в зависимости от координаты, что на расстоянии порядка Лх ее следует считать практически постоянной.
Вместе с тем сохраняются такие специфические квантовые особенности, как дискретностьзначений импульса и энергии, необходимость учитывать принцип неразличимости частиц, а также принцип Паули для частиц с полуцелым спином. Если привлечь понятие о плотности состояний введенное в $ 48, то в этом приближении систему можно описывать функцией распределения 1(г, р). Поскольку в уравнении Больцмана функция распределения имеет смысл среднего числа частиц в единичном объеме фазового пространства, то следует уточнить, чтб понимается под равновесной функцией распределения )а в члене с временем релаксации в тех случаях, когда она не может считаться классической.
Выделим элемент объема фазового пространства Лу=ЛтЛП, где Лт=ЛхЛуЛг и ЛЙ=Лр~Лр„Лр, настолько велики, что удовлетворяются соотношения неопределенности (70.1), но одновременно настолько малы, что в них квазиклассическая функция распределения практически постоянна. Среднее число частиц в Лу равно (ЛЛг) ='«~ (и;), где сумма берется по всем состояниям, принадлежашим выбранному объему. Как было показано в $48, число состояний в Лу выражается формулой д0 = дуЯ2пй)з. 198 Если среднее число частиц (п)) в любом из состояний, принадле- жащих этому объему, практически одинаково, то (й7)7) = (и)) ай= (и)) ' ау.
Таким образом, равновесная функция распределения Го равна ( ь))Г 1 ( п) ) .)' о= Ьт (2яо)' илп 1 1 7'— (70. 2) (2пьр ( н — о)по))+1) в случае фастиц Ферми и 1 1 (2яа)з ом — о)лот) 1 (70. 3) в случае, когда газ состоит из бозонов. В приближении времени релаксации квазиклассическая функция распределения удовлетворяет уравнению Больцмана (69,6), однако в члене, учитывающем столкновения, при учете квантовых эффектов следует использовать равновесную функцию распределения Ферми — Дирака (70.2) или Бозе — Эйнштейна (70.3) в зависимости от типа частиц, из которых состоит газ.
Функции распределения (70.2) и (70.3) относятся к частицам с определенным значением проекции спина, Если в задаче спин частиц несуществен, то их следует умножить на число возможных значений проекций спина (2 для электронов и 2 для фотонов). ГЛАВА 12 ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ДИФФУЗИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ (ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛОРЕНЦА] В И. Функция распределения при малом времени релаксации 199 Кинетическое уравнение Больцмана при условии, что оно будет решено, дает полную информацию о поведении идеального газа. Поскольку уравнение даже с упрощенным членом, учитывающим столкновения, все еще очень сложно, то получить решение для общего случая в аналитическом виде практически невозможно.
Есть, однако, один частный случай, который довольно часто встречается и в котором решение получается относительно просто. Рассмотрим его более подробно. Время релаксации, входящее в уравнение Больцмана, определяет время возвращения системы в равновесное состояние и харак- теризует интенсивность взаимодействия идеального газа с термостатом. Чем сильнее взаимодействие с термостатом, тем меньше время релаксации и тем быстрее система приходит в равновесие.
Если внешние силы достаточно малы, то при малом времени релаксации они не в состоянии значительно нарушить равновесие и функция распределения должна быть достаточно близкой к равновесной Эти физические соображения могут быть облечены в математическую форму. Перепишем уравнение Больцмана в следующем виде: )'= )о — т — — т — пгад, У' — тГ„„йгаб„у. д/ р ыо (71.
1) Когда время релаксации мало, слагаемые, содержащие т в качестве множителя, тоже малы и видно, что функция распределения 7 близка к равновесной го. Подставим в правую часть значение 1из того же уравнения (71.1), тогда получится у =уо — т — т — угад~ Уо — т Г„„йтад, Уо+ 0(т'), дно Р ыо где через О(т') обозначены члены второго порядка малости, т.
е пропорциональные т'. Их можно опустить. Равновесная функции распределения не зависит от времени, так что — =О. дно дг Таким образом, неравновесная функция распределения в этом при- ближении просто выражается через равновесную: 7 =уо — т — кгад,уо — тГ„„кгад, Уо. Р то (71.2) 200 Однако условия, при которых справедливо решение (71.2), нарушаются, если не постоянная в пространстве концентрация идеального газа отлична от равновесной.
Действительно, в данной небольшой области пространства равновесное распределение, соответствующее местной концентрации, устанавливается очень быстро В то же время установление равновесной концентрации во всем объеме, который занимает газ, происходит диффузионным путем, т. е. путем постепенного перемешивания. Этот процесс оказываегся довольно медленным, и поэтому представление (71.2), где под 7о понимаетсЯ РавновеснаЯ фУнкциЯ РаспРеделеннЯ дла всего газа в целом, не может дать хорошее приближение.
Область применимости формулы (71.2) оказывается значительно шире, если счигагь ее справедливой локально, т. е. для относительно небольших областей пространства, причем равновесная функция распределения. входящая в правую часть, не одинакова в различных областях, гак как зависит от концентрации (или, что го жг самое, от химическогоь потенциала), меняющейся ог гочки к точке. Поскольку закон изменения концентрации неизвестен, то формула (71.2) не может рас- сматриваться как решение, во всяком случае до тех пор, пока не будет найдена функция п=п(г, г) или го=!о(г, 1), Мы будем считать, что из-за эффективного взаимодействия с термостатом температура идеального газа постоянна по всему объему и равна температуре термостата.
Поскольку теперь концентрация не предполагается постоянной, то равновесная функция распределения неявно (через концентрацию) может зависеть от времени, так что дУо сЧо дл г — =-- т — —. дГ до до В дальнейшем при рассмотрении уравнения диффузии выяснится, дп что скорость изменения концентрации — есть малая величина, дг пропорциональная т, так что член т — второго порядка малодУо дГ сти по т, и хотя он отличен от нуля, но все равно должен быть опущен. Иногда приходится сталкиваться с задачами, в которых внешняя сила Гоя быстро меняется во времени. Если скорость ее изменения характеризуется временами, сравнимыми с временем релакса- дУ ции т, то необходимо учитывать член т —, который в этом случае дг нельзя заменить на т —. Примером такой ситуации может слудУо дг жить воздействие инфракрасного излучения на электронный газ в плазме и ряд других.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
